Die eindeutige Primfaktorzerlegung

Zusammenfassung: Die Frage der Primfaktorzerlegung in Unterringen der komplexen Zahlen und der unmittelbar damit zusammenhängenden Sätze wird in der heutigen Algebra ohne grossen Aufwand und fast nebenbei behandelt: Studierende haben damit auch kaum Schwierigkeiten. In der Geschichte allerdings verlief die Entwicklung alles andere als gradlinig. Ein genauerer Blick auf die historischen Einzelheiten erlaubt interessante und in vielerlei Hinsicht überraschende Einsichten in die vertrackte Art und Weise, wie sich Mathematik manchmal entwickelt. Hier soll diese Geschichte erzählt werden, wie sie sich aus den neueren mathematikhistorischen Forschungen von H.M. Edwards, R. Bölling, O. Neumann und F. Lemmermeyer ergibt, und zwar auf einem Niveau, das einem Mathematikstudierenden nach einer Algebra-Vorlesung zugänglich is

ein Beitrag zur Didaktik der Algebra und Kryptologie

Eines der zur Zeit schnellsten Verfahren zur Faktorisierung ganzer Zahlen ist das ``Quadratische Sieb'' (engl. ``quadratic sieve factorization method''), das 1981 von Carl Pomerance entwickelt wurde. Wir beschreiben im Folgenden die Basisversion des Quadratischen Siebs sowie die Variante des Quadratischen Siebs mit mehrfachen Polynomen, das sogenannte ``Multiple Polynomial Quadratic Sieve'' MPQS, das unabhängig von J. Davis und D. Holdridge bzw. P. Montgomery gefunden wurde. Bei der Darstellung der Verfahren orientieren wir uns an [Buchmann 2010], [Crandall & Pomerance 2005], [Esslinger et al. 2011], [Pomerance 1996], 'Quadratisches Sieb' in [Wikipedia de] und 'quadratic sieve' in [Wikipedia en]

About Shor's algorithm and quantum computers

Diese Bachelorarbeit dient der Erläuterung des Shor-Algorithmus mit besonderem Augenmerk auf seine nicht-klassischen Bestandteile. Sie beinhaltet einen einführenden Teil zu theoretischer Informatik und Quantum Computing, eine detaillierte Darstellung des Algorithmus mit seinen Konstituenten wie Quantenphasenschätzung und Quantenfouriertransformation sowie eine Herleitung einer Abschätzung für die Laufzeitkomplexität des Algorithmus und einem kurzen Teil über die Schwierigkeiten bei der praktischen Umsetzung des Algorithmus, das heißt der Konstruktion von Quantencomputern.This Bachelor’s thesis focuses on the explanation of Shor’s algorithm, especially the quantum part. It encompasses an introductory part on theoretical computer science and quantum computing giving the necessary knowledge for understanding Shor’s algorithm, a detailed presentation of the algorithm itself with its constituent parts like quantum phase approximation and the quantum fourier transform, as well as a derivation of the algorithm’s running time complexity and a short part on the difficulties of constructing quantum computers that could implement Shor’s algorithm

Euler characteristic and quadrilaterals of normal surfaces

Let $M$ be a compact 3-manifold with a triangulation $\tau$. We give an inequality relating the Euler characteristic of a surface $F$ normally embedded in $M$ with the number of normal quadrilaterals in $F$. This gives a relation between a topological invariant of the surface and a quantity derived from its combinatorial description. Secondly, we obtain an inequality relating the number of normal triangles and normal quadrilaterals of $F$, that depends on the maximum number of tetrahedrons that share a vertex in $\tau$.Comment: 7 pages, 1 figur

Über das schwache kartesische Produkt von Graphen

AbstractIt is shown that every connected graph has a unique prime factor decomposition with respect to the weak Cartesian product. The resulting close relationship between the automorphism group of a connected graph and the automorphism groups of its prime factors is used to derive theorems about the transitivity, regularity, and primitivity of these groups. With minor modifications all results also hold for set systems

ein Beitrag zur Didaktik der Kryptologie

We report on experiments on the time of factorization of semiprimes (i.e., products of two primes) using the systems ''Sage'' and ''CrypTool''. With some exceptions the time grows exponentially with the length of the semiprimes - as expected. Using the quadratic sieve implemented in CrypTool 2, we could factorize the number RSA-100, a 100-decimal-digits semiprime, on our laptop in less than eight and a half hours

Eine Bemerkung über die Hurwitzschen Zahlen

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