Generalized Stabilities of Euler-Lagrange-Jensen (a,b)-Sextic Functional Equations in Quasi-β-Normed Spaces

The aim of this paper is to investigate generalized Ulam-Hyers stabilities of the following Euler-Lagrange-Jensen-$(a,b)$-sextic functional equation $$f(ax+by)+f(bx+ay)+(a-b)^6\left[f\left(\frac{ax-by}{a-b}\right)+f\left(\frac{bx-ay}{b-a}\right)\right]\\ = 64(ab)^2\left(a^2+b^2\right)\left[f\left(\frac{x+y}{2}\right)+f\left(\frac{x-y}{2}\right)\right]\\ +2\left(a^2-b^2\right)\left(a^4-b^4\right)[f(x)+f(y)]$$ where $a\neq b$, such that $k\in \mathbb{R}$; $k=a+b\neq 0,\pm1$ and $\lambda=1+(a-b)^6-2\left(a^6+b^6\right)-62(ab)^2\left(a^2+b^2\right)\neq 0$, in quasi-$\beta$-normed spaces by using fixed point method. In particular, we prove generalized stabilities involving the sum of powers of norms, product of powers of norms and the mixed product-sum of powers of norms of the above functional equation in quasi-$\beta$-normed spaces by using fixed point method. A counter-example for a singular case is also indicated

On the Stability Problem in Fuzzy Banach Space

We investigate the generalized Ulam-Hyers stability of the Cauchy functional equation and pose two open problems in fuzzy Banach space

On the Generalized Ulam-Gavruta-Rassias Stability of Mixed-Type Linear and Euler-Lagrange-Rassias Functional Equations

In this paper, the mixed-type linear and Euler-Lagrange-Rassias functional equations introduced by J. M. Rassias is generalized to the following n-dimensional functional equation: f(∑i=1nxi)+(n−2)∑i=1nf(xi)=∑1≤i2. We prove the general solutions and investigate its generalized Ulam-Gavruta-Rassias stability

Προβλήματα Συναρτησιακών Εξισώσεων

Η παρούσα διατριβή παρουσιάζει νέες συναρτησιακές εξισώσεις πολυωνυμικού τύπου και μελετά αυτές ως προς την ευστάθειά τους κατά Hyers-Ulam-Rassias και Ulam-Gavruta-Rassias. Η μελέτη αφορά 2ου(Quadratic), 3ου(Cubic), 4ου(Quartic) βαθμού και μικτού τύπου (συνδυασμός) συναρτησιακές εξισώσεις , εξετάζοντας και περιπτώσεις μη- ευστάθειας δίνοντας κατάλληλα αντιπαραδείγματα. Στην εισαγωγή και στο Κεφάλαιο 1, παρουσιάζεται μια εκτενή αναφορά στην ιστορική εξέλιξη του προβλήματος της ευστάθειας του Ulam, την μεθοδολογική προσέγγι-ση της επίλυσής του, ενσωματώνοντας τις τελευταίες μεθόδους ευστάθειας και δίνεται μια εκτενή βιβλιογραφική ανασκόπηση. Αναφορά γίνεται σε βιογραφικά στοιχεία του Ulam και σε εφαρμογές της ευστάθειας σε προβλήματα και άλλους επιστημονικούς τομείς. Το παρών μέρος της εργασίας είναι υπό δημοσίευση στο περιοδικό Μαθηματική Επιθεώρηση . Στο Κεφάλαιο 2, μελετώνται δευτέρου βαθμού συναρτησιακές εξισώσεις και συγκεκριμένα μια τροποποίηση της κλασικής τετραγωνικής συναρτησιακής εξίσωσης * , γενίκευση μιας δευτεροβάθμιας και δύο νέες εξισώσεις σε χώρους Banach. Η παράγραφος 2.1 έχει δημοσιευτεί από τον συγγραφέα, βλ. P.A.Pallas, On the generalized Hyers-Ulam stability of an Euler-Lagrange type quadratic functional equation, Far East Journal of Mathematical Sciences, Vol.101, Number 10, (2017), 2173-2184. Το Κεφάλαιο 3, ασχολείται με τις τρίτου και τετάρτου βαθμού εξισώσεις ως προς την ευστάθεια Ulam κάνοντας χρήση μεθόδων ευστάθειας σε non-Archimedean χώρους. Απάντηση δίνεται σε ανοικτό πρόβλημα για την ευστάθεια της α-quartic συναρτησιακής εξίσωσης* όπου ζητείται η μελέτη της γενικευμένης ευστάθειας Hyers-Ulam-Rassias, και η εύρεση των συνθηκών ευστάθειας. Παρουσιάζεται η ευστάθειά της σε non-Archimedean χώρους με χρήση της ευθείας και της σταθερού σημείου μεθόδου. (Direct και Fixed point method). Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται η ευστάθεια Hyers-Ulam-Rassias και Ulam-Gavruta-Rassias μικτών συναρτησιακών εξισώσεων. Στις μικτού τύπου πολυωνυμικές συναρ-τησιακές εξισώσεις η επίλυση καθώς και η ευστάθεια μελετάται συνήθως διαχωρίζοντας τις περιπτώσεις άρτιας και περιττής συνάρτησης. Η πορεία της εύρεσης των συνθηκών ευστάθειας περιλαμβάνει επίσης θεωρήματα που εξετάζουν την ευστάθεια ξε-χωριστά για κάθε μία προσθετική, τετραγωνική κλπ. συναρτησιακή εξίσωση που προσεγγίζει την αρχική. Στη συνέχεια, ένα συνδυαστικό θεώρημα ενσωματώνει τα επιμέρους συμπεράσματα. Τα πορίσματα που αφορούν την ευστάθεια Rassias ακολουθούν την ίδια διάταξη. Παρουσιάζονται μικτές εξισώσεις σε χώρους Banach, quasi β-normed και fuzzy Banach, ενώ δίνονται παραδείγματα μη ευστάθειας. Ειδικότερα, στην ενότητα 4.1 επιλύεται και εξετάζεται η ευστάθεια Hyers-Ulam-Rassias μιας νέας, μικτού τύπου, προσθετικής- τετραγωνικής, συναρτησιακής εξίσωσης* χρησιμοποιώντας την ευθεία μέθοδο Hyers και την σταθερού σημείου, σε χώρους Ba-nach. Η μη ευστάθεια εξετάζεται με παράθεση παραδειγμάτων για τις περιπτώσεις μη ευστάθειας τόσο στα Θεωρήματα της ευθείας μεθόδου όσο και στα Θεωρήματα της μεθόδου σταθερού σημείου . Γίνεται διάκριση των περιπτώσεων σε άρτια και περιττή συνάρτηση. Στην ενότητα 4.2 μελετάται η ευστάθεια μιας νέας μικτής συναρτησιακής εξίσωσης σε σταθμητούς quasi- β-normed χώρους. Χώρος που εισήχθη από J.M.Rassias και Kim σχετικά πρόσφατα. Στην ενότητα 4.3 , παρουσιάζεται το πρόβλη-μα της ευστάθειας σε ασαφείς τοπολογικές δομές (fuzzy normed spaces). Στο Κεφάλαιο 5, γίνεται η αποτίμηση της όλης ερευνητικής προσπάθειας και της συμβολής της στην διερεύνηση της ευστάθειας συναρτησιακών εξισώσεων πολυωνυμικού τύπου. Επίσης σκιαγραφούνται οι μελλοντικές προοπτικές και σημεία στόχευσης της έρευνας που προκύπτουν από τα αποτελέσματα αυτού του ερευνητικού έργου. Τέτοιες κατευθύνσεις είναι η διερεύνηση της ευστάθειας μεγαλυτέρου βαθμού του 4 με τη χρήση ενός γενικού μοντέλου περιγραφής εξίσωσης πολυωνυμικού τύπου, γενίκευση των κυβικών εξισώσεων εισάγοντας νέες παραμέτρους, όπως επίσης μια σειρά από ανοιχτά προβλήματα που αφορούν την εξέταση της ευστάθειας με χρήση και των δύο άλλων μεθόδων ευστάθειας σε διάφορους τοπολογικούς χώρους.This PhD Thesis introduces new functional equations of polynomial type and studies their Hyers-Ulam-Rassias and Ulam-Gavruta-Rassias stability. Chapter 1, reviews and presents the evolution of the Ulam Stability Problem during the last 70 years. We highlight the main theoretical results and tools that researchers in the field discovered. Methods of stability and applications in a variety of fields are also mentioned. In Chapter 2, generalization, and modification of classical quadratic functional equation is examined. Also, two new quadratic functional equations are introduced. In Chapter 3, we present two cubic functional equations and we answer an open problem, posed by J.M Rassias, concerned the α-quartic functional equation in non-Archimedean spaces. Finally in Chapter 4, we deal with mixed type functional equations, especially additive-quadratic equations and study them in various spaces. Also, a capable num-ber of counterexamples are given. Chapter 5 poses some open problems that derived from the research

The Fixed Point Method for Fuzzy Approximation of a Functional Equation Associated with Inner Product Spaces

Th. M. Rassias (1984) proved that the norm defined over a real vector space is induced by an inner product if and only if for a fixed integer ≥2,∑=1‖∑−(1/)=1‖2=∑=1‖‖2∑−‖(1/)=1‖2 holds for all 1,…,∈. The aim of this paper is to extend the applications of the fixed point alternative method to provide a fuzzy stability for the functional equation ∑=1(∑−(1/)=1∑)==1(∑)−((1/)=1) which is said to be a functional equation associated with inner product spaces

Stability of Euler-Lagrange-Jensen’s (a,b)- Sextic Functional Equation in Multi-Banach Spaces

In this paper, we prove the Hyers-Ulam Stability of Euler-Lagrange-Jensen’s (a,b)-Sextic Functional Equation in Multi-Banach Spaces

Solutions and the Generalized Hyers-Ulam-Rassias Stability of a Generalized Quadratic-Additive Functional Equation

We study general solutions and generalized Hyers-Ulam-Rassias stability of the following -dimensional functional equation ∑(=1∑)+(−2)=1(∑)==1∑=1,>(+), ≥3, on non-Archimedean normed spaces