Weakly Admissible Vector Equilibrium Problems

We establish lower semi-continuity and strict convexity of the energy functionals for a large class of vector equilibrium problems in logarithmic potential theory. This in particular implies the existence and uniqueness of a minimizer for such vector equilibrium problems. Our work extends earlier results in that we allow unbounded supports without having strongly confining external fields. To deal with the possible noncompactness of supports, we map the vector equilibrium problem onto the Riemann sphere and our results follow from a study of vector equilibrium problems on compacts in higher dimensions. Our results cover a number of cases that were recently considered in random matrix theory and for which the existence of a minimizer was not clearly established yet.Comment: 16 page

A Note on Large Deviations for 2D Coulomb Gas with Weakly Confining Potential

We investigate a Coulomb gas in a potential satisfying a weaker growth assumption than usual and establish a large deviation principle for its empirical measure. As a consequence the empirical measure is seen to converge towards a non-random limiting measure, characterized by a variational principle from logarithmic potential theory, which may not have compact support. The proof of the large deviation upper bound is based on a compactification procedure which may be of help for further large deviation principles.Comment: 13 page

Large Deviations for a Non-Centered Wishart Matrix

We investigate an additive perturbation of a complex Wishart random matrix and prove that a large deviation principle holds for the spectral measures. The rate function is associated to a vector equilibrium problem coming from logarithmic potential theory, which in our case is a quadratic map involving the logarithmic energies, or Voiculescu's entropies, of two measures in the presence of an external field and an upper constraint. The proof is based on a two type particles Coulomb gas representation for the eigenvalue distribution, which gives a new insight on why such variational problems should describe the limiting spectral distribution. This representation is available because of a Nikishin structure satisfied by the weights of the multiple orthogonal polynomials hidden in the background.Comment: 40 page

Problèmes d'équilibre vectoriels et grandes déviations

Dans cette thèse on s'intéresse à la convergence et aux grandes déviations de la mesure empirique associée à certains processus ponctuels déterminantaux. Le point commun entre ces processus ponctuels est que leur polynôme caractéristique moyen est un polynôme orthogonal multiple, une généralisation des polynômes orthogonaux usuels. L'exemple le plus simple est fourni par un gaz de Coulomb bidimensionnel dans un potentiel confinant à température inverse bêta = 2; son polynôme caractéristique moyen est alors un polynôme orthogonal. Il a été prouvé, même dans le cas plus général où bêta > 0, que la mesure empirique satisfait à un principe de grande déviation, avec une fonction de taux qui fait intervenir un problème d'équilibre bien connu en théorie logarithmique du potentiel. En guise d'échauffement, nous allons montrer que ce résultat s'étend au cas d'un potentiel faiblement confinant, c'est-à-dire satisfaisant une condition de croissance plus faible que d'habitude. Pour ce faire, nous utilisons un argument de compactification qui sera d'importance pour la suite. Anticipant la description asymptotique de processus déterminantaux plus complexes, nous développons alors un cadre adéquat pour définir rigoureusement des problèmes d'équilibre vectoriels avec des potentiels faiblement confinants. Nous prouvons l'existence et l'unicité de leurs solutions, un résultat nouveau en théorie du potentiel, et aussi que les fonctionnelles associées ont des ensembles de niveau compacts. Après, nous nous intéressons à un processus ponctuel déterminantal associé à une perturbation additive d'une matrice de Wishart, pour lequel le polynôme caractéristique moyen est un polynôme orthogonal multiple à deux poids. Nous établissons un principe de grande déviation pour la mesure empirique avec une fonction de taux qui fait intervenir un problème d'équilibre vectoriel ayant des potentiels faiblement confinants. C'est la première fois qu'un problème d'équilibre vectoriel intervient dans la description des grandes déviations de matrices aléatoires. Finalement, on étudie de façon générale quand est-ce que la mesure empirique associée à un processus ponctuel déterminantal et la distribution des zéros du polynôme caractéristique moyen associé convergent vers la même limite. Nous obtenons une condition suffisante pour une classe de processus ponctuels déterminantaux qui contient les processus liés aux polynômes orthogonaux multiples. En chemin, nous donnons aussi une condition suffisante pour améliorer la convergence en moyenne de la mesure empirique en une convergence presque sûre. Comme application, on décrit les distributions asymptotiques des zéros des polynômes de Hermite multiple et de Laguerre multiple en termes de convolutions libres de distributions classiques avec des mesures discrètes, et puis nous dérivons des équations algébriques pour leur transformée de Cauchy- Stieltjes.In this thesis we investigate the convergence and large deviations of the empirical measure associated with several determinantal point processes. These point processes have in common that their average characteristic polynomial is a multiple orthogonal polynomial, the latter being a generalization of orthogonal polynomials. The first simplest example is a 2D Coulomb gas in a confining potential at inverse temperature beta = 2, for which the average characteristic polynomial is an orthogonal polynomial. A large deviation principle for the empirical measure is known to hold, even in the general beta > 0 case, with a rate function involving an equilibrium problem arising from logarithmic potential theory. As a warming up, we show this result actually extends to the case where the potential is weakly confining, i.e. satisfying a weaker growth assumption that usual. To do so, we introduce a compactification procedure which will be of important use in what follows. Motivated by more complex determinantal point processes, we then develop a general framework for vector equilibrium problems with weakly confining potentials to make sense. We prove existence and uniqueness of their solutions, which improves the existing results in the potential theory literature, and moreover show that the associated functionals have compact level sets. Next, we investigate a determinantal point process associated with an additive perturbation of a Wishart matrix, for which the average characteristic polynomial is a multiple orthogonal polynomial associated with two weights. We establish a large deviation principle for the empirical measure with a rate function related to a vector equilibrium problem with weakly confining potentials. This is the first time that a vector equilibrium problem is shown to be involved in a large deviation principle for random matrix models. Finally, we study on a more general level when both the empirical measure of a determinantal point process and the zero distribution of the associated average characteristic polynomial converge to the same limit. We obtain a sufficient condition for a class of determinantal point processes which contains the ones related to multiple orthogonal polynomials. On the way, we provide a sufficient condition to strengthen the mean convergence of the empirical measure to the almost sure one. As an application, we describe the limiting distributions for the zeros of multiple Hermite and multiple Laguerre polynomials in terms of free convolutions of classical distributions with atomic measures, and then derive algebraic equations for their Cauchy-Stieltjes transforms