Teories topològiques quàntiques de camps en dimensió 2

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any:2015, Director: Ignasi Mundet i RieraLa idea inicial d'aquest treball després d'haver cursat l'assignatura de Topologia algebraica. En el curs es construïren ponts entre el món topològic i l'algebraic, fet que provocà l'augment del meu interès cap a visions i tractaments transversals dins les matemàtiques i la intenció d'aprofundir-hi. Tenint en compte aquestes circumstàncies puc afirmar que un dels objectius de la realització del treball, que no del document que tens a les mans, ha estat la iniciació o l'aprofundiment en àrees que la pròpia estructura dels estudis de grau no permet, especialment en topologia diferencial i en teoria de categories. L'altre objectiu ha estat sense cap mena de dubte la recerca d'una dinàmica que permetés l'aprenentatge de manera distinta a com és plantejat normalment en els cursos usuals de grau, amb altres tempos, prioritats i objectius

Teoria K per C*-àlgebres

Aquest treball té com a objectiu introduir el lector a la teoria K per C*-àlgebres demostrant-ne dos dels seus resultats centrals: La periodicitat de Bott i la subsegüent successió exacta cíclica de sis termes.De manera similar a la teoria K algebraica, a la teoria K per C*-àlgebres es construeix una família de functors Kn de la categoria de C*-àlgebres a la de grups abelians. Aquests functors, que assignen a cada C*-àlgebra A una família de grups abelians Kn(A), permeten deduir propietats estructurals de l'àlgebra. Per construir-los, cal destacar que l'enfoc que es dóna difereix lleugerament de l'original, fet que permet fer més concisa l'exposició. A l'hora de calcular els K-grups, la periodicitat de Bott permet reduir-nos a calcular només els grups K0 i K1. D'altra banda, la successió exacta cíclia de sis termes és una eina molt útil per calcular K0 i K1 de l'àlgebra en termes dels corresponents grups d'un ideal i del seu quocient respectiu

Alguns punts d'àlgebra homotopica

L'any 1967, D. Quillen introduí la noció de categoria de models, estructura adaptada a l'estudi de l'àlgebra homotòpica. Una estructura de categoria de models en una categoria donada consisteix en l'elecció de tres classes de morfismes distingits, sotmeses a uns certs axiomes, que permeten definir una teoria d'homotopia en la categoria i representacions concretes de la categoria homotòpica. Així mateix, una estructura de categoria de models dóna criteris per a l'existència i el càlcul dels functors derivats de functors definits entre categories que posseixen la dita estructura. Aquest és el context de la memòria. Pel que fa a les categories de models, s'hi demostra que categories habituals de l'àlgebra homològica diferencial i de l'homotopia racional, com són la de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc, o la d'extensions d'una àlgebra dgc fixada, tenen una tal estructura. Com a aplicació, es demostra l'existència dels functors derivats dels functors "producte tensorial" i "indescomponibles" (cap. II). Un tipus de models particulars són els models minimals, introduïts a l'homotopia racional per Sullivan. En la memòria es proposa una definició categòrica dels mateixos, que comprèn altres models "minimals" de la literatura (resolucions minimals de Tate-Jozefiak, per exemple). Així mateix es demostra l'existència de tals models en les categories de complexos de cocadenes a coeficients en un anell local i en la de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc (cap. IV). El punt central de la memòria és l'estudi de les estructures de categories de models i dels models minimals en les categories bifi-brades, la definició de les quals és deguda a Grothendieck. Una categoria bifibrada pot pensar-se com una família de categories parame-tritzada per una altra categoria. Així, per exemple, les categories de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc qualsevol o la categoria de morfismes d'àlgebres dgc són categories bifibrades. En la memòria es demostra que tals categories admeten una estructura natural de categoria de models i es caracteritzen els seus models minimals (cap. III i IV). Entre els diversos tipus d'homotopia racional, Sullivan distingeix els formals, com aquells determinats completament per l'àlgebra de cohomologia. Aquesta noció prové d'una obstrucció homotòpica a l'existència d'estructures kälherianes sobre una varietat. En la memòria, es dóna una definició categòrica de formalitat. Aplicada a les categories bifibrades anteriors, permet generalitzar el resultat de Sullivan: la formalitat dels morfismes d'àlgebres dgc és independent del cos base (cap. IV, teorema V). L'últim capítol està dedicat al tor diferencial, functor derivat del producte tensorial de mòduls dg i àlgebres dgc. Els principals resultats són la comparació de les diferents defincions del tor diferencial i la compatibilitat amb els functors d'oblit i dels indescomponibles (cap. V).On 1967 D. Quillen introduced the notion of model category, a structure adapted for the study of homotopical algebra. A model category structure in a given category consists in the election of three types of distinguished morphisms, subject to certain axioms, which allow to define an homotopy theory in the category and specific representations of the homotopy category. Also, a structure of model category provides with criteria for the existence and calculation of derived functors of functors defined among categories which share the above mentioned structure. This is the context to this report. Regarding the model categories, we prove here that, usual categories in diferential homological algebra and in rational homotopy, such as the category of dg-modules over a dgc-algebra, or the category of extensions of a fixed dgc-algebra have such a structure. As an application, we prove the existence of the derived functors of «tensorial product» and «indecomposables» (chapter II). A particular type of models are minimal models, introduced in rational homotopyby Sullivan. In this report we suggest a categorical definition of these models, which includes other minimal models already written about (as, for example Tate-Jozefiakminimal resolutions). Also, we prove the existence of these models in the category of cochain complexes over a local ring and in the category of dg-modules over adgc-algebra. The central theme in this report is the study of the structures of model categories and of minimal models in bifibred categories. We owe the definition of these to Grothendieck. We can consider a bifibred category as a family of categories parametrized by another category. For example, the category of dg-modules over anydgc-algebra or the category of morphisms of dgc-algebras are bifibred categories. In the report we prove that such categories admit a natural structure of model category and we characterize their minimal models (chapters III and IV). Among the diferent types of rational homotopy , Sullivan points out the formals as the ones being determinated entirely by the cohomology algebra. This notion derives from the existence of an homotopic obstruction to the existence of k¨alherianstructures on a variety. In this report we give a categorical definition of formality. This definition, applied to the above mentioned bifibred categories, allows a generalization of the results of Sullivan: formality of dgc-algebra morphisms does not depend on theground field (chapter IV, theoreme V). The last chapter centres on the diferential tor, the derived functor of tensorial product of dg-modules and dgc-algebras. The main results are the comparison between the diferent definitions of this diferential tor and the compatibility with the forgetful functor and the indecomposable functor (chapter V)

Objective combinatorics through decomposition spaces /

Aquesta tesi proveeix construccions generals en el context d'espais de descomposici, generalitzant els resultats clàssics de la combinatòria al context homotòpic. Això requereix desenvolupar eines generals en la teoria d'espais de descomposició i noves perspectives, que siguin d'interès general, independentment de les aplicacions a la combinatòria. Al primer capítol, resumim la teoria de l'homotopia i la combinatòria de la 2-categoria de grupoides. Continuem amb una revisió de les nocions necessàries de la teoria de categories d'ordre infinit. A continuació, resumim la teoria dels espais de descomposició. Al segon capítol, identifiquem les estructures que tenen bi(co)mòduls d'incidència: són certs espais de Segal dobles augmentats subjectes a unes condicions d'exactitud. Establim un principi d'inversió de Möbius per a (co)mòduls i una fórmula de Rota per a certes estructures més implicades anomenades configuracions de bicomòduls de Möbius. La instància més important d'aquesta última noció sorgeix com cilindres d'aplicació d'adjuncions d'ordre infinit, o més generalment d'adjuncions entre espais de descomposició de Möbius, amb l'esperit de la fórmula original de Rota. Al tercer capítol, presentem eines per proveir situacions en què s'aplica la fórmula generalitzada de Rota. Com a exemple, calculem la funció de Möbius de l'espai de descomposició dels conjunts parcialment ordenats finits i l'explotem per obtenir també una fórmula per a l'àlgebra d'incidència de qualsevol espècie de restricció dirigida, operad lliure, o més generalment monada lliure sobre una monada polinòmica finitària. Al quart capítol, mostrem que les espècies hereditàries de Schmitt indueixen espais de descomposició monoidals i exhibim la construcció de biàlgebra de Schmitt com a instància de la construcció general de biàlgebra en un espai de descomposició monoidal. A més, mostrem que aquesta estructura de biàlgebra coactua sobre l'estructura de biàlgebra de les espècies restringides subjacent, per formar una biàlgebra en comòduls. Finalment, mostrem que les espècies hereditàries indueixen a una nova família d'exemples de categories operàdiques en el sentit de Batanin i Markl. Al cinquè capítol, que representa un treball conjunt amb Joachim Kock, introduïm una noció d'antípoda per a espais de descomposició (complets) monoidals, que indueixen una noció d'antípoda feble per a les seves bialgebres d'incidència. En el cas connectat, recuperem la noció habitual d'antípoda per a les àlgebres de Hopf. En el cas no connectat expressa un principi d'inversió d'abast més limitat, però sempre suficient per calcular la funció de Möbius com μ = ζ ◦ S, tal com per a les àlgebres de Hopf. Al nivell de les espais de descomposició, l'antípoda feble pren la forma d'una diferència formal d'endofunctors lineals Seven − Sodd, i és un refinament de la construcció general d'inversió de Möbius de Gálvez-Kock-Tonks, però explotant l'estructura monoidal.This thesis provides general constructions in the context of decomposition spaces, generalising classical results from combinatorics to the homotopical setting. This requires developing general tools in the theory of decomposition spaces and new viewpoints, which are of general interest, independently of the applications to combinatorics. In the first chapter, we summarise the homotopy theory and combinatorics of the 2-category of groupoids. We continue with a review of needed notions from the theory of ∞-categories. We then summarise the theory of decomposition spaces. In the second chapter, we identify the structures that have incidence bi(co)modules: they are certain augmented double Segal spaces subject to some exactness conditions. We establish a Möbius inversion principle for (co)modules, and a Rota formula for certain more involved structures called Möbius bicomodule configurations. The most important instance of the latter notion arises as mapping cylinders of infinity adjunctions, or more generally of adjunctions between Möbius decomposition spaces, in the spirit of Rota's original formula. In the third chapter, we present some tools for providing situations where the generalised Rota formula applies. As an example of this, we compute the Möbius function of the decomposition space of finite posets, and exploit this to derive also a formula for the incidence algebra of any directed restriction species, free operad, or more generally free monad on a finitary polynomial monad. In the fourth chapter, we show that Schmitt's hereditary species induce monoidal decomposition spaces, and exhibit Schmitt's bialgebra construction as an instance of the general bialgebra construction on a monoidal decomposition space. We show furthermore that this bialgebra structure coacts on the underlying restriction-species bialgebra structure so as to form a comodule bialgebra. Finally, we show that hereditary species induce a new family of examples of operadic categories in the sense of Batanin and Markl. In the fifth chapter, representing joint work with Joachim Kock, we introduce a notion of antipode for monoidal (complete) decomposition spaces, inducing a notion of weak antipode for their incidence bialgebras. In the connected case, this recovers the usual notion of antipode in Hopf algebras. In the non-connected case it expresses an inversion principle of more limited scope, but still sufficient to compute the Möbius function as μ = ζ ◦ S, just as in Hopf algebras. At the level of decomposition spaces, the weak antipode takes the form of a formal difference of linear endofunctors S_even - S_odd, and it is a refinement of the general Möbius inversion construction of Gálvez--Kock--Tonks, but exploiting the monoidal structure

Objective combinatorics through decomposition spaces

Aquesta tesi proveeix construccions generals en el context d'espais de descomposici, generalitzant els resultats clàssics de la combinatòria al context homotòpic. Això requereix desenvolupar eines generals en la teoria d'espais de descomposició i noves perspectives, que siguin d'interès general, independentment de les aplicacions a la combinatòria. Al primer capítol, resumim la teoria de l'homotopia i la combinatòria de la 2-categoria de grupoides. Continuem amb una revisió de les nocions necessàries de la teoria de categories d'ordre infinit. A continuació, resumim la teoria dels espais de descomposició. Al segon capítol, identifiquem les estructures que tenen bi(co)mòduls d'incidència: són certs espais de Segal dobles augmentats subjectes a unes condicions d'exactitud. Establim un principi d'inversió de Möbius per a (co)mòduls i una fórmula de Rota per a certes estructures més implicades anomenades configuracions de bicomòduls de Möbius. La instància més important d'aquesta última noció sorgeix com cilindres d'aplicació d'adjuncions d'ordre infinit, o més generalment d'adjuncions entre espais de descomposició de Möbius, amb l'esperit de la fórmula original de Rota. Al tercer capítol, presentem eines per proveir situacions en què s'aplica la fórmula generalitzada de Rota. Com a exemple, calculem la funció de Möbius de l'espai de descomposició dels conjunts parcialment ordenats finits i l'explotem per obtenir també una fórmula per a l'àlgebra d'incidència de qualsevol espècie de restricció dirigida, operad lliure, o més generalment monada lliure sobre una monada polinòmica finitària. Al quart capítol, mostrem que les espècies hereditàries de Schmitt indueixen espais de descomposició monoidals i exhibim la construcció de biàlgebra de Schmitt com a instància de la construcció general de biàlgebra en un espai de descomposició monoidal. A més, mostrem que aquesta estructura de biàlgebra coactua sobre l'estructura de biàlgebra de les espècies restringides subjacent, per formar una biàlgebra en comòduls. Finalment, mostrem que les espècies hereditàries indueixen a una nova família d'exemples de categories operàdiques en el sentit de Batanin i Markl. Al cinquè capítol, que representa un treball conjunt amb Joachim Kock, introduïm una noció d'antípoda per a espais de descomposició (complets) monoidals, que indueixen una noció d'antípoda feble per a les seves bialgebres d'incidència. En el cas connectat, recuperem la noció habitual d'antípoda per a les àlgebres de Hopf. En el cas no connectat expressa un principi d'inversió d'abast més limitat, però sempre suficient per calcular la funció de Möbius com μ = ζ ◦ S, tal com per a les àlgebres de Hopf. Al nivell de les espais de descomposició, l'antípoda feble pren la forma d'una diferència formal d'endofunctors lineals Seven − Sodd, i és un refinament de la construcció general d'inversió de Möbius de Gálvez–Kock–Tonks, però explotant l'estructura monoidal.This thesis provides general constructions in the context of decomposition spaces, generalising classical results from combinatorics to the homotopical setting. This requires developing general tools in the theory of decomposition spaces and new viewpoints, which are of general interest, independently of the applications to combinatorics. In the first chapter, we summarise the homotopy theory and combinatorics of the 2-category of groupoids. We continue with a review of needed notions from the theory of ∞-categories. We then summarise the theory of decomposition spaces. In the second chapter, we identify the structures that have incidence bi(co)modules: they are certain augmented double Segal spaces subject to some exactness conditions. We establish a Möbius inversion principle for (co)modules, and a Rota formula for certain more involved structures called Möbius bicomodule configurations. The most important instance of the latter notion arises as mapping cylinders of infinity adjunctions, or more generally of adjunctions between Möbius decomposition spaces, in the spirit of Rota’s original formula. In the third chapter, we present some tools for providing situations where the generalised Rota formula applies. As an example of this, we compute the Möbius function of the decomposition space of finite posets, and exploit this to derive also a formula for the incidence algebra of any directed restriction species, free operad, or more generally free monad on a finitary polynomial monad. In the fourth chapter, we show that Schmitt's hereditary species induce monoidal decomposition spaces, and exhibit Schmitt's bialgebra construction as an instance of the general bialgebra construction on a monoidal decomposition space. We show furthermore that this bialgebra structure coacts on the underlying restriction-species bialgebra structure so as to form a comodule bialgebra. Finally, we show that hereditary species induce a new family of examples of operadic categories in the sense of Batanin and Markl. In the fifth chapter, representing joint work with Joachim Kock, we introduce a notion of antipode for monoidal (complete) decomposition spaces, inducing a notion of weak antipode for their incidence bialgebras. In the connected case, this recovers the usual notion of antipode in Hopf algebras. In the non-connected case it expresses an inversion principle of more limited scope, but still sufficient to compute the Möbius function as μ = ζ ◦ S, just as in Hopf algebras. At the level of decomposition spaces, the weak antipode takes the form of a formal difference of linear endofunctors S_even - S_odd, and it is a refinement of the general Möbius inversion construction of Gálvez--Kock--Tonks, but exploiting the monoidal structure

Objective combinatorics through decomposition spaces

Aquesta tesi proveeix construccions generals en el context d'espais de descomposici, generalitzant els resultats clàssics de la combinatòria al context homotòpic. Això requereix desenvolupar eines generals en la teoria d'espais de descomposició i noves perspectives, que siguin d'interès general, independentment de les aplicacions a la combinatòria. Al primer capítol, resumim la teoria de l'homotopia i la combinatòria de la 2-categoria de grupoides. Continuem amb una revisió de les nocions necessàries de la teoria de categories d'ordre infinit. A continuació, resumim la teoria dels espais de descomposició. Al segon capítol, identifiquem les estructures que tenen bi(co)mòduls d'incidència: són certs espais de Segal dobles augmentats subjectes a unes condicions d'exactitud. Establim un principi d'inversió de Möbius per a (co)mòduls i una fórmula de Rota per a certes estructures més implicades anomenades configuracions de bicomòduls de Möbius. La instància més important d'aquesta última noció sorgeix com cilindres d'aplicació d'adjuncions d'ordre infinit, o més generalment d'adjuncions entre espais de descomposició de Möbius, amb l'esperit de la fórmula original de Rota. Al tercer capítol, presentem eines per proveir situacions en què s'aplica la fórmula generalitzada de Rota. Com a exemple, calculem la funció de Möbius de l'espai de descomposició dels conjunts parcialment ordenats finits i l'explotem per obtenir també una fórmula per a l'àlgebra d'incidència de qualsevol espècie de restricció dirigida, operad lliure, o més generalment monada lliure sobre una monada polinòmica finitària. Al quart capítol, mostrem que les espècies hereditàries de Schmitt indueixen espais de descomposició monoidals i exhibim la construcció de biàlgebra de Schmitt com a instància de la construcció general de biàlgebra en un espai de descomposició monoidal. A més, mostrem que aquesta estructura de biàlgebra coactua sobre l'estructura de biàlgebra de les espècies restringides subjacent, per formar una biàlgebra en comòduls. Finalment, mostrem que les espècies hereditàries indueixen a una nova família d'exemples de categories operàdiques en el sentit de Batanin i Markl. Al cinquè capítol, que representa un treball conjunt amb Joachim Kock, introduïm una noció d'antípoda per a espais de descomposició (complets) monoidals, que indueixen una noció d'antípoda feble per a les seves bialgebres d'incidència. En el cas connectat, recuperem la noció habitual d'antípoda per a les àlgebres de Hopf. En el cas no connectat expressa un principi d'inversió d'abast més limitat, però sempre suficient per calcular la funció de Möbius com μ = ζ ◦ S, tal com per a les àlgebres de Hopf. Al nivell de les espais de descomposició, l'antípoda feble pren la forma d'una diferència formal d'endofunctors lineals Seven − Sodd, i és un refinament de la construcció general d'inversió de Möbius de Gálvez–Kock–Tonks, però explotant l'estructura monoidal.This thesis provides general constructions in the context of decomposition spaces, generalising classical results from combinatorics to the homotopical setting. This requires developing general tools in the theory of decomposition spaces and new viewpoints, which are of general interest, independently of the applications to combinatorics. In the first chapter, we summarise the homotopy theory and combinatorics of the 2-category of groupoids. We continue with a review of needed notions from the theory of ∞-categories. We then summarise the theory of decomposition spaces. In the second chapter, we identify the structures that have incidence bi(co)modules: they are certain augmented double Segal spaces subject to some exactness conditions. We establish a Möbius inversion principle for (co)modules, and a Rota formula for certain more involved structures called Möbius bicomodule configurations. The most important instance of the latter notion arises as mapping cylinders of infinity adjunctions, or more generally of adjunctions between Möbius decomposition spaces, in the spirit of Rota’s original formula. In the third chapter, we present some tools for providing situations where the generalised Rota formula applies. As an example of this, we compute the Möbius function of the decomposition space of finite posets, and exploit this to derive also a formula for the incidence algebra of any directed restriction species, free operad, or more generally free monad on a finitary polynomial monad. In the fourth chapter, we show that Schmitt's hereditary species induce monoidal decomposition spaces, and exhibit Schmitt's bialgebra construction as an instance of the general bialgebra construction on a monoidal decomposition space. We show furthermore that this bialgebra structure coacts on the underlying restriction-species bialgebra structure so as to form a comodule bialgebra. Finally, we show that hereditary species induce a new family of examples of operadic categories in the sense of Batanin and Markl. In the fifth chapter, representing joint work with Joachim Kock, we introduce a notion of antipode for monoidal (complete) decomposition spaces, inducing a notion of weak antipode for their incidence bialgebras. In the connected case, this recovers the usual notion of antipode in Hopf algebras. In the non-connected case it expresses an inversion principle of more limited scope, but still sufficient to compute the Möbius function as μ = ζ ◦ S, just as in Hopf algebras. At the level of decomposition spaces, the weak antipode takes the form of a formal difference of linear endofunctors S_even - S_odd, and it is a refinement of the general Möbius inversion construction of Gálvez--Kock--Tonks, but exploiting the monoidal structure

Alguns punts d'àlgebra homotòpica

L'any 1967, D. Quillen introduí la noció de categoria de models, estructura adaptada a l'estudi de l'àlgebra homotòpica. Una estruc¬tura de categoria de models en una categoria donada consisteix en l'elecció de tres classes de morfismes distingits, sotmeses a uns certs axiomes, que permeten definir una teoria d'homotopia en la categoria i representacions concretes de la categoria homotòpica. Així mateix, una estructura de categoria de models dóna criteris per a l'existència i el càlcul dels functors derivats de functors definits entre categories que posseixen la dita estructura. Aquest és el context de la memòria.Pel que fa a les categories de models, s'hi demostra que cate¬gories habituals de l'àlgebra homològica diferencial i de l'homotopia racional, com són la de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc, o la d'extensions d'una àlgebra dgc fixada, tenen una tal estructura. Com a aplicació, es demostra l'existència dels functors derivats dels functors "producte tensorial" i "indescomponibles" (cap. II).Un tipus de models particulars són els models minimals, in¬troduïts a l'homotopia racional per Sullivan. En la memòria es proposa una definició categòrica dels mateixos, que comprèn altres models "minimals" de la literatura (resolucions minimals de Tate-Jozefiak, per exemple). Així mateix es demostra l'existència de tals models en les categories de complexos de cocadenes a coeficients en un anell local i en la de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc (cap. IV).El punt central de la memòria és l'estudi de les estructures de categories de models i dels models minimals en les categories bifi-brades, la definició de les quals és deguda a Grothendieck. Una cate¬goria bifibrada pot pensar-se com una família de categories parame-tritzada per una altra categoria. Així, per exemple, les categories de mòduls dg a coeficients en una àlgebra dgc qualsevol o la categoria de morfismes d'àlgebres dgc són categories bifibrades. En la memòria es demostra que tals categories admeten una estructura natural de categoria de models i es caracteritzen els seus models minimals (cap. III i IV).Entre els diversos tipus d'homotopia racional, Sullivan distingeix els formals, com aquells determinats completament per l'àlgebra de cohomologia. Aquesta noció prové d'una obstrucció homotòpica a l'existència d'estructures kälherianes sobre una varietat. En la memòria, es dóna una definició categòrica de formalitat. Aplicada a les categories bifibrades anteriors, permet generalitzar el resultat de Sullivan: la formalitat dels morfismes d'àlgebres dgc és independent del cos base (cap. IV, teorema V).L'últim capítol està dedicat al tor diferencial, functor derivat del producte tensorial de mòduls dg i àlgebres dgc. Els principals resul¬tats són la comparació de les diferents defincions del tor diferencial i la compatibilitat amb els functors d'oblit i dels indescomponibles (cap. V).On 1967 D. Quillen introduced the notion of model category, a structure adapted for the study of homotopical algebra. A model category structure in a given category consists in the election of three types of distinguished morphisms, subject to certain axioms, which allow to define an homotopy theory in the category and specific representations of the homotopy category. Also, a structure of model category provides with criteria for the existence and calculation of derived functors of functors defined among categories which share the above mentioned structure. This is the context to this report.Regarding the model categories, we prove here that, usual categories in diferential homological algebra and in rational homotopy, such as the category of dg-modules over a dgc-algebra, or the category of extensions of a fixed dgc-algebra have such a structure. As an application, we prove the existence of the derived functors of "tensorial product" and "indecomposables" (chapter II).A particular type of models are minimal models, introduced in rational homotopyby Sullivan. In this report we suggest a categorical definition of these models, which includes other minimal models already written about (as, for example Tate-Jozefiakminimal resolutions). Also, we prove the existence of these models in the category of cochain complexes over a local ring and in the category of dg-modules over adgc-algebra.The central theme in this report is the study of the structures of model categories and of minimal models in bifibred categories. We owe the definition of these to Grothendieck. We can consider a bifibred category as a family of categories parametrized by another category. For example, the category of dg-modules over anydgc-algebra or the category of morphisms of dgc-algebras are bifibred categories. In the report we prove that such categories admit a natural structure of model category and we characterize their minimal models (chapters III and IV).Among the diferent types of rational homotopy , Sullivan points out the formals as the ones being determinated entirely by the cohomology algebra. This notion derives from the existence of an homotopic obstruction to the existence of k¨alherianstructures on a variety. In this report we give a categorical definition of formality. This definition, applied to the above mentioned bifibred categories, allows a generalization of the results of Sullivan: formality of dgc-algebra morphisms does not depend on theground field (chapter IV, theoreme V).The last chapter centres on the diferential tor, the derived functor of tensorial product of dg-modules and dgc-algebras. The main results are the comparison between the diferent definitions of this diferential tor and the compatibility with the forgetful functor and the indecomposable functor (chapter V)