A note on the spectrum of Lipschitz operators and composition operators on Lipschitz spaces

Fix a metric space $M$ and let $\mathrm{Lip}_0(M)$ be the Banach space of complex-valued Lipschitz functions defined on $M$. A weighted composition operator on $\mathrm{Lip}_0(M)$ is an operator of the kind $wC_f : g \mapsto w \cdot g \circ f$, where $w : M \to \mathbb C$ and $f: M \to M$ are any map. When such an operator is bounded, it is actually the adjoint operator of a so-called weighted Lipschitz operator $w\widehat{f}$ acting on the Lipschitz-free space $\mathcal F(M)$. In this note, we study the spectrum of such operators, with a special emphasize when they are compact. Notably, we obtain a precise description in the non-weighted $w \equiv 1$ case: the spectrum is finite and made of roots of unity

Dynamique linéaire : ensembles hypercycliques, semigroupes d’opérateurs, translations sur les groupes

This thesis aims to study some problems related to the dynamics of linear operators on Banach spaces.In the first chapter, we study a version adapted to _c_0_-semigroups of the notion of _Gamma_-supercyclicity, recently introduced by S. Charpentier, R. Ernst, and Q. Menet. In particular, we characterize the subsets _Gamma_ of _mathbb{C}_ such that any _c_0_-semigroup that is _Gamma_-supercyclic is hypercyclic. We also characterize the sets _Gamma_ satisfying the following property: for any Banach space _X_, any _c_0_-semigroup _mathcal{T}_ on _X_ and any _x_ in _X_, the textit{somewhere density} of the orbit of _Gamma x_ under _mathcal{T}_ implies the hypercyclicity of _mathcal{T}_. We also show that if the orbit of a finite union of complex and linear segments, which does not contain _0_, under a _c_0_-semigroup _mathcal{T}_ acting on a Banach space _X_ is dense in _X_, then _mathcal{T}_ is hypercyclic.The second chapter is devoted to the study of the _Gamma_-supercylicity of a family of translation operators in weighted _L^p_ spaces on locally compact groups. This allows us to extend the characterization of the notion of _S_-density, introduced by E. Abakumov and Y. Kuznetsova, which generalizes Salas' characterization of the hypercyclicity of bilateral shift operator, that of W. Desch, W. Schappacher, and G.F. Webb of the hypercyclicity of translation semigroup and also that of the hypercyclicity of a single translation operator in the weighted _L^p_ spaces on locally compact groups obtained by C-C. Chen.More precisely, we give a _Gamma_-supercylicity criterion for a family of translation operators in weighted _L^p_ spaces on locally compact groups. This chapter is based on a joint work with Y. Kuznetsova.The third chapter is devoted to the notion of _N_-supercyclicility. The objective of this chapter is to answer a question asked by R. Ernst, concerning the index of supercyclicity of real Jordan blocks. In a work in progress with R. Ernst, we have already shown that real Jordan blocks of size _2N_ are not _(2N-2)_-supercyclic, which gives a complete answer to the latter.In the last chapter of this thesis, we are interested in the introduction of new classes of hypercyclic operators on Lipschitz-free spaces. More precisely, we are interested in the relationship between the dynamical propertie of a Lipschitz map _f: Mlongrightarrow M_ defined on a pointed metric space _M_, equipped with a distinguished point denoted by _0in M_, such that _f(0)=0_ and those of its extension _widehat{f}:mathrm{F}(M)longrightarrow mathrm{F}(M)_, where _mathrm{F}(M)_ stands for Lipschitz-free space on _M_.First, we give a criterion, called "Hypercyclicity criterion for Lipschitz operators (HCCLO)", which ensures the hypercyclicity of the operator _widehat{f}_ under certain conditions on _f_. We show that this criterion implies the classical Hypercyclicity Criterion for the operators of theform _widehat{f}_, but that the inverse implication is not generally true.Next, when _M_ is a complete separable metric space, we show that "_f_ weakly mixing" implies "_f_ satisfies (HCCLO)". Finally, we show in the case where _M=[a,b]_ and _f_ is transitive that _widehat{f}_ is Devaney's chaotic. In particular, _widehat{f}_ is hypercyclic. This is joint work with C. Coine and C. Petitjean.[Les DOLLAR ont été remplacés par des _ ]L'objectif de cette thèse est d'étudier certains problèmes relatifs à la dynamique des opérateurs linéaires sur les espaces de Banach.Dans le premier chapitre, nous étudions une version adaptée aux _c_0_-semigroupes de la notion de _Gamma_-supercyclicité. En particulier, nous caractérisons complètement les sous-ensembles _Gamma_ de _mathbb{C}_ qui sont tels que tout _c_0_-semigroupe qui est _Gamma_-supercyclique est automatiquement hypercyclique. Nous caractérisons également ceux de ces ensembles _Gamma_ vérifiant la propriété suivante: pour tout espace de Banach _X_, tout _c_0_-semigroupe _mathcal{T}_ sur _X_ ettout _x_ dans _X_, la densité quelque part de l'orbite de _Gamma x_ sous l'action de _mathcal{T}_ implique l'hypercyclicité de _mathcal{T}_. Nous montrons aussi que si l'orbite d'une réunion finie de segments de droites complexes et linéaires, qui ne contient pas _0_, est dense sous l'action d’un _c_0_-semigroupe _mathcal{T}_ sur un espaces de Banach _X_, alors _mathcal{T}_ est hypercyclique.Le deuxième chapitre est consacré à l'étude de la _Gamma_-supercyclicité pour une famille (quelconque) d'opérateurs de translations dans les espaces _L^p_ pondérés sur les groupes localement compacts. Cela nous permet d'étendre la caractérisation de la notion de _S_-densité, introduite par E. Abakumov et Y. Kuznetsova, qui généralise la caractérisation de Salas de l'hypercyclicité de l'opérateur de shift bilatéral, celle de W. Desch, W. Schappacher et G.F. Webb de l'hypercyclicité du semigroupe de translation et également celle de l'hypercyclicité d'un seul opérateur de translation dans les espaces _L^p_ pondérés sur les groupes localement compacts obtenue par C-C. Chen. Plus précisément, après avoir justifié des conditions nécessaires et suffisantes pour que les objets soient bien définis, nous donnons un critère de _Gamma_-supercylicité pour une famille (quelconque) d'opérateurs de translation sur les espaces _L^p_ pondérés sur les groupes localement compacts. Le troisième chapitre est consacré à la notion de _N_-supercyclicité. L'objectif de ce chapitre est de répondre à une question posée par R. Ernst, concernant l'indice de supercyclicité des blocs de Jordan réels. Dans un travail en cours avec R. Ernst, nous avons d'ores et déjà montré que les blocs de Jordan réels de taille _2N_ ne sont pas _(2N-2)_-supercycliques, ce qui donne une réponse complète à cette dernière.Dans le dernier chapitre de cette thèse, nous nous intéressons à l'introduction de nouvelles classes d'opérateurs hypercycliques sur les espaces lipschitz-libres. Plus précisément, on s'intéresse à la relation entre les propriétés de dynamique d'une application lipschitzienne _f:Mlongrightarrow M_ définie sur un espace métrique _M_ équipé d'un point distingué, noté _0_, telle que _f(0)=0_ et celles de son extension _widehat{f}:mathrm{F}(M)longrightarrow mathrm{F}(M)_, où _mathrm{F}(M)_ désigne l'espace Lipschitz-libre sur _M_.D'abord, nous donnons un critère, appelé "Critère d'hypercyclicité pour les opérateurs lipschitziens (HCCLO)", qui assure l'hypercyclicité de l'opérateur _widehat{f}_ sous certaines conditions sur _f_. Nous verrons que ce critère implique le critère classique d’hypercyclicité pour les opérateurs de la forme _widehat{f}_, mais que l'implication inverse n'est pas vraie en général. Ensuite, lorsque _M_ est un espace métrique complet séparable, nous montrons que _f_ faiblement mélangeante implique _f_ satisfait (HCCLO). Enfin, nous montrons dans le cas où _M=[a,b]_ et _f_ est transitive que _widehat{f}_ est Devaney chaotique. En particulier, _widehat{f}_ est hypercyclique. [Les DOLLAR ont été remplacés par des _

Linear dynamics : hypercyclic sets, semigroups of operators, translationson groups.

L'objectif de cette thèse est d'étudier certains problèmes relatifs à la dynamique des opérateurs linéaires sur les espaces de Banach.Dans le premier chapitre, nous étudions une version adaptée aux _c_0_-semigroupes de la notion de _Gamma_-supercyclicité. En particulier, nous caractérisons complètement les sous-ensembles _Gamma_ de _mathbb{C}_ qui sont tels que tout _c_0_-semigroupe qui est _Gamma_-supercyclique est automatiquement hypercyclique. Nous caractérisons également ceux de ces ensembles _Gamma_ vérifiant la propriété suivante: pour tout espace de Banach _X_, tout _c_0_-semigroupe _mathcal{T}_ sur _X_ ettout _x_ dans _X_, la densité quelque part de l'orbite de _Gamma x_ sous l'action de _mathcal{T}_ implique l'hypercyclicité de _mathcal{T}_. Nous montrons aussi que si l'orbite d'une réunion finie de segments de droites complexes et linéaires, qui ne contient pas _0_, est dense sous l'action d’un _c_0_-semigroupe _mathcal{T}_ sur un espaces de Banach _X_, alors _mathcal{T}_ est hypercyclique.Le deuxième chapitre est consacré à l'étude de la _Gamma_-supercyclicité pour une famille (quelconque) d'opérateurs de translations dans les espaces _L^p_ pondérés sur les groupes localement compacts. Cela nous permet d'étendre la caractérisation de la notion de _S_-densité, introduite par E. Abakumov et Y. Kuznetsova, qui généralise la caractérisation de Salas de l'hypercyclicité de l'opérateur de shift bilatéral, celle de W. Desch, W. Schappacher et G.F. Webb de l'hypercyclicité du semigroupe de translation et également celle de l'hypercyclicité d'un seul opérateur de translation dans les espaces _L^p_ pondérés sur les groupes localement compacts obtenue par C-C. Chen. Plus précisément, après avoir justifié des conditions nécessaires et suffisantes pour que les objets soient bien définis, nous donnons un critère de _Gamma_-supercylicité pour une famille (quelconque) d'opérateurs de translation sur les espaces _L^p_ pondérés sur les groupes localement compacts. Le troisième chapitre est consacré à la notion de _N_-supercyclicité. L'objectif de ce chapitre est de répondre à une question posée par R. Ernst, concernant l'indice de supercyclicité des blocs de Jordan réels. Dans un travail en cours avec R. Ernst, nous avons d'ores et déjà montré que les blocs de Jordan réels de taille _2N_ ne sont pas _(2N-2)_-supercycliques, ce qui donne une réponse complète à cette dernière.Dans le dernier chapitre de cette thèse, nous nous intéressons à l'introduction de nouvelles classes d'opérateurs hypercycliques sur les espaces lipschitz-libres. Plus précisément, on s'intéresse à la relation entre les propriétés de dynamique d'une application lipschitzienne _f:Mlongrightarrow M_ définie sur un espace métrique _M_ équipé d'un point distingué, noté _0_, telle que _f(0)=0_ et celles de son extension _widehat{f}:mathrm{F}(M)longrightarrow mathrm{F}(M)_, où _mathrm{F}(M)_ désigne l'espace Lipschitz-libre sur _M_.D'abord, nous donnons un critère, appelé "Critère d'hypercyclicité pour les opérateurs lipschitziens (HCCLO)", qui assure l'hypercyclicité de l'opérateur _widehat{f}_ sous certaines conditions sur _f_. Nous verrons que ce critère implique le critère classique d’hypercyclicité pour les opérateurs de la forme _widehat{f}_, mais que l'implication inverse n'est pas vraie en général. Ensuite, lorsque _M_ est un espace métrique complet séparable, nous montrons que _f_ faiblement mélangeante implique _f_ satisfait (HCCLO). Enfin, nous montrons dans le cas où _M=[a,b]_ et _f_ est transitive que _widehat{f}_ est Devaney chaotique. En particulier, _widehat{f}_ est hypercyclique. [Les DOLLAR ont été remplacés par des _ ]This thesis aims to study some problems related to the dynamics of linear operators on Banach spaces.In the first chapter, we study a version adapted to _c_0_-semigroups of the notion of _Gamma_-supercyclicity, recently introduced by S. Charpentier, R. Ernst, and Q. Menet. In particular, we characterize the subsets _Gamma_ of _mathbb{C}_ such that any _c_0_-semigroup that is _Gamma_-supercyclic is hypercyclic. We also characterize the sets _Gamma_ satisfying the following property: for any Banach space _X_, any _c_0_-semigroup _mathcal{T}_ on _X_ and any _x_ in _X_, the textit{somewhere density} of the orbit of _Gamma x_ under _mathcal{T}_ implies the hypercyclicity of _mathcal{T}_. We also show that if the orbit of a finite union of complex and linear segments, which does not contain _0_, under a _c_0_-semigroup _mathcal{T}_ acting on a Banach space _X_ is dense in _X_, then _mathcal{T}_ is hypercyclic.The second chapter is devoted to the study of the _Gamma_-supercylicity of a family of translation operators in weighted _L^p_ spaces on locally compact groups. This allows us to extend the characterization of the notion of _S_-density, introduced by E. Abakumov and Y. Kuznetsova, which generalizes Salas' characterization of the hypercyclicity of bilateral shift operator, that of W. Desch, W. Schappacher, and G.F. Webb of the hypercyclicity of translation semigroup and also that of the hypercyclicity of a single translation operator in the weighted _L^p_ spaces on locally compact groups obtained by C-C. Chen.More precisely, we give a _Gamma_-supercylicity criterion for a family of translation operators in weighted _L^p_ spaces on locally compact groups. This chapter is based on a joint work with Y. Kuznetsova.The third chapter is devoted to the notion of _N_-supercyclicility. The objective of this chapter is to answer a question asked by R. Ernst, concerning the index of supercyclicity of real Jordan blocks. In a work in progress with R. Ernst, we have already shown that real Jordan blocks of size _2N_ are not _(2N-2)_-supercyclic, which gives a complete answer to the latter.In the last chapter of this thesis, we are interested in the introduction of new classes of hypercyclic operators on Lipschitz-free spaces. More precisely, we are interested in the relationship between the dynamical propertie of a Lipschitz map _f: Mlongrightarrow M_ defined on a pointed metric space _M_, equipped with a distinguished point denoted by _0in M_, such that _f(0)=0_ and those of its extension _widehat{f}:mathrm{F}(M)longrightarrow mathrm{F}(M)_, where _mathrm{F}(M)_ stands for Lipschitz-free space on _M_.First, we give a criterion, called "Hypercyclicity criterion for Lipschitz operators (HCCLO)", which ensures the hypercyclicity of the operator _widehat{f}_ under certain conditions on _f_. We show that this criterion implies the classical Hypercyclicity Criterion for the operators of theform _widehat{f}_, but that the inverse implication is not generally true.Next, when _M_ is a complete separable metric space, we show that "_f_ weakly mixing" implies "_f_ satisfies (HCCLO)". Finally, we show in the case where _M=[a,b]_ and _f_ is transitive that _widehat{f}_ is Devaney's chaotic. In particular, _widehat{f}_ is hypercyclic. This is joint work with C. Coine and C. Petitjean.[Les DOLLAR ont été remplacés par des _

Dynamique linéaire : ensembles hypercycliques, semigroupes d’opérateurs, translations sur les groupes

This thesis aims to study some problems related to the dynamics of linear operators on Banach spaces.In the first chapter, we study a version adapted to _c_0_-semigroups of the notion of _Gamma_-supercyclicity, recently introduced by S. Charpentier, R. Ernst, and Q. Menet. In particular, we characterize the subsets _Gamma_ of _mathbb{C}_ such that any _c_0_-semigroup that is _Gamma_-supercyclic is hypercyclic. We also characterize the sets _Gamma_ satisfying the following property: for any Banach space _X_, any _c_0_-semigroup _mathcal{T}_ on _X_ and any _x_ in _X_, the textit{somewhere density} of the orbit of _Gamma x_ under _mathcal{T}_ implies the hypercyclicity of _mathcal{T}_. We also show that if the orbit of a finite union of complex and linear segments, which does not contain _0_, under a _c_0_-semigroup _mathcal{T}_ acting on a Banach space _X_ is dense in _X_, then _mathcal{T}_ is hypercyclic.The second chapter is devoted to the study of the _Gamma_-supercylicity of a family of translation operators in weighted _L^p_ spaces on locally compact groups. This allows us to extend the characterization of the notion of _S_-density, introduced by E. Abakumov and Y. Kuznetsova, which generalizes Salas' characterization of the hypercyclicity of bilateral shift operator, that of W. Desch, W. Schappacher, and G.F. Webb of the hypercyclicity of translation semigroup and also that of the hypercyclicity of a single translation operator in the weighted _L^p_ spaces on locally compact groups obtained by C-C. Chen.More precisely, we give a _Gamma_-supercylicity criterion for a family of translation operators in weighted _L^p_ spaces on locally compact groups. This chapter is based on a joint work with Y. Kuznetsova.The third chapter is devoted to the notion of _N_-supercyclicility. The objective of this chapter is to answer a question asked by R. Ernst, concerning the index of supercyclicity of real Jordan blocks. In a work in progress with R. Ernst, we have already shown that real Jordan blocks of size _2N_ are not _(2N-2)_-supercyclic, which gives a complete answer to the latter.In the last chapter of this thesis, we are interested in the introduction of new classes of hypercyclic operators on Lipschitz-free spaces. More precisely, we are interested in the relationship between the dynamical propertie of a Lipschitz map _f: Mlongrightarrow M_ defined on a pointed metric space _M_, equipped with a distinguished point denoted by _0in M_, such that _f(0)=0_ and those of its extension _widehat{f}:mathrm{F}(M)longrightarrow mathrm{F}(M)_, where _mathrm{F}(M)_ stands for Lipschitz-free space on _M_.First, we give a criterion, called "Hypercyclicity criterion for Lipschitz operators (HCCLO)", which ensures the hypercyclicity of the operator _widehat{f}_ under certain conditions on _f_. We show that this criterion implies the classical Hypercyclicity Criterion for the operators of theform _widehat{f}_, but that the inverse implication is not generally true.Next, when _M_ is a complete separable metric space, we show that "_f_ weakly mixing" implies "_f_ satisfies (HCCLO)". Finally, we show in the case where _M=[a,b]_ and _f_ is transitive that _widehat{f}_ is Devaney's chaotic. In particular, _widehat{f}_ is hypercyclic. This is joint work with C. Coine and C. Petitjean.[Les DOLLAR ont été remplacés par des _ ]L'objectif de cette thèse est d'étudier certains problèmes relatifs à la dynamique des opérateurs linéaires sur les espaces de Banach.Dans le premier chapitre, nous étudions une version adaptée aux _c_0_-semigroupes de la notion de _Gamma_-supercyclicité. En particulier, nous caractérisons complètement les sous-ensembles _Gamma_ de _mathbb{C}_ qui sont tels que tout _c_0_-semigroupe qui est _Gamma_-supercyclique est automatiquement hypercyclique. Nous caractérisons également ceux de ces ensembles _Gamma_ vérifiant la propriété suivante: pour tout espace de Banach _X_, tout _c_0_-semigroupe _mathcal{T}_ sur _X_ ettout _x_ dans _X_, la densité quelque part de l'orbite de _Gamma x_ sous l'action de _mathcal{T}_ implique l'hypercyclicité de _mathcal{T}_. Nous montrons aussi que si l'orbite d'une réunion finie de segments de droites complexes et linéaires, qui ne contient pas _0_, est dense sous l'action d’un _c_0_-semigroupe _mathcal{T}_ sur un espaces de Banach _X_, alors _mathcal{T}_ est hypercyclique.Le deuxième chapitre est consacré à l'étude de la _Gamma_-supercyclicité pour une famille (quelconque) d'opérateurs de translations dans les espaces _L^p_ pondérés sur les groupes localement compacts. Cela nous permet d'étendre la caractérisation de la notion de _S_-densité, introduite par E. Abakumov et Y. Kuznetsova, qui généralise la caractérisation de Salas de l'hypercyclicité de l'opérateur de shift bilatéral, celle de W. Desch, W. Schappacher et G.F. Webb de l'hypercyclicité du semigroupe de translation et également celle de l'hypercyclicité d'un seul opérateur de translation dans les espaces _L^p_ pondérés sur les groupes localement compacts obtenue par C-C. Chen. Plus précisément, après avoir justifié des conditions nécessaires et suffisantes pour que les objets soient bien définis, nous donnons un critère de _Gamma_-supercylicité pour une famille (quelconque) d'opérateurs de translation sur les espaces _L^p_ pondérés sur les groupes localement compacts. Le troisième chapitre est consacré à la notion de _N_-supercyclicité. L'objectif de ce chapitre est de répondre à une question posée par R. Ernst, concernant l'indice de supercyclicité des blocs de Jordan réels. Dans un travail en cours avec R. Ernst, nous avons d'ores et déjà montré que les blocs de Jordan réels de taille _2N_ ne sont pas _(2N-2)_-supercycliques, ce qui donne une réponse complète à cette dernière.Dans le dernier chapitre de cette thèse, nous nous intéressons à l'introduction de nouvelles classes d'opérateurs hypercycliques sur les espaces lipschitz-libres. Plus précisément, on s'intéresse à la relation entre les propriétés de dynamique d'une application lipschitzienne _f:Mlongrightarrow M_ définie sur un espace métrique _M_ équipé d'un point distingué, noté _0_, telle que _f(0)=0_ et celles de son extension _widehat{f}:mathrm{F}(M)longrightarrow mathrm{F}(M)_, où _mathrm{F}(M)_ désigne l'espace Lipschitz-libre sur _M_.D'abord, nous donnons un critère, appelé "Critère d'hypercyclicité pour les opérateurs lipschitziens (HCCLO)", qui assure l'hypercyclicité de l'opérateur _widehat{f}_ sous certaines conditions sur _f_. Nous verrons que ce critère implique le critère classique d’hypercyclicité pour les opérateurs de la forme _widehat{f}_, mais que l'implication inverse n'est pas vraie en général. Ensuite, lorsque _M_ est un espace métrique complet séparable, nous montrons que _f_ faiblement mélangeante implique _f_ satisfait (HCCLO). Enfin, nous montrons dans le cas où _M=[a,b]_ et _f_ est transitive que _widehat{f}_ est Devaney chaotique. En particulier, _widehat{f}_ est hypercyclique. [Les DOLLAR ont été remplacés par des _

Γ\Gamma-supercyclicity of families of translates in weighted LpL^p-spaces on locally compact groups

International audienc

Exploring the Unexpected with Marlow in Conrad's Fiction

International audienc

Compact and weakly compact Lipschitz operators

International audienceAny Lipschitz map $f : M \to N$ between two pointed metric spaces may be extended in a unique way to a bounded linear operator $f : \mathcal F (M) \to \mathcal F (N)$ between their corresponding Lipschitz-free spaces. In this paper, we give a necessary and sufficient condition for f to be compact in terms of metric conditions on $f$. This extends a result by A. Jiménez-Vargas and M. Villegas-Vallecillos in the case of non-separable and unbounded metric spaces. After studying the behavior of weakly convergent sequences made of finitely supported elements in Lipschitz-free spaces, we also deduce that f is compact if and only if it is weakly compact

A note on the spectrum of Lipschitz operators and composition operators on Lipschitz spaces

Fix a metric space M and let Lip 0 (M) be the Banach space of complex-valued Lipschitz functions defined on M. A weighted composition operator on Lip 0 (M) is an operator of the kind wC f : g → w • g • f , where w : M → C and f : M → M are any map. When such an operator is bounded, it is actually the adjoint operator of a so-called weighted Lipschitz operator w f acting on the Lipschitz-free space F (M). In this note, we study the spectrum of such operators, with a special emphasize when they are compact. Notably, we obtain a precise description in the non-weighted w ≡ 1 case: the spectrum is finite and made of roots of unity

A PRE-ADJOINT APPROACH ON WEIGHTED COMPOSITION OPERATORS BETWEEN SPACES OF LIPSCHITZ FUNCTIONS

We consider weighted composition operators, that is operators of the type $g \mapsto w \cdot g \circ f$, acting on spaces of Lipschitz functions. Bounded weighted composition operators, as well as some compact weighted composition operators, have been characterized quite recently. In this paper, we provide a different approach involving their pre-adjoint operators, namely the weighted Lipschitz operators acting on Lipschitz free spaces. This angle allows us to improve some results from the literature. Notably, we obtain a distinct characterization of boundedness with a precise estimate of the norm. We also characterise injectivity, surjectivity, compactness and weak compactness in full generality