Multiple zeta values and the WKB method

The multiple zeta values ζ(d1, . . . , dr ) are natural generalizations of the values ζ(d) of the Riemann zeta functions at integers d. They have many applications, e.g. in knot theory and in quantum physics. It turns out that some generating functions for the multiple zeta values, like fd(x) = 1 − ζ(d)xd + ζ(d, d)x2d − . . . , are related with hypergeometric equations. More precisely, fd(x) is the value at t = 1 of some hypergeometric series dFd−1(t) = 1 − x t + . . ., a solution to a hypergeometric equation of degree d with parameter x. Our idea is to represent fd(x) as some connection coeffi- cient between certain standard bases of solutions near t = 0 and near t = 1. Moreover, we assume that |x| is large. For large complex x the above basic solutions are represented in terms of so-called WKB solutions. The series which define the WKB solutions are divergent and are subject to so-called Stokes phenomenon. Anyway it is possible to treat them rigorously. In the paper we review our results about application of the WKB method to the generating functions f x), focusing on the cases d = 2 and d = 3

Small amplitude limit cycles for the polynomial Liénard system

AbstractWe estimate for the maximal number of limit cycles bifurcating from a focus for the Liénard equation x¨+f(x)x˙+g(x)=0, where f and g are polynomials of degree m and n respectively. These estimates are quadratic in m and n and improve the existing bounds. In the proof we use methods of complex algebraic geometry to bound the number of double points of a rational affine curve

The restricted three body problem revisited

AbstractWe present a new computation of the Birkhoff normal form for the Hamiltonian of the restricted three body problem near the Lagrangian libration points. This leads to a new proof of the Lyapunov stability of these points

The Analytic and Formal Normal Form for the Nilpotent Singularity

AbstractWe study orbital normal forms for analytic planar vector fields with nilpotent singularity. We show that the Takens normal form is analytic. In the case of generalized cusp we present the complete formal orbital normal form; it contains functional moduli. We interprete the coefficients of these moduli in terms of the hidden holonomy group

Hybrydowe materiały elektrokatalityczne zawierające nanocząstki złota stabilizowane polioksometalanami

Niniejsza rozprawa doktorska, została poświęcona problematyce wytwarzania elektrokatalitycznych materiałów hybrydowych, opartych na nanostrukturalnym złocie, stabilizowanym polioksometalanami, rozpraszających nanostruktury czerni platynowej lub makrocykliczne układy porfirynowe (CoPPIX), dla potrzeb elektroutleniania niższych alkoholi alifatycznych (C2H5OH, CH3OH) i redukcji tlenu. Projektowanie oraz wytwarzanie cienkowarstwowych, organiczno-nieorganicznych układów hybrydowych, zawierających nanocząstki metali przejściowych, stanowi dynamicznie rozwijający się obszar nanotechnologii, kluczowy dla elektroniki molekularnej oraz elektrokatalizy. Intensywny postęp w tej dziedzinie podyktowany jest możliwością precyzyjnego sterowania morfologią, jak również właściwościami katalitycznymi poszczególnych składników warstwy hybrydowej na poziomie molekularnym. Synteza nanocząstek metali zazwyczaj prowadzona jest w obecności pasywujących warstw molekularnych, umożliwiających jednoczesne modelowanie procesów wzrostu nanostruktur oraz zapobieganie ich aglomeracji. Niejednokrotnie proponowane warstwy organicznych modyfikatorów, blokują powierzchnie metalu, stanowiąc źródło zahamowań propagacji ładunków w warstwie katalitycznej. Interesującą alternatywę, w stosunku do komercyjnie stosowanych stabilizatorów, takich jak alkanotiole czy aminy alifatyczne, mogą stanowić nieorganiczne, wielocentrowe mediatory redoks, o wysokim przewodnictwie protonowo-elektronowym, przykładowo heteropolianiony o strukturze Keggina. Jednym z podstawowych celów niniejszej rozprawy doktorskiej było zaprojektowanie oraz optymalizacja procedury wytwarzania koloidalnego złota, stabilizowanego monowarstwami fosfododekamolibdenianów typu Keggina (PMo12O403-). Zaproponowana dwustopniowa metoda syntezy opierała się na nukleacji w fazie ciekłej, zachodzącej w wyniku redukcji prekursora (HAuCl4) przez wielocentrowy mediator redoks w postaci heteropolibłękitu H3[H4P(MoV)4(MoVI)8O40]. Idea wykorzystania anionowych klasterów fosfododekamolibdenianów, jednocześnie jako reduktora oraz stabilizatora, została zrealizowana w oparciu o ich zdolność do ulegania szybkim i odwracalnym procesom przeniesienia elektronów, bez reorganizacji strukturalnej, przy jednoczesnej skłonności do spontanicznej adsorpcji na powierzchniach metali. Innym z moich głównych celów badawczych było zweryfikowanie wpływu parametrów operacyjnych syntezy na morfologię oraz wielkość pozyskiwanych nanostruktur złota. Zmiany stężenia prekursora lub reduktora oraz temperatur mieszanin modyfikujących, umożliwiły mi znalezienie korelacji pomiędzy zadanymi warunkami w przestrzeni reakcyjnej, a ilością struktur pseudo-sferycznych, w stosunku do anizotropowych układów płytkowych złota. Charakterystyka morfologii nanocząstek złota została przeprowadzona przy użyciu technik: skaningowej mikroskopii elektronowej oraz transmisyjnej mikroskopii elektronowej i skorelowana z widmami odpowiedzi plazmonów powierzchniowych złota, zarejestrowanymi techniką UV-Vis. Natura oddziaływania samoorganizowanych warstw molekularnych polioksometalanów z powierzchnią nanocząstek złota, została zbadana techniką spektroskopii w podczerwieni z odbiciem zewnętrznym (IRRAS), podczas gdy elementarna analiza jakościowa i ilościowa składu pierwiastkowego została wykonana metodą dyspersji promieniowania rentgenowskiego (EDS). W pracy doktorskiej zajęłam się również problemem wytworzenia wielofunkcyjnej matrycy hybrydowej zdolnej do specyficznej aktywacji protoporfiryny kobaltowej w procesie elektroredukcji tlenu. Utrudnienia geometryczne w mechanizmie mostkowej adsorpcji cząsteczek O2 na centrach kobaltowych, skoordynowanych z porfiryną, skutkują ograniczoną elektronowością procesu, z wytworzeniem nadtlenku wodoru, jako dominującego produktu końcowego. Generowany H2O2 powoduje degradację powłoki katalizatora przyczyniając się do jego postępującej dezaktywacji. Jako materiał nośny dla makrocyklicznego katalizatora kobaltowego zaproponowałam zorganizowany pseudo-dwuwymiarowy film hybrydowy zbudowany z ultracienkich powłok polimeru przewodzącego i zawierający rozproszone nanocząstki złota stabilizowane fosfododekamolibdenianami Keggina. Usieciowane organiczno-nieorganiczne materiały hybrydowe zostały osadzone na stacjonarnej elektrodzie węglowej w oparciu o sekwencyjną adsorpcję przeciwnie naładowanych polielektrolitów (monowarstw nanocząstek złota oraz kationowych ugrupowań monomerów, polimeryzowanych metodą chemiczno-elektrochemiczną na granicy faz). Metoda warstwowego rozbudowywania kompozytów stworzyła możliwość kontrolowanego wzrostu stężenia powierzchniowego nanostrukturalnego złota, przy zachowaniu jego wysokiej dyspersji. Zorganizowane wielowarstwy nanocząstek złota oraz polimerów przewodzących były badane metodami elektrochemicznymi pod kątem: stabilności fizykochemicznej, zdolności do efektywnej mediacji ładunków oraz specyficznej reaktywności względem elektroredukcji nadtlenku wodoru, niepożądanego produktu elektroredukcji tlenu. Spotęgowanie aktywności katalitycznej protoporfiryny kobaltowej w procesie elektroredukcji tlenu, towarzyszące jej osadzeniu na wielowarstwowym podłożu zawierającym naprzemiennie nanocząski złota (stabilizowane polioksometalanami) oraz warstwy polipirolu, przypisano skumulowaniu wysokiej aktywności katalitycznej tej matrycy względem redukcji H2O2, wraz ze zdolnością polipirolu do ulegania specyficznym oddziaływaniom π-elektronowym z układem sprzężonych pierścieni w makrocyklu protoporfiryny kobaltowej. Należy dodatkowo nadmienić iż terminalne atomy tlenu fosfododekamolibdenianów, zaadsorbowanych na złocie, uczestniczyły w wytwarzaniu specyficznie ukierunkowanych wiązań wodorowych, z ugrupowaniami H3O+ oraz H5O2+, pełniącymi funkcję donorów protonów, do granicy faz centrum kobaltowe/elektrolit. Obecność polipirolu w wielowarstwowej matrycy sprzyjała mostkowej adsorpcji tlenu na centrach kobaltowych porfiryny, faworyzując czteroelektronową redukcję tlenu. Kolejną część pracy badawczej poświęciłam zagadnieniu wytworzenia wielofunkcyjnych warstw katalitycznych bazujących na nanometrycznych ziarnach dwutlenku tytanu, nanostrukturalnym złocie stabilizowanym fosfododekamolibdenianami oraz na cząstkach czerni platynowej aktywnej w procesie elektroutleniania etanolu. Elektroutlenianie etanolu stanowi dynamicznie rozwijający się obszar katalizy heterogenicznej, jednakże elektronowość elementarnego procesu utleniania C2H5OH jest ograniczona i daleka od teoretycznej wartości (12e-). Znaczące nadnapięcie aktywacyjne procesu, przypisywane jest ograniczonej rozszczepialności wiązania zespalającego atomy węgla w cząsteczce C2H5OH oraz wysokiej podatności metali przejściowych wobec adsorpcji produktów ubocznych (CO, RCHO). Ostatnie prace koncentrują się na poszukiwaniu trwałych funkcjonalnych matryc zdolnych do efektywnej aktywacji centrów platynowych. W prowadzonych badaniach wykorzystałam matrycę zbudowaną z TiO2 do wytworzenia modelowego modyfikatora, specyficznie aktywującego czerń platynową w procesie elektroutleniania etanolu. Korzystny wpływ matrycy TiO2 wobec platyny, został przypisany: zmianom w zdolnościach adsorpcyjnych atomowego wodoru na granicy faz Pt/TiO2 (ang. hydrogen spill-over effect), mechanizmowi dwufunkcyjnemu, zmianom uwarunkowań elektronowych Pt oraz czynnikom morfologicznym. Atrakcyjność uzyskanego efektu synergicznego, pomiędzy strukturami czerni platynowej, a dwutlenkiem tytanu, została wzmocniona, w następstwie kontrolowanych procesów modyfikowania TiO2, nanostrukturalnym złotem (Au/PMo12), mających na celu zmniejszenie zahamowań kinetycznych propagacji ładunków w warstwie TiO2. Jednocześnie uzyskano wzmocnienie mechanizmu dwufunkcyjnego dzięki obecności na złocie monowarstw PMo12O403-, uczestniczących w jonizacji wody, z wytworzeniem specyficznie aktywnych grup OH, odblokowujących powierzchnię platyny z CO. Wielocentrowy mediator redoks, w postaci polioksometalanu, charakteryzował się silnymi właściwościami utleniającymi względem CO oraz HCHO, przy zachowaniu wysokiego przewodnictwa elektronowego i jonowego. W ostatniej części badań własnych, przystąpiłam do wykazania istoty efektu nanostrukturalnego, przypisanego kwantowym efektom rozmiarowym, konstruując wielofunkcyjny materiał elektrokatalityczny, oparty na nanocząstkach złota (o rozmiarach poniżej 5 nm), osadzonych na wielościennych nanorurkach węglowych (Au/MWCNTs), aktywujący elektroutlenianie metanolu w środowisku alkalicznym. Efekt preferencyjnej redukcji prekursora (HAuCl4) na płaszczyznach grafenowych, został uwydatniony w następstwie egzohedralnej funkcjonalizacji nanorurek, polarnymi grupami tlenowymi, stanowiącymi preferencyjne centra nukleacji, obniżające energię aktywacji heterogenicznego zarodkowania nanokrystalitów złota. Wprowadzone do mieszaniny reakcyjnej, heteropolianiony fosfododekawolframianowe, miały spełniać funkcję zawady sterycznej ograniczającej rozrost generowanych nanocząstek złota. Dlatego po zakończeniu syntezy, były poddawane hydrolizie, w celu odblokowania powierzchni aktywnej katalizatora. Podjęte badania elektrochemiczne umożliwiły mi wyjaśnienie specyfiki procesów elektrokatalitycznych, w zakresach potencjałowych generowania anionów mrówczanowych oraz węglanowych, zachodzących z udziałem uwodnionych tlenków powierzchniowych złota (AuOx) oraz skompleksowanych jednostek AuOH i [Au2(OH)9]3-, wytwarzanych z metastabilnych centrów złota. Wyniki uzyskane w trakcie studiów doktoranckich zostały opublikowane w następujących czasopismach: Electroanalysis, Electrochimica Acta, Journal of Solid State Electrochemistry, Electrochemistry Communications, Applied Surface Science, Electrochimica Acta, ECS Transactions of Electrochemical Society oraz w Biuletynie Polskiego Stowarzyszenia Wodoru i Ogniw Paliwowych

Osteoporoza posteroidowa w chorobie Leśniowskiego-Crohna — studium przypadku

Choroba Leśniowskiego-Crohna cechuje się przewlekłym przebiegiem i wymaga długotrwałego leczenia. Intensywna steroidoterapia prowadzi do wystąpienia licznych powikłań, w tym wtórnej osteoporozy. Wykonywanie odpowiednich badań diagnostycznych (densytometria), właściwa profilaktyka oraz wdrożenie leczenia w odpowiednim czasie minimalizują negatywne skutki steroidoterapii. W niniejszym artykule opisano pacjenta, u którego wystąpiła posteroidowa osteoporoza w przebiegu choroby Leśniowskiego-Crohna

Zaćma jako powikłanie przewlekłej steroidoterapii stosowanej w leczeniu choroby Leśniowskiego-Crohna

In this article we present a case of 49-year-old patient hospitalizated in the Department of Gastroenterology, Human Nutrition and Internal Diseases of Clinical Hospital in Poznan due to Lesniowski-Crohn’s disease. In order to the remission of ongoing inflammation and control of relapses, patient used an intense steroid therapy for period of 5 years. In the discussion we describe shortly Lesniowski-Crohn’s disease, one of the inflammatory bowel diseases, including gastrointensinal and parenteral symptoms. The authors focused on multi-organ complications of chronic steroid therapy. In the article we watch out for ocular symptoms and the development of posterior subcapsular cataract which was diagnosed in patient. It is a problem present in a large group of patients, including the side effects of long-term steroid therapy. It should be stressed that steroid-induced cataract is a major problem in the population of patients with long-term treatment, and might impact the quality of life. This article includes above all clinical symptoms, pathological mechanism and risk factors inducing cataract. We present also medical indications qualifying for surgical implantation of intraocular lenses (IOLs). It came out that discontinuation of steroid therapy does not cure cataract and does not prevent further side effects of the management, so long treatment and clinical supervision of the patient are necessary. The study highlights complications that can occur after ophthalmic surgery. The role of the physician who prescribes steroid therapy is very significant because he is in charge of implementation of prevention steps and treatment of complications. The aim is to underline that only interdisciplinary approach in patients with Lesniowski-Crohn’s disease can benefit and it concerns both specialist as well general practitioner.W artykule przedstawiono przypadek 49-letniego pacjenta leczonego w Klinice Gastroenterologii, Żywienia Człowieka i Chorób Wewnętrznych w Poznaniu z powodu choroby Leśniowskiego-Crohna. W celu remisji toczącego się stanu zapalnego oraz opanowania rzutów choroby u pacjenta stosowano intensywną steroidoterapię przez okres pięciu lat. W poniższym omówieniu zawarto krótką charakterystykę choroby Leśniowskiego-Crohna, należącej do nieswoistych chorób zapalnych jelit oraz poszczególnych objawów pozajelitowych, występujących w jej przebiegu. Autorzy skupili się na licznych wielonarządowych powikłaniach wynikających z przewlekłej steroidoterapii. W artykule zwrócono uwagę na objawy oczne i rozwój zaćmy podtorebkowej tylnej, którą rozpoznano u przedstawionego pacjenta podczas konsultacji okulistycznej. Stanowi ona problem obecny u sporej grupy pacjentów, u której opisano skutki uboczne wieloletniego leczenia glikokortykosteroidami. Należy zatem podkreślić, że zaćma posteroidowa stanowi istotny problem w populacji dłu­gotrwale leczonych pacjentów, wpływający na jakość życia oraz chęć dalszej współpracy z lekarzem. W pracy uwzględniono przede wszystkim objawy kliniczne, patomechanizm oraz czynniki predysponujące do rozwoju zaćmy posteroidowej. Omówiono wskazania kwalifikujące pacjenta do zabiegu operacyjnego wszczepienia sztucznych soczewek. Okazuje się, że samo odstawienie glikokortykosteroidów nie powoduje wyleczenia zaćmy, co dodatkowo komplikuje postępowanie z pacjentem oraz wydłuża konieczność postępowania terapeutycznego i obserwacji. W pracy wyróżniono również powikłania mogące wystąpić po przeprowadzonym zabiegu okulistycznym. Zwrócono uwagę na rolę lekarza zlecającego leczenie glikokortykosteroidami — jego rolę we wdrażaniu odpowiednich kroków w profilaktyce oraz w leczeniu powikłań, przed ich dalszym rozwinięciem. Celem pracy jest podkreślenie konieczności wieloaspektowego i wielodyscyplinarnego podejścia do pacjenta z chorobą Leśniowskiego-Crohna zarówno przez lekarza specjalistę, jak i lekarza medycyny rodzinnej