Path-kipas Ramsey numbers

For two given graphs $F$ and $H$, the Ramsey number $R(F,H)$ is the smallest positive integer $p$ such that for every graph $G$ on $p$ vertices the following holds: either $G$ contains $F$ as a subgraph or the complement of $G$ contains $H$ as a subgraph. In this paper, we study the Ramsey numbers $R(P_n,\hat{K}_m)$, where $P_n$ is a path on $n$ vertices and $\hat{K}_m$ is the graph obtained from the join of $K_1$ and $P_m$. We determine the exact values of $R(P_n,\hat{K}_m)$ for the following values of $n$ and $m$: $1\le n \le 5$ and $m\ge 3$; $n\ge 6$ and ($m$ is odd, $3\le m\le 2n-1$) or ($m$ is even, $4\le m \le n+1$); $6\le n\le 7$ and $m=2n-2$ or $m \ge 2n$; $n\ge 8$ and $m=2n-2$ or $m=2n$ or ($q\cdot n-2q+1 \le m\le q\cdot n-q+2$ with $3\le q\le n-5$) or $m\ge (n-3)^2$; odd $n\ge 9$ and ($q\cdot n-3q+1\le m\le q\cdot n-2q$ with $3\le q\le (n-3)/2$) or ($q\cdot n-q-n+4m\le q\cdot n-2q$ with $(n-1)/2\le q\le n-4).$ Moreover, we give lower bounds and upper bounds for $R(P_n ,\hat{K}_m)$ for the other values of $m$ and $n$

THE ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORICS (2014), DS1.14 References

and Computing 11. The results of 143 references depend on computer algorithms. The references are ordered alphabetically by the last name of the first author, and where multiple papers have the same first author they are ordered by the last name of the second author, etc. We preferred that all work by the same author be in consecutive positions. Unfortunately, this causes that some of the abbreviations are not in alphabetical order. For example, [BaRT] is earlier on the list than [BaLS]. We also wish to explain a possible confusion with respect to the order of parts and spelling of Chinese names. We put them without any abbreviations, often with the last name written first as is customary in original. Sometimes this is different from the citations in other sources. One can obtain all variations of writing any specific name by consulting the authors database of Mathematical Reviews a

Finding combinatorial structures

In this thesis we answer questions in two related areas of combinatorics: Ramsey theory and asymptotic enumeration. In Ramsey theory we introduce a new method for finding desired structures. We find a new upper bound on the Ramsey number of a path against a kth power of a path. Using our new method and this result we obtain a new upper bound on the Ramsey number of the kth power of a long cycle. As a corollary we show that, while graphs on n vertices with maximum degree k may in general have Ramsey numbers as large as ckn, if the stronger restriction that the bandwidth should be at most k is given, then the Ramsey numbers are bounded by the much smaller value. We go on to attack an old conjecture of Lehel: by using our new method we can improve on a result of Luczak, Rodl and Szemeredi [60]. Our new method replaces their use of the Regularity Lemma, and allows us to prove that for any n > 218000, whenever the edges of the complete graph on n vertices are two-coloured there exist disjoint monochromatic cycles covering all n vertices. In asymptotic enumeration we examine first the class of bipartite graphs with some forbidden induced subgraph H. We obtain some results for every H, with special focus on the cases where the growth speed of the class is factorial, and make some comments on a connection to clique-width. We then move on to a detailed discussion of 2-SAT functions. We find the correct asymptotic formula for the number of 2-SAT functions on n variables (an improvement on a result of Bollob´as, Brightwell and Leader [13], who found the dominant term in the exponent), the first error term for this formula, and some bounds on smaller error terms. Finally we obtain various expected values in the uniform model of random 2-SAT functions

BILANGAN RAMSEY UNTUK GRAF GABUNGAN BINTANG

Disertasi doktorBilangan Ramsey R(G;H) untuk suatu graf G dan H adalah bilangan bulat\ud terkecil n sedemikian sehingga untuk sebarang graf F dengan n titik memenuhi\ud sifat: F memuat G atau komplemen dari F memuat H. Batas bawah bilangan\ud Ramsey R(G;H) yang diberikan oleh Chv??atal dan Harary adalah R(G;H) ??\ud (??(H) ?? 1)(C(G) ?? 1) + 1, dengan ??(H) adalah bilangan kromatik graf H dan\ud C(G) adalah banyaknya titik pada komponen terbesar graf G. Sejak adanya\ud batas bawah ini, kajian bilangan Ramsey berkembang pesat. Salah satu topik\ud yang paling banyak dikaji adalah bilangan Ramsey untuk graf pohon. Hal\ud ini disebabkan oleh struktur pohon yang berbeda-beda. Struktur yang paling\ud sederhana adalah lintasan dan bintang. Karena itu, pengkajian bilangan Ram-\ud sey untuk graf pohon umumnya dimulai dengan pengkajian bilangan Ramsey\ud untuk lintasan atau bintang.\ud Hasil kajian Baskoro dkk. (2002) tentang bilangan Ramsey untuk pohon dan\ud roda menunjukkan bahwa struktur yang paling berpengaruh pada penentuan\ud bilangan Ramsey untuk pohon adalah bintang, meskipun struktur bintang terse-\ud but adalah struktur pohon yang paling sederhana. Dalam disertasi ini, kami\ud mengkaji penentuan bilangan Ramsey untuk bintang versus beberapa graf ter-\ud tentu, R(Sn;H), serta bilangan Ramsey untuk gabungan bintang versus H,\ud R(\ud Sk\ud i=1 Sni ;H), dengan H adalah roda atau graf bipartit lengkap. Kami mem-\ud buktikan bahwa bilangan Ramsey untuk bintang dan roda, R(Sn;Wm) = 3n??2\ud untuk n ?? 3 dan m ganjil dengan 3 ?? m ?? 2n??1. Berdasarkan hasil ini, dapat\ud ditunjukkan bahwa R(\ud Sk\ud i=1 Sni ;Wm) = R(Snk ;Wm) + n1 + : : : ;+nk??1, untuk\ud m = 4 dan m ganjil. Selain itu, kami menentukan bilangan Ramsey untuk bin-\ud tang dan roda berorde genap, R(Sn;Wm), dan R(kSn;Wm) untuk m = 2n ?? 4;\ud m = 2n ?? 2, m = 2n ?? 8; atau m = 2n ?? 6.\ud Kajian bilangan Ramsey untuk bintang dan graf bipartit lengkap, R(Sn;Kt;m),\ud belum banyak dilakukan. Dalam disertasi ini, kami mengkaji R(Sn;Kt;m) un-\ud tuk n; t yang kecil dan beberapa m tertentu. Kami menentukan R(Sn;K2;2)\ud untuk n = 6; atau 8; dan R(S6;K2;m) untuk m = 3; 4; 6; 5; 4n ?? 7; atau\ud m = ??2 + 4\ud Pk\ud i=1\ud 3i, serta R(Sn;K2;2) untuk n = 6; atau 8: Setelah itu, di-\ud tentukan R(kS1+p;K2;2) untuk p ?? 3 dan k ?? 2.\ud i\ud Pada bagian akhir disertasi ini, ditunjukkan bahwa bilangan Ramsey untuk\ud gabungan saling lepas pohon dan roda berorde lima, R(\ud Sk\ud i=1 Tni ;W4), bernilai\ud sama dengan R(\ud Sk\ud i=1 Sni ;W4) jika ni ganjil untuk setiap i. Setelah itu, kami\ud menunjukkan suatu hasil yang besar dari penelitian ini bahwa untuk H dan\ud Gi graf sebarang dan terhubung, jika jGij > (jGij ?? jGi+1j)(??(H) ?? 1) dan\ud R(Gi;H) = (??(H) ?? 1)(jGij ?? 1) + 1 untuk setiap i, maka R(\ud Sk\ud i=1 Gi;H) =\ud R(Gk;H) +\ud Pk??1\ud i=1 jGij