Set containment characterization and mathematical programming

Recently, many researchers studied set containment characterizations. In this paper, we introduce some set containment characterizations for quasiconvex programming. Furthermore, we show a duality theorem for quasiconvex programming by using set containment characterizations. Notions of quasiconjugate for quasiconvex functions, especially 1, -1-quasiconjugate, 1-semiconjugate, H-quasiconjugate and R-quasiconjugate, play important roles to derive characterizations of the set containments

Algebraic Relaxations and Hardness Results in Polynomial Optimization and Lyapunov Analysis

This thesis settles a number of questions related to computational complexity and algebraic, semidefinite programming based relaxations in optimization and control.Comment: PhD Thesis, MIT, September, 201

Metric Geometry of Finite Subset Spaces

If X is a (topological) space, the nth finite subset space of X, denoted by X(n), consists of n-point subsets of X (i.e., nonempty subsets of cardinality at most n) with the quotient topology induced by the unordering map q:X^n--\u3e X(n), (x_1,...,x_n)--\u3e{x_1,...,x_n}. That is, a subset A of X(n) is open if and only if its preimage under q is open in the product space X^n. Given a space X, let H(X) denote all homeomorphisms of X. For any subclass C of homeomorphisms in H(X), the C-geometry of X refers to the description of X up to homeomorphisms in C. Therefore, the topology of X is the H(X)-geometry of X. By a (C-) geometric property of X we will mean a property of X that is preserved by homeomorphisms of X (in C). Metric geometry of a space X refers to the study of geometry of X in terms of notions of metrics (e.g., distance, or length of a path, between points) on X. In such a study, we call a space X metrizable if X is homeomorphic to a metric space. Naturally, X(n) always inherits some aspect of every geometric property of X or X^n. Thus, the geometry of X(n) is in general richer than that of X or X^n. For example, it is known that if X is an orientable manifold, then (unlike X^n) X(n) for n\u3e1 can be an orientable manifold, a non-orientable manifold, or a non-manifold. In studying geometry of X(n), a central research question is ``If X has geometric property P, does it follow that X(n) also has property P?\u27\u27. A related question is If X and Y have a geometric relation R, does it follow that X(n) and Y(n) also have the relation R? . Extensive work exists in the literature on the richness of the geometry of X(n). Nevertheless, despite the fact that the spaces X(n) considered in those investigations are metrizable (which is the case if and only if X is itself metrizable) the important role of metrics has been mostly ignored. Consequently, the existing results mostly elucidate topological aspects of the geometry of X(n). The main goal of this thesis is to attempt to answer the above research question(s) for several geometric properties, with metrics playing a significant role (hence the title phrase Metric Geometry of ... ). Some of the questions are relatively easy and will be answered completely. However, a question such as If a normed space X is an absolute Lipschitz retract, does it follow that X(n) is also an absolute Lipschitz retract? appears to require considerable effort and will be answered only partially. By the definition of an absolute Lipschitz retract, establishing the existence of Lipschitz retractions X(n) --\u3e X(n-1) for all n\u3e= 1 would be a partial positive answer to this question. Among other things, we will prove the following. If X is a metrizable space, then so is X(n). If a metric space X is a snowflake, quasiconvex, or doubling then so is X(n). If two spaces X and Y are (Lipschitz) homotopy equivalent, then so are X(n) and Y(n). If X is a normed space (which is Lipschitz k-connected for all k\u3e= 0), then X(n) is Lipschitz k-connected for all k\u3e= 0. If X is a normed space, there exist (i) Holder retractions X(n)--\u3e X(n-1), (ii) Lipschitz retractions X(n)--\u3e X(1),X(2), and (iii) Lipschitz retractions X(n)--\u3e X(n-1) when the dimension of X is finite or X is a Hilbert space

Entropies of non positively curved metric spaces

We show the equivalences of several notions of entropy, such as a version of the topological entropy of the geodesic flow and the Minkowski dimension of the boundary, in metric spaces with convex geodesic bicombings satisfying a uniform packing condition. Similar estimates will be given in case of closed subsets of the boundary of Gromov-hyperbolic metric spaces with convex geodesic bicombings. A uniform Ahlfors regularity of the limit set of quasiconvex-cocompact actions on Gromov-hyperbolic packed metric spaces with convex geodesic bicombing will be shown, implying a uniform rate of convergence to the entropy. As a consequence we prove the continuity of the critical exponent for quasiconvex-cocompact groups with bounded codiameter

Structural properties of hierarchically hyperbolic groups

124 p.Los temas de esta tesis se enmarcan en el área de la teoría geométrica de grupos, que es el estudio de grupos finitamente generados a través de la exploración de sus aspectos geométricos y topológicos. Más precisamente, nos centramos en una clase de grupos denominados grupos jerárquicamente hiperbólicos.La hiperbolicidad jerárquica es una noción muy reciente pero poderosa cuyo objetivo es proporcionar un marco unificador para estudiar grandes clases de grupos que tienen características similares a curvatura negativa y no positiva.Los primeros resultados originales de esta tesis aparecen en el capítulo segundo, donde se prueban una serie de resultados estructurales de naturaleza técnica. Se presentan allí dos nociones: intersection ÁREA LÍNEA1 2 0 1 0 6 ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA property y concreteness. Estas condiciones se utilizan en varios lugares a lo largo del resto de la tesis y son cruciales para comprender los principales resultados que siguen.El primer resultado principal de la tesis es el establecimiento de un teorema de combinación para la clase de grupos jerárquicamente hiperbólicos. Por lo general, nos referimos a un resultado como un teorema de combinación en una clase de grupos C si responde a la siguiente pregunta: Sea G un grupo que actúa sobre un árbol simplicial T cuyos estabilizadores de vértices y aristas pertenecen a C, ¿bajo qué condiciones podemos concluir que el grupo C está en C? En nuestro caso, las condiciones queidentificamos son intersection property y clean containers. Como aplicación de este teorema obtenemos que los productos bajo grafos de grupos jerárquicamente hiperbólicos con intersection property y clean containers son en sí mismos jerárquicamente hiperbólicos.En el último capítulo de la tesis nos centramos en la clase de grupos que actúan sobre un árbol simplicial de manera que los estabilizadores de aristas son virtualmente cíclicos. Llamamos a esta clase grupos hyperbolic-2-decomposable. El principal resultado de éste último capítulo es una caracterización de grupos de este tipo que nos permiten aportar una estructura hiperbólica jerárquica sobre ellos. Má sprecisamente, obtenemos que un grupo hyperbolic-2-decomposable es jerárquicamente hiperbólico si y solo si es equilibrado. Más aún, mostramos que esto es equivalente a que el grupo en sí no contenga subgrupos de tipo Baumslag-Solitar no equilibrados. Como corolario inmediato obtenemos que los productos libres amalgamados de grupos hiperbólicos sobre grupos virtualmente cíclicos son jerárquicamente hiperbólicos

Complexity of optimizing over the integers

In the first part of this paper, we present a unified framework for analyzing the algorithmic complexity of any optimization problem, whether it be continuous or discrete in nature. This helps to formalize notions like "input", "size" and "complexity" in the context of general mathematical optimization, avoiding context dependent definitions which is one of the sources of difference in the treatment of complexity within continuous and discrete optimization. In the second part of the paper, we employ the language developed in the first part to study information theoretic and algorithmic complexity of {\em mixed-integer convex optimization}, which contains as a special case continuous convex optimization on the one hand and pure integer optimization on the other. We strive for the maximum possible generality in our exposition. We hope that this paper contains material that both continuous optimizers and discrete optimizers find new and interesting, even though almost all of the material presented is common knowledge in one or the other community. We see the main merit of this paper as bringing together all of this information under one unifying umbrella with the hope that this will act as yet another catalyst for more interaction across the continuous-discrete divide. In fact, our motivation behind Part I of the paper is to provide a common language for both communities

Structural properties of hierarchically hyperbolic groups

124 p.Los temas de esta tesis se enmarcan en el área de la teoría geométrica de grupos, que es el estudio de grupos finitamente generados a través de la exploración de sus aspectos geométricos y topológicos. Más precisamente, nos centramos en una clase de grupos denominados grupos jerárquicamente hiperbólicos.La hiperbolicidad jerárquica es una noción muy reciente pero poderosa cuyo objetivo es proporcionar un marco unificador para estudiar grandes clases de grupos que tienen características similares a curvatura negativa y no positiva.Los primeros resultados originales de esta tesis aparecen en el capítulo segundo, donde se prueban una serie de resultados estructurales de naturaleza técnica. Se presentan allí dos nociones: intersection ÁREA LÍNEA1 2 0 1 0 6 ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA ÁREA LÍNEA property y concreteness. Estas condiciones se utilizan en varios lugares a lo largo del resto de la tesis y son cruciales para comprender los principales resultados que siguen.El primer resultado principal de la tesis es el establecimiento de un teorema de combinación para la clase de grupos jerárquicamente hiperbólicos. Por lo general, nos referimos a un resultado como un teorema de combinación en una clase de grupos C si responde a la siguiente pregunta: Sea G un grupo que actúa sobre un árbol simplicial T cuyos estabilizadores de vértices y aristas pertenecen a C, ¿bajo qué condiciones podemos concluir que el grupo C está en C? En nuestro caso, las condiciones queidentificamos son intersection property y clean containers. Como aplicación de este teorema obtenemos que los productos bajo grafos de grupos jerárquicamente hiperbólicos con intersection property y clean containers son en sí mismos jerárquicamente hiperbólicos.En el último capítulo de la tesis nos centramos en la clase de grupos que actúan sobre un árbol simplicial de manera que los estabilizadores de aristas son virtualmente cíclicos. Llamamos a esta clase grupos hyperbolic-2-decomposable. El principal resultado de éste último capítulo es una caracterización de grupos de este tipo que nos permiten aportar una estructura hiperbólica jerárquica sobre ellos. Má sprecisamente, obtenemos que un grupo hyperbolic-2-decomposable es jerárquicamente hiperbólico si y solo si es equilibrado. Más aún, mostramos que esto es equivalente a que el grupo en sí no contenga subgrupos de tipo Baumslag-Solitar no equilibrados. Como corolario inmediato obtenemos que los productos libres amalgamados de grupos hiperbólicos sobre grupos virtualmente cíclicos son jerárquicamente hiperbólicos