Sobre la convergencia de métodos de elementos finitos para el modelo de placas de Reissner-Mindlin

En este trabajo efectuamos un análisis de convergencia de métodos mixtos para el modelo de placas de Reissner-Mindlin, dentro de una teoría general. Esta teoría, que abarca a la mayoría de los métodos conocidos, permitió, no solo dar un marco común para el análisis de los distintos métodos, sino también obtener resultados de convergencia en aquellos casos en que no se disponía de una teoría completa. Los métodos considerados corresponden a elecciones de espacios de elementos finitos que, a pesar de la introducción de la nueva variable, conservan la estructura de desplazamientos del problema. En la Sección 2 se describe el modelo de Reissner-Mindlin, las ecuaciones que define el modelo y resultados que permiten garantizar que, si se escalan convenientemente dichas ecuaciones, las soluciones se mantienen acotadas independientemente del espesor de la placa. En la Sección 3 se consideran resultados de existencia, unicidad y regularidad de soluciones, para problemas generales de tipo mixto. También se considera la ubicación del modelo de placas en dicho contexto, y resultados específicos referidos a la regularidad de las soluciones del modelo de Reissner-Mindlin y su relación con un sistema de ecuaciones más complejo, que incluye dos ecuaciones de Poisson y un sistema de Stokes perturbado. Al comienzo de la Sección 4 se describen las dificultades numéricas que presenta este problema. En el Inciso 4.1 se desarrollan los aspectos generales correspondientes a nuestra teoría. El resultado más importante se presenta en el Teorema 4.4, en el que se dan condiciones suficientes para la convergencia de los métodos de elementos finitos aplicados al modelo de Reissner-Mindlin. Dichas condiciones pueden ser consideradas como una generalización de la propiedad de Fortin entre los espacios de discretización de desplazamientos y esfuerzo de corte. Por otra parte esta propiedad se verifica en muchos ejemplos. En el Inciso 4.2 se definen además condiciones suficientes para la construcción de métodos de elementos finitos convergentes, que generalizan las conocidas para el pro- blema límite (espesor igual a 0). En particular, se analiza la relación que existe entre la definición de los espacios discretos para el modelo de Reissner-Mindlin y los correspondientes a métodos estables para el problema de Stokes. La aplicación de la teoría a varios elementos se ejemplifica en la Sección 5. Los resultados teóricos que definen condiciones generales para la construcción de métodos mixtos convergentes se aplican en los Ejemplos 5.1 y 5.2. Las condiciones mencionadas nos permitieron introducir un nuevo método para grillas triangulares, de orden bajo que es analizado en el Ejemplo 5.1. Para este método se estudia la convergencia y se obtienen estimaciones óptimas del error. En el Ejemplo 5.2 se aplican los resultados de convergencia a un elemento rectangular de orden 2, introducido por Bathe y Brezzi, obteniéndose para este método idénticas estimaciones que las obtenidas por los autores en el caso límite. Cabe mencionar que, con técnicas similares a la utilizadas en este ejemplo, es posible extender los resultados de convergencia a una familia de elementos triangulares de mayor orden, obteniéndose estimaciones óptimas del error. Independientemente, los métodos mencionados fueron objeto de estudio. Allí se propuso también el método analizado en 5.1. El elemento de Bathe-Dvorkin es analizado en el Ejemplo 5.3. Se trata de un elemento para grillas rectangulares de bajo orden. A diferencia de los ejemplos anteriores, en este caso no es posible verificar las hipótesis que garantizan la construcción de métodos convergentes. No obstante, se demuestra la convergencia del método para el caso de redes uniformes utilizando el Teorema 4.4 mencionado previamente. La demostración requiere la utilización de resultados conocidos para el problema de Stokes que se basan en la utilización de técnicas de macroelementos. Las estimaciones del error obtenidas se efectuaron bajo condiciones de regularidad más débiles que las conocidas anteriormente y, como consecuencia de ello, se obtuvieron estimaciones óptimas, con cotas de error independientes del espesor de la placa. En el Ejemplo 5.4 se efectúa la aplicación de la teoría al estudio del método de Arnold-Falk. En este método el desplazamiento transveral es aproximado por elementos no conformes. La demostración de convergencia dada en [2] se basa en la equivalencia de las ecuaciones del modelo de Reissner-Mindlin y el complejo sistema de ecuaciones descripto en la Sección 3, y requiere la demostración de una descomposición discreta de Helmoltz y de la equivalencia entre los correspondientes sistemas discretos. La aplicación de nuestros resultados teóricos proporciona una prueba directa y más simple de la convergencia del método y permite su inclusión dentro del marco general definido por el Teorema 4.4. Finalmente, en la Sección 6, se estudia un método introducido por Zienkiewicz, Taylor, Papadopoulos y Oñate en [26]. Este método fue experimentado numéricamente en [22], pero no se conocían resultados de convergencia. Como consecuencia de nuestro análisis, se demuestra que el método converge con orden óptimo y cotas de error independientes del espesor de la placa. Debido a que la estructura de este método no se corresponde con la de los métodos previamente analizados, la demostración de convergencia se efectúa a través de un análisis comparativo del mismo con el método analizado en el Ejemplo 5.1. Se demuestra que ambos métodos pueden ser identificados, ya que el orden de la diferencia entre sus soluciones es superior al de lo mismos, observándose que la formulación propuesta en el Ejemplo 5.1 es más simple desde el punto de vista de su implementación computacional. El trabajo de comparación se completa, mostrando resultados correspondientes a la experimentación numérica efectuada sobre ambos métodos. Los resultados obtenidos permitieron observar que el comportamiento asintótico de los errores y de la diferencia entre las soluciones de los métodos considerados, predicho por la teoría, se verifica para mallas de cálculo que se utilizan en la práctica.Facultad de Ciencias Exacta

Charged Hydrogenic, Helium and Helium-Hydrogenic Molecular Chains in a Strong Magnetic Field

A non-relativistic classification of charged molecular hydrogenic, helium and mixed helium-hydrogenic chains with one or two electrons which can exist in a strong magnetic field $B \lesssim 10^{16}$G is given. It is shown that for both $1e-2e$ cases at the strongest studied magnetic fields the longest hydrogenic chain contains at most five protons indicating to the existence of the $\rm{H}_5^{4+}$ and $\rm{H}_5^{3+}$ ions, respectively. In the case of the helium chains the longest chains can exist at the strongest studied magnetic fields with three and four \al-particles for $1e-2e$ cases, respectively. For mixed helium-hydrogenic chains the number of heavy centers can reach five for highest magnetic fields studied. In general, for a fixed magnetic field two-electron chains are more bound than one-electron ones.Comment: 32 pages, 2 figures, 9 table

Insights on the local density approximation plasma polarization shift as provided by the optimum potential method

The plasma polarization shift computed with a Local Density Functional model of an ion-sphere model is compared with results calculated using an optimum central field effective exchange potential. Indications are that the bulk of the shift is an artifact of the approximate exchange functional describing the interaction between bound and continuum orbitals in the LDA

An excitable gene regulatory circuit induces transient cellular differentiation

Certain types of cellular differentiation are probabilistic and transient. In such systems individual cells can switch to an alternative state and, after some time, switch back again. In Bacillus subtilis, competence is an example of such a transiently differentiated state associated with the capability for DNA uptake from the environment. Individual genes and proteins underlying differentiation into the competent state have been identified, but it has been unclear how these genes interact dynamically in individual cells to control both spontaneous entry into competence and return to vegetative growth. Here we show that this behaviour can be understood in terms of excitability in the underlying genetic circuit. Using quantitative fluorescence time-lapse microscopy, we directly observed the activities of multiple circuit components simultaneously in individual cells, and analysed the resulting data in terms of a mathematical model. We find that an excitable core module containing positive and negative feedback loops can explain both entry into, and exit from, the competent state. We further tested this model by analysing initiation in sister cells, and by re-engineering the gene circuit to specifically block exit. Excitable dynamics driven by noise naturally generate stochastic and transient responses, thereby providing an ideal mechanism for competence regulation

Linear stability of planar premixed flames: reactive Navier-Stokes equations with finite activation energy and arbitrary Lewis number

A numerical shooting method for performing linear stability analyses of travelling waves is described and applied to the problem of freely propagating planar premixed flames. Previous linear stability analyses of premixed flames either employ high activation temperature asymptotics or have been performed numerically with finite activation temperature, but either for unit Lewis numbers (which ignores thermal-diffusive effects) or in the limit of small heat release (which ignores hydrodynamic effects). In this paper the full reactive Navier-Stokes equations are used with arbitrary values of the parameters (activation temperature, Lewis number, heat of reaction, Prandtl number), for which both thermal-diffusive and hydrodynamic effects on the instability, and their interactions, are taken into account. Comparisons are made with previous asymptotic and numerical results. For Lewis numbers very close to or above unity, for which hydrodynamic effects caused by thermal expansion are the dominant destablizing mechanism, it is shown that slowly varying flame analyses give qualitatively good but quantitatively poor predictions, and also that the stability is insensitive to the activation temperature. However, for Lewis numbers sufficiently below unity for which thermal-diffusive effects play a major role, the stability of the flame becomes very sensitive to the activation temperature. Indeed, unphysically high activation temperatures are required for the high activation temperature analysis to give quantitatively good predictions at such low Lewis numbers. It is also shown that state-insensitive viscosity has a small destabilizing effect on the cellular instability at low Lewis numbers