Functions in the Secondary School Mathematics Curriculum

Functions are used in every branch of mathematics, as algebraic operations on numbers, transformations on points in the plane or in space, intersection and union of pairs of sets, and so forth. Function is a unifying concept in all mathematics. Relationships among phenomena in everyday life, such as the relationship between the speed of a car and the distance travelled, are functions. The concept of function has an important part in the school mathematics curriculum; yet, many countries today are concerned with how to structure the curriculum. The first part of this brief provides a short background about the historical development of function in mathematics and its introduction into the school curriculum, explicating the ’identity crisis’ many countries are facing today. I then elaborate more on the goals for including functions in the school curriculum and on the learning about functions. I conclude this brief with challenges that policy makers, curriculum developers and teachers face and possibilities for meeting these challenges. Keywords: Function; Curriculum; teaching function; Learning Functio

Procedural and Conceptual Knowledge: Exploring the Gap Between Knowledge Type and Knowledge Quality

Following Star (2005, 2007) we continue to problematize the entangling of type and quality in the use of conceptual knowledge and procedural knowledge. Although those whose work is guided by types of knowledge and those whose work is guided by qualities of knowledge seem to be referring to the same phenomena, actually they are not. This lack of mutual understanding of both the nature of the questions being asked and the results being generated causes difficulties for the continued exploration of questions of interest in mathematics teaching and learning, such as issues of teachers’ knowledge

Geometry in Action: A Curriculum Unit Utilizing Dynamic Geometry Software to Enhance Students’ Comprehension

The paper identifies two critical obstacles to student success in a traditional geometry classroom and examines the role dynamic geometry software can play in overcoming these obstacles

Utjecaj nastave uz pomoć računala na postignuća i stavove učenika sedmog razreda prema matematici: slučaj obrade teme „Uspravni kružni valjak“

The purpose of this study was to investigate the effect of computer-assisted instruction (CAI) regarding concepts of “surface area and volume of vertical circular cylinder” on seventh grade students’ achievement and attitudes toward mathematics. A pre-test and post-test control group with quasi-experimental study design was used. This research was carried out with 49 seventh grade Turkish students (24 students in the experimental group, and 25 students in the control group). The students in the experimental group were taught with CAI, while the students in the control group were taught in the traditional way (textbook-based direct instruction). The “Mathematics Achievement Test (MAT)” and the “Mathematics Attitude Scale (MAS)” were administered to both groups as a pre-test and a post-test. The data were analyzed with multivariate analysis of variance (MANCOVA). The results indicated that CAI significantly improved students’ mathematics achievement compared to the results achieved through traditional instruction. However, it was found that short-term CAI implementation did not make a significant difference on students’ attitudes toward mathematics.Cilj je ovoga rada ispitati učinak nastave uz pomoć računala na postignuća i stavove učenika sedmog razreda prema matematici kada se radi o pojmovima kao što su „oplošje i obujam uspravnog kružnog valjka“. Korišten je kvazieksperimentalan dizajn istraživanja koji je uključivao kontrolnu skupinu na kojoj je proveden predtest i posttest. Istraživanje je provedeno na uzorku od 49 učenika sedmog razreda u Turskoj (24 učenika u eksperimentalnoj skupini i 25 učenika u kontrolnoj skupini). Učenike u eksperimentalnoj skupini poučavalo se uz pomoć računala, a učenici u kontrolnoj skupini poučavani su na tradicionalan način (izravna nastava koja se temelji na udžbenicima). Na obje skupine proveden je „Test postignuća iz matematike“ i „Ljestvica za ispitivanje stavova prema matematici“, kao predtest i posttest. Podaci su analizirani multivarijatnom analizom varijance (MANCOVA). Rezultati upućuju na to da nastava uz pomoć računala značajno poboljšava postignuća učenika u matematici u usporedbi s rezultatima dobivenima provedbom tradicionalnog načina nastave. Međutim, pokazalo se da kratkotrajna primjena nastave uz pomoć računala nije značajno promijenila stavove učenika prema matematici

Düzlemlerin birbirlerine göre durumları konusu öğretiminde Geogebra yazılımı kullanımının bağlam oluşumundaki rolü.

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Bu araştırmanın amacı; öğretmen adaylarına uzayda düzlemlerin birbirlerine göre durumları konusunun öğretiminde GeoGebra yazılımı kullanılmasının bağlamsal bir öğrenme ortamı oluşumunda nasıl rol oynadığını incelemektir. Eylem araştırması olarak tasarlanan çalışma bir devlet üniversitesinde ilköğretim matematik öğretmenliği bölümü üçüncü sınıfta eğitim görmekte olan 10 öğretmen adayı ile yürütülmüştür. Araştırmanın verileri araştırmacı tarafından geliştirilen çalışma yaprakları, ses kayıtları, araştırmacı günlüğü notları ve mülakatlar ile toplanmıştır. Araştırmacı tarafından hazırlanan çalışma yaprakları ile konunun öğretimi gerçekleştirilmiştır. Uygulama sonrasında öğretmen adaylarıyla yarı yapılandırılmış görüşmeler yapılarak öğretmen adaylarının GeoGebra kullanımına dair görüşleri alınmıştır. Çalışma toplamda 5 hafta sürmüştür. Uygulama sürecinden elde edilen nitel veriler bağlamsal öğrenme öğretme yaklaşımı olan REACT stratejisine göre analiz edilmiştir. Öğretmen adaylarının görüşleri ise betimsel ve içerik analiz teknikleri kullanılarak analiz edilmiştir. Araştırmanın sonuçlarına göre; GeoGebra yazılımının kavramlar arası ilişkilendirmelere ve kavramların günlük hayat ile ilişkilendirmelerine olanak sağladığı ancak matematik ile diğer disiplinler arasındaki ilişkilendirmelere katkısının olmadığı görülmüştür. Diğer taraftan GeoGebra yazılımı öğretmen adaylarının tahminleri ile GeoGebra ekranında gözlemledikleri durumları karşılaştırma imkânı sağlayarak tecrübe etme süreçlerine katkı sağladığı, çoklu gösterimleri, araçları ve dinamik yapısı sayesinde düzlem durumlarının gözlemlenmesine yardımcı olarak gereken matematiksel genellemelere ulaşılmasını sağladığından uygulama sürecini kolaylaştırdığı sonucuna ulaşılmıştır. GeoGebra yazılımının öğretmen adaylarının yazılımdan aldıkları geri dönütlerle birbirleri ile fikir alışverişinde bulunmasına katkı sağlayarak iş birliği sürecini kolaylaştırdığı ve daha önce öğrenilen kavramların yeni yönergelerde kullanılarak transfer edilmesini sağladığı tespit edilmiştir. Ancak GeoGebra yazılımının günlük hayat ve matematik arasındaki transfer sürecinde etkisinin olmadığı görülmüştür. Öğretmen adaylarının görüşlerinden elde edilen sonuçlarda düzlemlerin birbirlerine göre durumları konusunun öğretiminde GeoGebra yazılımının faydalı olduğu ve öğrenme sürecini kolaylaştırdığı sonucuna ulaşılmıştır. Ayrıca yazılımın öğretmen adaylarının akıl yürütme, genelleme yapma, zihinde canlandırma gibi noktalarda olumlu etkisi olduğu görülmüştür. Öğretmen adayları GeoGebra yazılımının düzlemlerin birbirlerine göre durumları ve geometri öğretiminde kullanılması konusunda olumlu görüş belirtmişlerdir. Ayrıca alınan görüşlerden GeoGebra yazılımının REACT süreçlerine katkı sağladığı da görülmüştür. Bu kapsamda GeoGebra yazılımının bağlam oluşumunda rol oynadığı tespit edilmiştir. Araştırma sonuçlarına bağlı olarak araştırmacılara çeşitli önerilerde bulunulmuştur.The purpose of this research; The aim of this course is to examine how the use of GeoGebra software plays a role in the formation of a contextual learning environment for teaching prospective teachers about the relative states of planes in space. The study was designed as an action research and carried out with 10 prospective teachers who studied at elementary mathematics teaching department at a state university. The data of the study were comprised of worksheets developed by the researcher, voice recordings, researcher diary notes and interviews. The subject was taught with the worksheets prepared by the researcher. After the implications, the prospective teachers were interviewed via semi-structured interviews to learn about their views on the GeoGebra software. The study lasted 5 weeks in total. Qualitative data gathered at the implication process were analyzed according to the REACT strategy, which is a contextual learning and teaching approach; thus, the role of GeoGebra software were revealed in teaching relative positions of planes. The prospective teachers' views were analyzed using descriptive and content analysis techniques. The results of the study revealed that GeoGebra software allowed for relating among notions and relating notions to the daily life; however, it did not contribute in relating between mathematics and other disciplines. On the other hand, GeoGebra software contributed in prospective teachers' experiencing processes by allowing them to compare their guesses with the situations they observed on the GeoGebra screen. Besides, the GeoGebra software facilitated implication process thanks to its multiple displays, tools and dynamic structure which allows for observation of planes; thus, helps to reach mathematical generalizations. The results also revealed that the GeoGebra software allowed the prospective teachers to exchange ideas through feedback from the software; thus, facilitated cooperation and transferring. However, the GeoGebra software did not influence the transferring process between daily life and mathematics. The results gathered through the prospective teachers' views revealed that the GeoGebra software was beneficial in teaching relative position of planes and that it facilitated the learning process. Additionally, the software positively influenced prospective teachers' reasoning, generalizing, visualizing. The prospective teachers stated positive views on using the GeoGebra software in teaching relative positions of planes and geometry topics. In addition, it was seen from the opinions that GeoGebra software contributed to REACT processes. In this context, it was determined that GeoGebra software plays a role in context formation. Depending on the results of the study, several suggestions were made for researchers

Κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης ως συμμεταβολή από μαθητές της Α' Λυκείου με τη βοήθεια υπολογιστικών περιβαλλόντων δυναμικής γεωμετρίας

Ο κύριος στόχος της παρούσας έρευνας είναι η διερεύνηση της διαδικασίας κατασκευής νοημάτων για τη συνάρτηση ως συμμεταβολή από μαθητές της Β΄ τάξης του Γενικού Λυκείου σε περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας και συγκεκριμένα στο περιβάλλον του λογισμικού Geometer Sketchpad. Το συγκεκριμένο λογισμικό παρέχει στον χρήστη εργαλεία τα οποία αναδεικνύουν τη συμμεταβολή μεγεθών ενός γεωμετρικού αντικειμένου, καθώς και την αποτύπωση των μεταβολών αυτών με πολλαπλές αναπαραστάσεις. Επίσης, μελετάται με ποιους τρόπους οι συγκεκριμένες δραστηριότητες και τα εργαλεία του λογισμικού διαμεσολαβούν τη νοηματοδότηση της συνάρτησης ως συμμεταβολής. Τα νοήματα για τη συνάρτηση ως συμμεταβολή κατατάχτηκαν σε πέντε διαφορετικά επίπεδα τα οποία αναδεικνύουν ποιοτικές διαφορές σε αυτά που κατανοούν οι μαθητές. Τα αποτελέσματα της έρευνας δείχνουν ότι η μοντελοποίηση σε περιβάλλον δυναμικής γεωμετρίας οδηγεί τους μαθητές να κατανοήσουν τη συνάρτηση ως συμμεταβολή μεγεθών και να μετακινηθούν από την παρατηρούμενη αλληλεξάρτηση στις τυπικές αποδεικτικές διαδικασίες.The main objective of this research is to investigate the process of construction of meanings for the function as a covariation by second grade students of the Senior High school in a dynamic geometry environment, using in particular the software environment of Geometer Sketchpad. The software provides the user with tools that reveal the covariation of sizes of a geometrical object, as well as the reflection of these changes through multiple representations. Furthermore, the ways in which these specific activities and software tools mediate the signification of the function as a covariation are studied. The meanings of the function as a covariation were classified into five different levels that reveal qualitative differences in what students apprehend. The results of this research show that modeling in a dynamic geometry environment leads students to understand the function as a covariation of sizes and move forward from the observed interdependence to standard evidentiary procedures

Öğrencilerin dinamik geometri ortamında varsayımda bulunma süresi

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Varsayımda bulunma, matematiksel ilişkileri ortaya koymada önemli bir adım olarak kabul edilir. Dinamik geometri yazılım ortamı, öğrencilere varsayım oluşturma ve doğruluğunu test etme imkânı vermektedir. Bu ortamın kâğıt kalem ortamından en ayırt edici araçlarından "sürükleme", geometrik şekillerin konumları değiştiğinde, özelliklerinin korunduğunu gözlemleme imkânı yanında, ölçüm yapabilme, karşılaştırabilme, görselleştirme, keşfetme ve farklı çözüm yolları geliştirme fırsatları sunmaktadır. Araştırmanın amacı, öğrencilerin varsayımda bulunma sürecinde dinamik geometri ortamı özelliklerini nasıl kullandıklarını ortaya koymaktır. Nitel araştırma yöntemlerinden durum çalışması olarak yürütülen çalışmanın araştırma grubunu ortaokul son sınıf öğrencileri oluşturmuştur. Veri toplama aracı, dinamik geometri ortamına has, her biri farklı geometrik yapılardan oluşan dört kara kutu etkinliği şeklinde tasarlanmıştır. Öğrencilerin geometrik yapıları inceleme ve tekrar oluşturma aşamasında varsayımda bulunma süreçleri ile ilgili ses kayıtları ve ekran görüntülerinden oluşan veriler nitel olarak analiz edilmiştir. Bulgular genel olarak, dinamik geometri ortamının öğrencilerin varsayımda bulunma, varsayımı uygulama ve test etme konularında etkili olduğunu göstermiştir. Dinamik geometri bilgisinin anlaşılmasının ön şart olarak gözlemlendiği uygulamada, öğrenciler varsayımda bulunma ve varsayımları doğrulama sürecinde sürükleme türlerini etkin bir şekilde kullanmışlardır.Conjecturing is considered as an important step in asserting the mathematical relations. Dynamic Geometry (DG) software environment enables the students to create a conjecture and assess its accuracy. ''Dragging'' is the most prominent tool from this environment to the paper pen environment and when geometric shapes change position, it offers measurement, comparison, visualizing, exploring and different solution development opportunities, in addition to observation of the protection of properties. The purpose of this research is to put forth how the students use the properties of dynamic geometry environment in the process of conjectures. The research group of the study, which is a study of qualitative research methods as a case study, is created by senior elementary school students. The data collection tool is designed in the form of four black box activities formed of different geometrical structures, according to the dynamic geometry environment. The data consisting of voice records and screenshots of the students related to conjectures about the process of examination of geometrical structures and rebuilding are analysed qualitatively. The results show that the dynamic geometry environment is effective on students when it comes to conjectures and testing. In this practice in which the understanding of the dynamic geometry knowledge is observed to be prerequisite, students used types of dragging effectively during the process of conjecture and verification

Understanding Linear Function in Secondary School Students: A Comparative Study between England and Shanghai

How to facilitate students’ understanding of mathematics is a major concern for the mathematics education community as well as education authorities, especially in England, UK and Shanghai, China. However, research into such understanding in these two regions is still in its infancy. The aim of this thesis is to contribute to this research area by investigating how well students understand a particular mathematical concept, linear function, and describe how their understanding has been shaped. A model of understanding function is defined in terms of six levels: Variable Perspective, Dependent Relationship, Connecting Representations, Property Noticing, Object Analysis, and Inventising. These six levels are developed by examining the most prominent theories from existing Western and Eastern literature on understanding function. Using this model, three perspectives around understanding linear function are investigated: what the official documents expect; what students actually achieve; and teachers’ views of how students’ understanding of linear function develops. Mixed methods are adopted to portray a holistic view of understanding function in the two regions. The quantitative data analysis includes three curricula and seven selected textbooks to identify their characteristics and requirements. The main study also analyses student tests from 403 Year 10 Higher Level English students and 907 Grade 8 Shanghai students. Findings demonstrate that the Shanghai students have more abstract understanding than the English Higher Level students, and are more comfortable with algebraic expression, which is emphasised heavily in the Shanghai curriculum and textbook. The graphic representation dominates the Higher Level English students’ solution approaches, which is again emphasised in their textbooks. This study recommends that the more emphasis should be on algebraic expression for understanding linear function in England and graphic representation in Shanghai