Approximation algorithms for node-weighted prize-collecting Steiner tree problems on planar graphs

We study the prize-collecting version of the Node-weighted Steiner Tree problem (NWPCST) restricted to planar graphs. We give a new primal-dual Lagrangian-multiplier-preserving (LMP) 3-approximation algorithm for planar NWPCST. We then show a ($2.88 + \epsilon$)-approximation which establishes a new best approximation guarantee for planar NWPCST. This is done by combining our LMP algorithm with a threshold rounding technique and utilizing the 2.4-approximation of Berman and Yaroslavtsev for the version without penalties. We also give a primal-dual 4-approximation algorithm for the more general forest version using techniques introduced by Hajiaghay and Jain

A Constant-Factor Approximation for Weighted Bond Cover

The Weighted ?-Vertex Deletion for a class ? of graphs asks, weighted graph G, for a minimum weight vertex set S such that G-S ? ?. The case when ? is minor-closed and excludes some graph as a minor has received particular attention but a constant-factor approximation remained elusive for Weighted ?-Vertex Deletion. Only three cases of minor-closed ? are known to admit constant-factor approximations, namely Vertex Cover, Feedback Vertex Set and Diamond Hitting Set. We study the problem for the class ? of ?_c-minor-free graphs, under the equivalent setting of the Weighted c-Bond Cover problem, and present a constant-factor approximation algorithm using the primal-dual method. For this, we leverage a structure theorem implicit in [Joret et al., SIDMA\u2714] which states the following: any graph G containing a ?_c-minor-model either contains a large two-terminal protrusion, or contains a constant-size ?_c-minor-model, or a collection of pairwise disjoint constant-sized connected sets that can be contracted simultaneously to yield a dense graph. In the first case, we tame the graph by replacing the protrusion with a special-purpose weighted gadget. For the second and third case, we provide a weighting scheme which guarantees a local approximation ratio. Besides making an important step in the quest of (dis)proving a constant-factor approximation for Weighted ?-Vertex Deletion, our result may be useful as a template for algorithms for other minor-closed families

Hitting Diamonds and Growing Cacti

We consider the following NP-hard problem: in a weighted graph, find a minimum cost set of vertices whose removal leaves a graph in which no two cycles share an edge. We obtain a constant-factor approximation algorithm, based on the primal-dual method. Moreover, we show that the integrality gap of the natural LP relaxation of the problem is \Theta(\log n), where n denotes the number of vertices in the graph.Comment: v2: several minor changes

Hitting Weighted Even Cycles in Planar Graphs

A classical branch of graph algorithms is graph transversals, where one seeks a minimum-weight subset of nodes in a node-weighted graph G which intersects all copies of subgraphs F from a fixed family F. Many such graph transversal problems have been shown to admit polynomial-time approximation schemes (PTAS) for planar input graphs G, using a variety of techniques like the shifting technique (Baker, J. ACM 1994), bidimensionality (Fomin et al., SODA 2011), or connectivity domination (Cohen-Addad et al., STOC 2016). These techniques do not seem to apply to graph transversals with parity constraints, which have recently received significant attention, but for which no PTASs are known. In the even-cycle transversal (ECT) problem, the goal is to find a minimum-weight hitting set for the set of even cycles in an undirected graph. For ECT, Fiorini et al. (IPCO 2010) showed that the integrality gap of the standard covering LP relaxation is ?(log n), and that adding sparsity inequalities reduces the integrality gap to 10. Our main result is a primal-dual algorithm that yields a 47/7 ? 6.71-approximation for ECT on node-weighted planar graphs, and an integrality gap of the same value for the standard LP relaxation on node-weighted planar graphs

An ILP-based Proof System for the Crossing Number Problem

Formally, approaches based on mathematical programming are able to find provably optimal solutions. However, the demands on a verifiable formal proof are typically much higher than the guarantees we can sensibly attribute to implementations of mathematical programs. We consider this in the context of the crossing number problem, one of the most prominent problems in topological graph theory. The problem asks for the minimum number of edge crossings in any drawing of a given graph. Graph-theoretic proofs for this problem are known to be notoriously hard to obtain. At the same time, proofs even for very specific graphs are often of interest in crossing number research, as they can, e.g., form the basis for inductive proofs. We propose a system to automatically generate a formal proof based on an ILP computation. Such a proof is (relatively) easily verifiable, and does not require the understanding of any complex ILP codes. As such, we hope our proof system may serve as a showcase for the necessary steps and central design goals of how to establish formal proof systems based on mathematical programming formulations

Playing with Duality: An Overview of Recent Primal-Dual Approaches for Solving Large-Scale Optimization Problems

Optimization methods are at the core of many problems in signal/image processing, computer vision, and machine learning. For a long time, it has been recognized that looking at the dual of an optimization problem may drastically simplify its solution. Deriving efficient strategies which jointly brings into play the primal and the dual problems is however a more recent idea which has generated many important new contributions in the last years. These novel developments are grounded on recent advances in convex analysis, discrete optimization, parallel processing, and non-smooth optimization with emphasis on sparsity issues. In this paper, we aim at presenting the principles of primal-dual approaches, while giving an overview of numerical methods which have been proposed in different contexts. We show the benefits which can be drawn from primal-dual algorithms both for solving large-scale convex optimization problems and discrete ones, and we provide various application examples to illustrate their usefulness

Combinatorial Problems in Energy Networks - Graph-theoretic Models and Algorithms

Energienetze bilden das Rückgrat unserer Gesellschaft, die unter anderem unsere Nahrungskette und andere wichtige Infrastrukturen, wie die Wasser- und Wärmeversorgung, bestimmen. Um die grundlegenden menschlichen Bedürfnisse zu befriedigen, müssen wir ein nachhaltigeres und umweltfreundlicheres Verhalten im Allgemeinen und in Energienetzen im Speziellen an den Tag legen. In dieser Arbeit geht es um Energienetze, wobei wir uns auf Stromnetze spezialisieren und uns darauf fokussieren, wie wir die vorhandene Infrastruktur besser ausnutzen können. Wir merken an, dass die Ergebnisse aus dieser Arbeit auch auf andere Energienetze übertragen werden können [Gro+19] und bestimmte auftretende Phänomene legen es nahe, dass sich einige Ergebnisse eventuell auch auf Verkehrsnetze übertragen lassen. Diese Arbeit besteht aus vier inhaltlichen Teilen. Der erste Teil beschäftigt sich mit der Funktionsweise und Struktur von elektrischen Flüssen. Der zweite und dritte inhaltliche Teil der Arbeit beschäftigt sich jeweils mit der effizienten Ausnutzung der vorhandenen Energienetzinfrastruktur. Dabei verstehen wir hier unter effizienter Ausnutzung entweder die Maximierung der Gesamterzeugung und die damit verbundene Erweiterung des Betriebspunktes oder die Minimierung der Erzeugungskosten verstehen. Das elektrische Netz besteht aus drei Spannungsebenen, die wir als Hoch-, Mittel-, und Niederspannungsebene bezeichnen. Das traditionelle elektrische Netz ist auf eine zentrale Energieversorgung ausgelegt, bei der die Erzeuger sich in der Hochspannungsebene befinden. Der elektrische Fluss im klassischen Sinne fließt von der Hoch- in die Mittel- und Niederspannungsebene. Die industriellen Verbraucher befinden sich zumeist auf der Mittelspannungsebene, während sich die Haushalte und kleineren Industrien in der Niederspannungsebene befinden. Durch nachhaltige Erzeuger, die ihre Energie aus erneuerbaren Energien wie beispielsweise Wind gewinnen, findet nun ein Paradigmenwechsel im elektrischen Netz statt. Diese nachhaltigen Erzeuger befinden sich zumeist im Nieder- und Mittelspannungsnetz und der elektrische Fluss könnte nun bidirektional fließen. Dieser Paradigmenwechsel kann zu Engpässen und anderen Problemen führen, da das elektrische Netz für ein solches Szenario nicht konzipiert ist. Eine Hauptaufgabe dieser Arbeit war die Identifizierung von Problemstellungen in elektrischen Netzen. Die extrahierten Problemstellungen haben wir dann in graphentheoretische Modelle übersetzt und Algorithmen entwickelt, die oftmals Gütegarantien besitzen. Wir haben uns dabei zunächst auf die Modellierung von elektrischen Netzen und das Verhalten von Flüssen in diesen Netzen mit Hilfe von Graphentheorie konzentriert. Zur Modellierung des elektrischen Flusses nutzen wir eine linearisierte Modellierung, die mehrere vereinfachende Annahmen trifft. Diese linearisierte Modellierung ist für Hochspannungsnetze im Allgemeinen eine gute Annäherung und macht das Entscheidungsproblem für elektrische Flüsse, das heißt, ob ein gültiger elektrischer Fluss für eine bestimmte Konfiguration des Netzes und für einen bestimmten Verbrauch und eine bestimmte Erzeugung existiert, in Polynomialzeit lösbar. Leistungsfluss. Fokusiert man sich auf das vereinfachte Zulässigkeitsproblem von elektrischen Flüssen und den Maximalen Leistungsflüssen, so existieren verschiedene mathematische Formulierungen, die den Leistungsfluss beschreiben. Auf allgemeinen Graphen ist es oftmals der Fall, dass graphentheoretischen Flüsse keine zulässigen Leistungsflüsse darstellen. Im Gegensatz zu graphentheoretischen Flüssen balancieren sich Leistungsflüsse. Wir diskutieren diese Eigenschaft aus graphentheoretischer Sicht. Die verschiedenen mathematischen Formulierungen geben uns strukturelle Einblicke in das Leistungsflussproblem. Sie zeigen uns die Dualität der zwei Kirchhoffschen Regeln. Diese nutzen wir um einen algorithmischen Ansatz zur Berechnung von Leistungsflüssen zu formulieren, der zu einem Algorithmus für Leistungsflüsse auf planaren Graphen führen könnte. Die Einschränkung auf planare zweifachzusammenhängende Graphen ist vertretbar, da elektrische Netze im Allgemeinen planar sind [COC12,S.13]. Zudem hilft uns diese Sichtweise, um Analogien zu anderen geometrischen Problemen herzustellen. Kontinuierliche Änderungen. Da graphentheoretische Flüsse sich in vielen Fällen anders als elektrische Flüsse verhalten, haben wir versucht, das Stromnetz mittels Kontrolleinheiten so auszustatten, dass der elektrische Fluss den gleichen Wert hat wie der graphentheoretische Fluss. Um dieses Ziel zu erreichen, platzieren wir die Kontrolleinheiten entweder an den Knoten oder an den Kanten. Durch eine Suszeptanz-Skalierung, die durch die Kontrolleinheiten ermöglicht wird, ist es nun prinzipiell möglich jeden graphentheoretischen Fluss elektrisch zulässig zu machen. Dabei konnten wir zeigen, dass das gezielte Platzieren von Kontrolleinheiten die Kosten der Erzeugung von elektrischer Leistung durch Generatoren im elektrischen Netz senken kann und den Betriebspunkt des Netzes in vielen Fällen auch erweitert. Platziert man Kontrolleinheiten so, dass der verbleibende Teil (d.h. das Netz ohne die Kontrolleinheiten) ein Baum oder Kaktus unter geeigneter Begrenzung der Kapazitäten ist, so ist es möglich, jeden graphentheoretischen Fluss als elektrisch zulässigen Fluss mit gleichwertigen Kosten zu realisieren. Die Kostensenkung und die Erweiterung des Betriebspunktes konnten wir experimentell auf IEEE-Benchmark-Daten bestätigen. Diskrete Änderungen. Die oben beschriebenen Kontrolleinheiten sind eine idealisierte, aktuell nicht realisierbare Steuereinheit, da sie den elektrischen Fluss im gesamten Leistungsspektrum einstellen können. Damit ist vor allem gemeint, dass sie den elektrischen Fluss auf einer Leitung von „Die Leitung ist abgeschaltet.“ bis zur maximalen Kapazität stufenlos einstellen können. Diese Idealisierung ist auch ein großer Kritikpunkt an der Modellierung. Aus diesem Grund haben wir versucht, unser Modell realistischer zu gestalten. Wir haben zwei mögliche Modellierungen identifiziert. In der ersten Modellierung können Leitungen ein- und ausgeschaltet werden. Dieser Prozess wird als Switching bezeichnet und kann in realen Netzen mittels Circuit Breakers (dt. Leistungsschaltern) realisiert werden. Die zweite Modellierung kommt der Kontrolleinheiten-Modellierung sehr nahe und beschäftigt sich mit der Platzierung von Kontrolleinheiten, die die Suszeptanz innerhalb eines gewissen Intervalls einstellen können. Diese wirkt im ersten Moment wie eine Verallgemeinerung der Schaltungsflussmodellierung. Nutzt man jedoch eine realistischere Modellierung der Kontrolleinheiten, so ist das Einstellen der Suszeptanz durch ein Intervall begrenzt, das das Ausschalten einer Leitung nicht mit beinhaltet. Sowohl ein optimales (im Sinne der Minimierung der Gesamterzeugungskosten oder der Maximierung des Durchsatzes) Platzieren von Switches als auch ein optimales Platzieren von Kontrolleinheiten ist im Allgemeinen NP-schwer [LGH14]. Diese beiden Probleme ergänzen sich dahingehend, dass man den maximalen graphentheoretischen Fluss, mit den zuvor genannten Platzierungen annähern kann. Für Switching konnten wir zeigen, dass das Problem bereits schwer ist, wenn der Graph serien-parallel ist und das Netzwerk nur einen Erzeuger und einen Verbraucher besitzt [Gra+18]. Wir haben sowohl für den Maximalen Übertragungsschaltungsfluss (engl. Maximum Transmission Switching Flow; kurz MTSF) als auch für den optimalen Übertragungsschaltungsfluss (engl. Optimal Switching Flow; kurz OSF) erste algorithmische Ansätze vorgeschlagen und gezeigt, dass sie auf bestimmten graphentheoretischen Strukturen exakt sind, und dass auf anderen graphentheoretischen Strukturen Gütegarantien möglich sind [Gra+18]. Die Algorithmen haben wir dann auf allgemeinen Netzen evaluiert. Simulationen führen zu guten Ergebnissen auf den NESTA-Benchmark-Daten. Erweiterungsplanung auf der Grünen Wiese. Eine vom Rest der Arbeit eher losgelöste Fragestellung war die Verkabelung von Windturbinen. Unter Verwendung einer Metaheuristik haben wir gute Ergebnisse im Vergleich zu einem „Mixed Integer Linear Program“ (MILP; dt. gemischt-ganzzahliges lineares Programm) erzielt, das wir nach einer Stunde abgebrochen haben. Die Modellierung der Problemstellung und die Evaluation des Algorithmus haben wir auf der ACM e-Energy 2017 veröffentlicht [Leh+17]. Schlusswort. Abschließend kann man sagen, dass mit dieser Arbeit allgemeine, tiefliegende Aussagen über elektrische Netze getroffen wurden, unter der Berücksichtigung struktureller Eigenschaften unterschiedlicher Netzklassen. Diese Arbeit zeigt wie das Netz ausgestaltet sein muss, um bestimmte Eigenschaften garantieren zu können und zeigt verschiedene Lösungsansätze mit oft beweisbaren Gütegarantien auf