Uniqueness and partial identification in a geometric inverse problem for the Boussinesq system

We analyze the inverse problem of the identification of a rigid body immersed in a fluid governed by the stationary Boussinesq system. First, we establish a uniqueness result. Then, we present a new method for the partial identification of the body. The proofs use local Carleman estimates, differentiation with respect to domains, data assimilation techniques and controllability results for PDEs.Sur l’unicité et l’identification partielle d’un problème inverse géométrique pour le système de Boussinesq. On analyse le problème inverse de l’identification d’un corps rigide dans un fluide régi par le système stationnaire de Boussinesq. On établit d’abord un résultat d’unicité. Ensuite on présente une nouvelle méthode pour l’identification partielle du corps. Les preuves utilisent des estimations locales de Carleman, la différentiation par rapport au domaine, des techniques d’assimilation de données et des résultats de contrôlabilité des EDPs.Dirección General de Enseñanza SuperiorFondo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico (Comisión Nacional de Investigación Científica y Tecnológica) (Chile

Sur le problème inverse de détection d'obstacles par des méthodes d'optimisation

Cette thèse porte sur l'étude du problème inverse de détection d'obstacle/objet par des méthodes d'optimisation. Ce problème consiste à localiser un objet inconnu oméga situé à l'intérieur d'un domaine borné connu Oméga à l'aide de mesures de bord et plus précisément de données de Cauchy sur une partie Gammaobs de thetaOmega. Nous étudions les cas scalaires et vectoriels pour ce problème en considérant les équations de Laplace et de Stokes. Dans tous les cas, nous nous appuyons sur une résultat d'identifiabilité qui assure qu'il existe un unique obstacle/objet qui correspond à la mesure de bord considérée. La stratégie utilisée dans ce travail est de réduire le problème inverse à la minimisation d'une fonctionnelle coût: la fonctionnelle de Kohn-Vogelius. Cette approche est fréquemment utilisée et permet notamment d'utiliser des méthodes d'optimisation pour des implémentations numériques. Cependant, afin de bien définir la fonctionnelle, cette méthode nécessite de connaître une mesure sur tout le bord extérieur thetaOmega. Ce dernier point nous conduit à étudier le problème de complétion de données qui consiste à retrouver les conditions de bord sur une région inaccessible, i.e. sur thetaOmega\Gammaobs, à partir des données de Cauchy sur la région accessible Gammaobs. Ce problème inverse est également étudié en minimisant une fonctionnelle de type Kohn-Vogelius. La caractère mal posé de ce problème nous amène à régulariser la fonctionnelle via une régularisation de Tikhonov. Nous obtenons plusieurs propriétés théoriques comme des propriétés de convergence, en particulier lorsque les données sont bruitées. En tenant compte de ces résultats théoriques, nous reconstruisons numériquement les données de bord en mettant en oeuvre un algorithme de gradient afin de minimiser la fonctionnelle régularisée. Nous étudions ensuite le problème de détection d'obstacle lorsque seule une mesure de bord partielle est disponible. Nous considérons alors les conditions de bord inaccessibles et l'objet inconnu comme les variables de la fonctionnelle et ainsi, en utilisant des méthodes d'optimisation de forme géométrique, en particulier le gradient de forme de la fonctionnelle de Kohn-Vogelius, nous obtenons la reconstruction numérique de l'inclusion inconnue. Enfin, nous considérons, dans le cas vectoriel bi-dimensionnel, un nouveau degré de liberté en étudiant le cas où le nombre d'objets est inconnu. Ainsi, nous utilisons l'optimisation de forme topologique afin de minimiser la fonctionnelle de Kohn-Vogelius. Nous obtenons le développement asymptotique topologique de la solution des équations de Stokes 2D et caractérisons le gradient topologique de cette fonctionnelle. Nous déterminons alors numériquement le nombre d'obstacles ainsi que leur position. De plus, nous proposons un algorithme qui combine les méthodes d'optimisation de forme topologique et géométrique afin de déterminer numériquement le nombre d'obstacles, leur position ainsi que leur forme.This PhD thesis is dedicated to the study of the inverse problem of obstacle/object detection using optimization methods. This problem consists in localizing an unknown object omega inside a known bounded domain omega by means of boundary measurements and more precisely by a given Cauchy pair on a part Gammaobs of thetaOmega. We cover the scalar and vector scenarios for this problem considering both the Laplace and the Stokes equations. For both cases, we rely on identifiability result which ensures that there is a unique obstacle/object which corresponds to the considered boundary measurements. The strategy used in this work is to reduce the inverse problem into the minimization of a cost-type functional: the Kohn-Vogelius functional. This kind of approach is widely used and permits to use optimization tools for numerical implementations. However, in order to well-define the functional, this approach needs to assume the knowledge of a measurement on the whole exterior boundary thetaOmega. This last point leads us to first study the data completion problem which consists in recovering the boundary conditions on an inaccessible region, i.e. on thetaOmega\Gammaobs, from the Cauchy data on the accessible region Gammaobs. This inverse problem is also studied through the minimization of a Kohn-Vogelius type functional. The ill-posedness of this problem enforces us to regularize the functional via a Tikhonov regularization. We obtain several theoretical properties as convergence properties, in particular when data is corrupted by noise. Based on these theoretical results, we reconstruct numerically the boundary data by implementing a gradient algorithm in order to minimize the regularized functional. Then we study the obstacle detection problem when only partial boundary measurements are available. We consider the inaccessible boundary conditions and the unknown object as the variables of the functional and then, using geometrical shape optimization tools, in particular the shape gradient of the Kohn-Vogelius functional, we perform the numerical reconstruction of the unknown inclusion. Finally, we consider, into the two dimensional vector case, a new degree of freedom by studying the case when the number of objects is unknown. Hence, we use the topological shape optimization in order to minimize the Kohn-Vogelius functional. We obtain the topological asymptotic expansion of the solution of the 2D Stokes equations and characterize the topological gradient for this functional. Then we determine numerically the number and location of the obstacles. Additionally, we propose a blending algorithm which combines the topological and geometrical shape optimization methods in order to determine numerically the number, location and shape of the objects

Vibrations de structures générées par micro-ondes pulsées : application à l'évaluation non-destructive

La technique de génération acoustique par micro-ondes pulsées est appliquée à l’étude des vibrations de structures unidimensionnelles ou planes pour l’évaluation non-destructive de leurs propriétés physiques. L’absorption de radiations micro-ondes par un matériau diélectrique provoque une élévation de température suffisante pour générer des ondes mécaniques dans la structure irradiée. L’étude porte d’abord sur l’excitation par micro-ondes de céramiques piézoélectriques afin de déterminer, dans ces matériaux, le processus de génération acoustique par absorption de l’énergie électromagnétique et de proposer une méthode de caractérisation de leurs propriétés mécaniques, électriques et électromécaniques. La seconde partie du travail concerne la vibration dans le plan de plaques minces de formes elliptiques ou circulaires, pleines ou trouées. La modélisation des vibrations des plaques elliptiques permet d’observer l’effet de l’ellipticité sur les réponses des plaques elliptiques et des plaques pseudo-circulaires présentant une faible ellipticité. La résolution du problème direct de vibration des plaques minces circulaires sert, ensuite, à développer une méthode d’évaluation nondestructive des propriétés mécaniques et géométriques de plaques constituées de matériaux isotropes et viscoélastiques. Cette méthode d’évaluation est enfin appliquée à l’étude de l’influence de l’humidité sur les propriétés mécaniques des bétons.Microwaves acoustic generation technique is applied to study the vibrations of structures in order to perform the non-destructive evaluation of their properties. The absorption of microwaves by a material induces a sudden rise of its temperature to generate mechanical waves in the irradiated structure. In the first part, the physical origin of the acoustic generation in piezoelectric materials excited by pulsed microwaves is studied. Then a non-destructive evaluation method to characterize piezoelectric samples is deduced. The second part concerns the development of a theoretical model to predict the in-plane vibration of full or hollowed elliptic thin plates submitted to a microwave excitation. The developed model allows the study of the eccentricity effect on the responses of elliptic plates or of pseudocircular ones. In the third part, the in-plane vibration modeling of thin circular plates permits to develop a non-destructive evaluation method. By this way, the mechanical and the geometrical properties of circular plates made of isotropic and viscoelastic materials are deduced. This method is finally applied for studying the effect of moisture on the mechanical properties of concrete

Détection d'un objet immergé dans un fluide

Cette thèse s inscrit dans le domaine des mathématiques appelé optimisation de formes. Plus précisément, nous étudions ici un problème inverse de détection à l aide du calcul de forme et de l analyse asymptotique. L objectif est de localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Les questions principales qui ont motivé ce travail sont les suivantes : peut-on détecter un objet immergé dans un fluide à partir d une mesure effectuée à la surface ? peut-on reconstruire numériquement cet objet, i.e. approcher sa position et sa forme, à partir de cette mesure ? peut-on connaître le nombre d objets présents dans le fluide en utilisant cette mesure ?Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse : le premier met en place un cadre mathématique pour démontrer l existence des dérivées de forme d ordre un et deux pour les problèmes de détection d inclusions ; le deuxième analyse le problème de détection à l aide de l optimisation géométrique de forme : un résultat d identifiabilité est montré, le gradient de forme de plusieurs types de fonctionnelles de forme est caractérisé et l instabilité de ce problème inverse est enfin démontrée ; le chapitre 3 utilise nos résultats théoriques pour reconstruire numériquement des objets immergés dans un fluide à l aide d un algorithme de gradient de forme ; le chapitre 4 analyse la localisation de petites inclusions dans un fluide à l aide de l optimisation topologique de forme : le gradient topologique d une fonctionnelle de forme de Kohn-Vogelius est caractérisé ; le dernier chapitre utilise cette dernière expression théorique pour déterminer numériquement le nombre et la localisation de petits obstacles immergés dans un fluide à l aide d un algorithme de gradient topologique.This dissertation takes place in the mathematic field called shape optimization. More precisely, we focus on a detecting inverse problem using shape calculus and asymptotic analysis. The aim is to localize an object immersed in a viscous, incompressible and stationary fluid. This work was motivated by the following main questions: can we localize an obstacle immersed in a fluid from a boundary measurement? can we reconstruct numerically this object, i.e. be close to its localization and its shape, from this measure? can we know how many objects are included in the fluid using this measure?The results are described in the five chapters of the thesis: the first one gives a mathematical framework in order to prove the existence of the shape derivatives oforder one and two in the frame of the detection of inclusions; the second one analyzes the detection problem using geometric shape optimization: an identifiabilityresult is proved, the shape gradient of several shape functionals is characterized and the instability of thisinverse problem is proved; the chapter 3 uses our theoretical results in order to reconstruct numerically some objets immersed in a fluid using a shape gradient algorithm; the fourth chapter analyzes the detection of small inclusions in a fluid using the topological shape optimization : the topological gradient of a Kohn-Vogelius shape functional is characterized; the last chapter uses this theoretical expression in order to determine numerically the number and the location of some small obstacles immersed in a fluid using a topological gradient algorithm.PAU-BU Sciences (644452103) / SudocSudocFranceF

Problemas de interaccion entre un fluido newtoniano incompresible y una estructura

Cette thèse porte sur deux problèmes différents d'interaction fluide-structure dans le cas tridimensionnel: dans le premier problème, on effectue une étude théorique d'un problème d'interaction entre une structure déformable et un fluide Newtonien incompressible (Chapitre 2); dans le deuxième problème, on considère un problème inverse géométrique associé à un système fluide-corps rigide (Chapitre 3). Pour le premier problème nous démontrons un résultat d'existence et d'unicité des solutions fortes, en utilisant, pour la structure élastique, une approximation des équations de l'élasticité linéaire par un système de dimension finie. Dans le deuxième problème, nous démontrons le caractère bien-posé du système associé et nous montrons un résultat d'identifiabilité: la forme d'un corps convexe et sa position initiale sont identifiées par la mesure, en un temps positif, du tenseur de Cauchy du fluide sur une partie ouverte de la frontière extérieure. De plus, un résultat de stabilité pour ce problème est abordé.This thesis deals with two different fluid-structure interaction problems in the three dimensional case: in the first problem, we make a theoretical analysis of a problem of interaction between a deformable structure and an incompressible Newtonian fluid (Chapter 2); in the second problem, we consider a geometrical inverse problem associated to a fluid-rigid body system (Chapter 3). For the first problem, we prove a result of existence and uniqueness of strong solutions by using, for the elastic structure, an approximation of the equations of linear elasticity by a finite-dimensional system. In the second problem, we prove the well-posedness of the corresponding system and we show an identifiability result: the form of a convex body and its initial position are identified by the measurement, at a positive time, of the Cauchy force of the fluid on an open part of the exterior boundary. Moreover, a stability result for this system is tackled

Problèmes d'interaction entre un fluide newtonien incompressible et une structure

Cette thèse porte sur deux problèmes différents d'interaction fluide-structure dans le cas tridimensionnel: dans le premier problème, on effectue une étude théorique d'un problème d'interaction entre une structure déformable et un fluide Newtonien incompressible (Chapitre 2); dans le deuxième problème, on considère un problème inverse géométrique associé à un système fluide-corps rigide (Chapitre 3). Pour le premier problème nous démontrons un résultat d'existence et d'unicité des solutions fortes, en utilisant, pour la structure élastique, une approximation des équations de l'élasticité linéaire par un système de dimension finie. Dans le deuxième problème, nous démontrons le caractère bien-posé du système associé et nous montrons un résultat d'identifiabilité: la forme d'un corps convexe et sa position initiale sont identifiées par la mesure, en un temps positif, du tenseur de Cauchy du fluide sur une partie ouverte de la frontière extérieure. De plus, un résultat de stabilité pour ce problème est abordé.This thesis deals with two different fluid-structure interaction problems in the three dimensional case: in the first problem, we make a theoretical analysis of a problem of interaction between a deformable structure and an incompressible Newtonian fluid (Chapter 2); in the second problem, we consider a geometrical inverse problem associated to a fluid-rigid body system (Chapter 3). For the first problem, we prove a result of existence and uniqueness of strong solutions by using, for the elastic structure, an approximation of the equations of linear elasticity by a finite-dimensional system. In the second problem, we prove the well-posedness of the corresponding system and we show an identifiability result: the form of a convex body and its initial position are identified by the measurement, at a positive time, of the Cauchy force of the fluid on an open part of the exterior boundary. Moreover, a stability result for this system is tackled.NANCY1-Bib. numérique (543959902) / SudocSudocFranceF

Problèmes d’interaction entre un Fluide Newtonien Incompressible et une Structure

Tesis en cotutellaThis thesis deals with two different fluid--structure interactionproblems in the three dimensional case: in the first problem, wemake a theoretical analysis of a problem of interaction between adeformable structure and an incompressible Newtonian fluid(Chapter 2); in the second problem, we consider ageometrical inverse problem associated to a fluid--rigid bodysystem (Chapter 3).For the first problem, we prove a result of existence anduniqueness of strong solutions by using, for the elasticstructure, an approximation of the equations of linear elasticityby a finite-dimensional system.In the second problem, we prove the well-posedness of thecorresponding system and we show an identifiability result: theform of a convex body and its initial position are identified bythe measurement, at a positive time, of the Cauchy force of thefluid on an open part of the exterior boundary. Moreover, astability result for this system is tackled.En esta tesis se abordan dos problemas diferentes de interacciónfluido--estructura en el caso tridimensional: en el primero deellos realizamos un estudio teórico de un problema de interacciónentre una estructura deformable y un fluido Newtonianoincompresible (Capítulo 2), y en el segundo problema,consideramos un problema inverso geométrico asociado a un sistemafluido--cuerpo rígido (Capítulo 3).Para el primer problema probamos un resultado de existencia yunicidad de soluciones fuertes considerando para la estructuraelástica una aproximación finito-dimensional de la ecuación deelasticidad lineal.En el segundo problema, demostramos el buen planteamiento delcorrespondiente sistema fluido--estructura rígida y probamos unresultado de identificabilidad: la forma de un cuerpo convexo y suposición inicial son identificadas, vía la medición, en algúntiempo positivo, del tensor de Cauchy del fluido sobre unsubconjunto abierto de la frontera exterior. También un resultadode estabilidad es estudiado para este problema.Cette thèse porte sur deux problèmes différents d'interactionfluide--structure dans le cas tridimensionnel: dans le premierproblème, on effectue une étude théorique d'un problèmed'interaction entre une structure déformable et un fluideNewtonien incompressible (Chapitre 2); dans le deuxièmeproblème, on considère un problème inverse géométrique associé àun système fluide--corps rigide (Chapitre 3). Pour le premier problème nous démontrons unrésultat d'existence et d'unicité des solutions fortes, enutilisant, pour la structure élastique, une approximation deséquations de l'élasticité linéaire par un système dedimension finie.Dans le deuxième problème, nous démontrons le caractère bièn-posédu système associé et nous montrons un résultatd'identifiabilité: la forme d'un corps convexe et sa positioninitiale sont identifiées par la mesure, en un temps positif, dutenseur de Cauchy du fluide sur une partie ouverte de la frontièreextérieure. De plus, un résultat de stabilité pour ce problème estabordé

Études théoriques et numériques de quelques problèmes inverses

Le travail de la thèse concerne l'étude de quelques problèmes inverses par différents approches mathématiques. Dans la première partie, nous considérons le problème inverse géométrique consistant à retrouver une fissure ou cavité(s) inconnue à partir de mesures sur le bord d'un domaine plan. Nous traitons ce problème par des techniques d'approximation rationnelle et méromorphe dans le plan complexe. Nous étudions un autre problème inverse consistant à estimer l'aire d'une cavité. Nous donnons une majoration explicite de l'aire de la cavité. Cette majoration est basée sur une estimation de croissance dans l'espace de Hardy -Sobolev de la couronne. Nous appliquons également cette estimation pour donner la vitesse de comvergence d'un schéma d'ïnterpolation d'une fonction de l'espace de Hardy-Sobolev de la couronne. Dans la deuxième partie, nous considérons d'abord le problème inverse d'identification des paramètres de Lamé en élasticité linéaire. Nous transformons ce problème en un problème de minimisation et nous exhibons quelques exemples numériques. Nous considérons également le problème inverse d'identification d'une inclusion correspondant à une discontinuité de la conductivité. Nous utilisons la méthode du gradient topologique pour une première approximation et ensuite la méthode du gradient classique pour identifier plus précisément celles-ci. Enfin, nous étudions un problème inverse d'identification d'une inclusion en élasticité linéaire. Nous utilisons le gradient de forme pour retrouver numériquement des inclusions elliptiques.This work concerns the study of some inverse problems by different mathematical approaches. ln the first part, we consider the geometrical inverse problem. related to the identification of an unknown crack or inclusion(s) by boundary measurements. We treat this problem by technique of rational and meromorphic approximation in the complex plane. We study another inverse problem, namely estimating the area of a cavity. We derivive an explicit upper bound on the area of the cavity. We also aplly this estimation, to find an upper bound on the rate of convergence of a recovery interpolation schema in the Hardy-Sobolev space of an annulus. ln the second part. we first consider the inverse problem of recovering the Lamé parameters in linear elasticity from boundary measurements. we perform numerical experiments. We also consider the inverse problem or identification of an inclusion corresponding to a discontinuity of the conductivity. We use the method of the topological gradient to obtain a first estimate on the location of one or several inclusions and then, we use the method of the classical gradient to identify more precisely these. Finally. in the context of shape optimization, we study the inverse problem of identification of an inclusion in linear elasticity. We calculate the shape gradient of a functional of Kohn-Vogelius type, minmax of a lagrangian with respect to the parameter of deformation. We use this gradient to numerically flnd elliptic inclusionsLILLE1-Bib. Electronique (590099901) / SudocSudocFranceF