Remarks on the order-theoretical and algebraic properties of quantum structures

This thesis is concerned with the analysis of common features and distinguishing traits of algebraic structures arising in the sharp as well as in the unsharp approaches to quan- tum theory both from an order-theoretical and an algebraic perspective. Firstly, we recall basic notions of order theory and universal algebra. Furthermore, we introduce fundamental concepts and facts concerning the algebraic structures we deal with, from orthomodular lattices to e↵ect algebras, MV algebras and their non-commutative gener- alizations. Finally, we present Basic algebras as a general framework in which (lattice) quantum structures can be studied from an universal algebraic perspective. Taking advantage of the categorical (term-)equivalence between Basic algebras and Lukasiewicz near semirings, in Chapter 3 we provide a structure theory for the lat- ter in order to highlight that, if turned into near-semirings, orthomodular lattices, MV algebras and Basic algebras determine ideals amenable of a common simple description. As a consequence, we provide a rather general Cantor-Bernstein Theorem for involutive left-residuable near semirings. In Chapter 4, we show that lattice pseudoe↵ect algebras, i.e. non-commutative gener- alizations of lattice e↵ect algebras can be represented as near semirings. One one side, this result allows the arithmetical treatment of pseudoe↵ect algebras as total structures; on the other, it shows that near semirings framework can be really seen as the common “ground” on which (commutative and non commutative) quantum structures can be studied and compared. In Chapter 5 we show that modular paraorthomodular lattices can be represented as semiring-like structures by first converting them into (left-) residuated structures. To this aim, we show that any modular bonded lattice A with antitone involution satisfying a strengthened form of regularity can be turned into a left-residuated groupoid. This condition turns out to be a sucient and necessary for a Kleene lattice to be equipped with a Boolean-like material implication. Finally, in order to highlight order theoretical peculiarities of orthomodular quantum structures, in Chapter 6 we weaken the notion of orthomodularity for posets by introduc- ing the concept of the generalized orthomodularity property (GO-property) expressed in terms of LU-operators. This seemingly mild generalization of orthomodular posets and its order theoretical analysis yields rather strong applications to e↵ect algebras, and orthomodular structures. Also, for several classes of orthoalgebras, the GO-property yields a completely order-theoretical characterization of the coherence law and, in turn, of proper orthoalgebras

Quantum and Classical Integrable Systems

The key concept discussed in these lectures is the relation between the Hamiltonians of a quantum integrable system and the Casimir elements in the underlying hidden symmetry algebra. (In typical applications the latter is either the universal enveloping algebra of an affine Lie algebra, or its q-deformation.) A similar relation also holds in the classical case. We discuss different guises of this very important relation and its implication for the description of the spectrum and the eigenfunctions of the quantum system. Parallels between the classical and the quantum cases are thoroughly discussed.Comment: 59 pages, LaTeX2.09 with AMS symbols. Lectures at the CIMPA Winter School on Nonlinear Systems, Pondicherry, January 199

Computing congruences and endomorphisms for algebras of type (2m, 1n)

Atualmente a principal aplicação de software para semigrupos é a package de GAP chamada Semigroups [29], em articulação com a package Smallsemi [13]. O GAP [17] é um sistema e linguagem de programação para álgebra discreta computacional. Embora estas packages ofereçam muitas opções de cálculo e forneçam uma biblioteca de todos os semigrupos até o tamanho 8, várias operações de semigrupos importantes não estão disponíveis. Em parte, isto deve-se ao facto de a arquitetura subjacente ser voltada para a teoria de grupos e os semigrupos frequentemente requerem técnicas algorítmicas que são mais próximas das empregadas na Álgebra Universal do que daquelas usadas em grupos. Existem maneiras de construir álgebras a partir das existentes (produtos diretos etc.), mas a operação inversa é crítica: decompor uma dada álgebra em outras menores. Este tipo de decomposição é especialmente importante em semigrupos, pois mesmo a estrutura de semigrupos muito pequenos pode ser muito obscura. Até agora não existe uma ferramenta computacional geral para decompor semigrupos. Por exemplo, o GAP já contém código para encontrar todas as congruências de classes muito particulares de semigrupos, mas está muito longe de fornecer um método geral. A situação é ainda pior em relação aos endomorfismos. O objetivo da package CREAM (Algebra CongRuences, Endomorphisms and AutomorphisMs) é resolver esta situação implementando algoritmos eficientes para calcular congruências, endomorfismos e automorfismos de álgebras do tipo (2m, 1 n). Vários algoritmos gerais (como em [15]) serão adaptados para o contexto da teoria de semigrupos e mais geralmente para álgebras do tipo (2m, 1 n ) cobrindo assim grupos e semigrupos mas também álgebras unárias e também loops, campos, anéis, semianéis, álgebras de Lie, MV-álgebras, Meadows, álgebras de lógica, etc. Estes algoritmos serão implementados em GAP. Isso incluirá as seguintes questões: • Dada uma álgebra finita A do tipo (2m, 1 n ), encontrar todas as congruências de A, pelo menos tão rápido quanto os programas existentes (ou seja, o código produzido será geral e pelo menos tão rápido quanto o código que existe para classes específicas de álgebras apenas); • Dada uma álgebra finita A do tipo (2m, 1 n ), encontrar todos os endomorfismos de A; em particular, o código deve calcular efetivamente os automorfismos de A, uma ferramenta que essencialmente existe apenas para grupos. Uma álgebra universal é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto A e numa coleção de operações sobre A. Uma operação n-aria sobre A é uma função que tem como entrada um n-tuplo de elementos de A e retorna um elemento de A. Neste contexto só estão a ser consideradas operações com aridade 1 ou 2, i.e. operações unárias e binárias. Uma álgebra do tipo (2m, 1 n ) é uma álgebra universal com m operações binárias e n unárias. Este uso genérico da package CREAM depende de teoremas de álgebra universal. Isto tem custos, pois teoremas de tipos específicos de álgebras (e.g. grupos, semigrupos, etc) não podem ser usados para reduzir o espaço de procura e melhorar a performance. Canon e Holt [10], usaram vários algoritmos inteligentes e teoremas específicos de grupos para produzir código mais rápido que a package CREAM a calcular automorfismos de grupos com ordens maiores. Analogamente, Mitchell et al. [29] usaram teoremas da teoria de semigrupos para calcular eficazmente automorfismos e congruências de semigrupos completamente 0-simples. Mas estes estão entre os poucos casos de código GAP disponível que é mais rápido que a package CREAM que é de uso mais generalizado. Para a maioria de outras classes de álgebras de tipo (2m, 1 n ) a package CREAM é mais rápida a calcular auto[endo]morfismos/congruências. Um dos algoritmos principais implementado na package é o algoritmo de Freese descrito em [15] que calcula congruências principais para uma álgebra universal. Para chegar a esta performance a package CREAM usa uma mistura de algoritmos standard de álgebra universal juntamente com ferramentas de procura eficiente por modelos finitos de fórmulas de primeira ordem e a implementação de partes de código em C. Em geral, calcular congruências de álgebras é uma tarefa difícil. Existem vários teoremas descritivos para diferentes tipos de álgebra e algumas ferramentas computacionais para calcular congruências para álgebras finitas, mas geralmente essas ferramentas são aplicáveis a um conjunto muito específico e estreito de álgebras. O nosso objetivo era fornecer uma ferramenta eficaz para calculá-los para álgebras finitas do tipo (2m, 1 n ) abrangendo um conjunto muito amplo de álgebras, incluindo a maioria dos tipos e classes de álgebra atualmente estudados. O algoritmo usado foi o algoritmo de Freese cuja eficiência depende em muito da representação das álgebras e congruências. Em especial a representação de partições/congruências como um array é determinante na eficiência do cálculo das congruências principais uma vez que permite uma junção de blocos muito rápida, uma das operações mais utilizadas durante a execução do algoritmo de congruências. Além disso a representação usada não limita o âmbito geral das álgebras suportadas. No âmbito deste doutoramento vários algoritmos para o cálculo de automorfismos foram testados e a conclusão foi que o algoritmo mais promissor foi um algoritmo que usa invariantes das operações das álgebras para limitar os possíveis automorfismos da álgebra. Este algoritmo é usado na package Loops cuja implementação foi usada como guia tendo o seu âmbito sido expandido para suportar não só magmas mas qualquer álgebra do tipo (2 m, 1 n ). A implementação final dos algoritmos de automorfismos usando a abordagem de invariantes foi contribuída para a package CREAM por Choiwah Chow com base nas conclusões e no trabalho realizado no âmbito deste doutoramento. Dada a falta de referências sobre algoritmos para calcular endomorfismos, o algoritmo para calcular endomorfismos usado na package CREAM foi definido usando teoremas básicos de álgebra universal como o teorema do homomorfismo, para relacionar congruências, álgebras quocientes, subálgebras e endomorfismos. O algoritmo foi desenvolvido usando os algoritmos de congruências e automorfismos implementados, e uma aplicação denominada MACE4. O MACE4 [27] é uma aplicação de linha de comando que procura modelos finitos de fórmulas de primeira ordem. Embora o GAP seja adequado para prototipagem e implementação rápida de algoritmos, o código resultante não é muito rápido devido ao facto de ser uma linguagem interpretada. Reescrever o código em C permitiu melhorias surpreendentes que alcançaram uma melhoria de até 670 vezes do código GAP para o código C. Além disso, a integração com o MACE4 permite combinar a eficiência de algoritmos como [15], com um amplo conjunto de possibilidades fornecidas por uma ferramenta eficiente na procura por modelos finitos de fórmulas de primeira ordem, dando uma flexibilidade muito grande à package CREAM. A package CREAM é em média 20 vezes mais rápida no cálculo de congruências dos tipos de semigrupos muito limitados que são suportados pela função CongruencesOfSemigroups da package Semigroups que é a função mais abrangente em GAP para o cálculo de congruências. A única aplicação que possui um âmbito semelhante em termos de álgebras suportadas é a interface de linha de comando UACalc, mas faz isso em jython, sem beneficiar do ecossistema existente na plataforma GAP. Quando comparado com o UACalc, o package CREAM é consistentemente mais de 3 vezes mais rápido. Relativamente a automorfismos e endomorfismos, a comparação com outras bibliotecas/aplicativos é muito difícil, uma vez que o suporte é limitado principalmente a grupos e outras estruturas algébricas intimamente relacionadas com grupos. Para essas álgebras, o desempenho das packages GAP Loops e Sonata são comparáveis e às vezes melhores do que a package CREAM. Essas bibliotecas por vezes contam com o uso de teoremas específicos para essas álgebras. Mas apenas a package CREAM suporta a maioria das álgebras estudadas em álgebra convencional e moderna. Dada a importância das congruências, automorfismos e endomorfismos para o estudo de estruturas algébricas, espera-se que a package CREAM com seu desempenho e versatilidade possa ser uma ferramenta útil para a comunidade GAP e um amplo grupo de matemáticos. O código resultante está disponível como o pacote GAP CREAM que está totalmente documentado.While there are efficient algorithms to decompose very particular classes of semigroups, groups and quasigroups, there are no similar facilities available for the more general algebraic structures such as algebras of type (2m, 1 n ), with an arbitrary number of binary and unary operations. In this thesis, its presented the GAP package CREAM (Algebra CongRuences, Endomorphisms and AutomorphisMs) that provides efficient algorithm implementations to calculate congruences, endomorphisms and automorphisms of algebras of type (2m, 1 n ) covering groups and semigroups but also unary algebras, and loops, fields, rings, semi-rings, MV-algebras, Meadows, algebras of logic, etc. An universal algebra is an algebraic structure consisting of a set A together with a collection of operations on A. An n-ary operation on A is a function that takes n-tuple of elements from A and returns a single element of A. In the current scope are only considered operations with arity of 1 or 2, i.e. unary and binary operations. An algebra of type (2 m,1 n ) is a universal algebra with m binary and n unary operations. This general applicability of the CREAM package relies on universal algebra theorems. This comes with a cost since theorems on specific types of algebras (e.g. groups, semigroups, etc) cannot be used to reduce the search space and enhance performance. Canon and Holt, using a mix of smart algorithms and specific group theorems, produced fast code to compute automorphisms of groups that is faster than CREAM on large orders. Similarly, Mitchell et al. used semigroup theory theorems to compute in a very effective way automorphisms and congruences of completely 0-simple semigroups. But these are among the few cases of known GAP code that are faster than our general purpose package CREAM. For most other classes of algebras of type (2m, 1 n ), CREAM is faster computing auto[endo]morphisms/congruences. One core algorithm implemented in the package is Freese’s algorithm [15] that calculates principal congruences for a universal algebra. To get this performance, CREAM uses a mixture of standard universal algebra algorithms together with tools that can search efficiently for finite models of first-order formulas and the implementation of parts of the code in C

BIALGEBRAIC STRUCTURES AND SMARANDACHE BIALGEBRAIC STRUCTURES

The study of bialgebraic structures started very recently. Till date there are no books solely dealing with bistructures. The study of bigroups was carried out in 1994-1996. Further research on bigroups and fuzzy bigroups was published in 1998. In the year 1999, bivector spaces was introduced. In 2001, concept of free De Morgan bisemigroups and bisemilattices was studied. It is said by Zoltan Esik that these bialgebraic structures like bigroupoids, bisemigroups, binear rings help in the construction of finite machines or finite automaton and semi automaton. The notion of non-associative bialgebraic structures was first introduced in the year 2002. The concept of bialgebraic structures which we define and study are slightly different from the bistructures using category theory of Girard's classical linear logic

Noncommutative Geometry and Quantum Field Theory

The workshop gathered experts from both mathemematics and physics working on the interrelation of Noncommutative Geometry and Quantum Field Theory, which has become one of the central topics in mathematical physics over the last decade. The talks mainly focused on the possible noncommuativity of spacetime, applications of the local index formula in quantum field theory and the significant recent progress concerning the construction of interacting quantum field theories over noncommutative spaces

Categorical Ontology of Complex Systems, Meta-Systems and Theory of Levels: The Emergence of Life, Human Consciousness and Society

Single cell interactomics in simpler organisms, as well as somatic cell interactomics in multicellular organisms, involve biomolecular interactions in complex signalling pathways that were recently represented in modular terms by quantum automata with ‘reversible behavior’ representing normal cell cycling and division. Other implications of such quantum automata, modular modeling of signaling pathways and cell differentiation during development are in the fields of neural plasticity and brain development leading to quantum-weave dynamic patterns and specific molecular processes underlying extensive memory, learning, anticipation mechanisms and the emergence of human consciousness during the early brain development in children. Cell interactomics is here represented for the first time as a mixture of ‘classical’ states that determine molecular dynamics subject to Boltzmann statistics and ‘steady-state’, metabolic (multi-stable) manifolds, together with ‘configuration’ spaces of metastable quantum states emerging from complex quantum dynamics of interacting networks of biomolecules, such as proteins and nucleic acids that are now collectively defined as quantum interactomics. On the other hand, the time dependent evolution over several generations of cancer cells --that are generally known to undergo frequent and extensive genetic mutations and, indeed, suffer genomic transformations at the chromosome level (such as extensive chromosomal aberrations found in many colon cancers)-- cannot be correctly represented in the ‘standard’ terms of quantum automaton modules, as the normal somatic cells can. This significant difference at the cancer cell genomic level is therefore reflected in major changes in cancer cell interactomics often from one cancer cell ‘cycle’ to the next, and thus it requires substantial changes in the modeling strategies, mathematical tools and experimental designs aimed at understanding cancer mechanisms. Novel solutions to this important problem in carcinogenesis are proposed and experimental validation procedures are suggested. From a medical research and clinical standpoint, this approach has important consequences for addressing and preventing the development of cancer resistance to medical therapy in ongoing clinical trials involving stage III cancer patients, as well as improving the designs of future clinical trials for cancer treatments.\ud \ud \ud KEYWORDS: Emergence of Life and Human Consciousness;\ud Proteomics; Artificial Intelligence; Complex Systems Dynamics; Quantum Automata models and Quantum Interactomics; quantum-weave dynamic patterns underlying human consciousness; specific molecular processes underlying extensive memory, learning, anticipation mechanisms and human consciousness; emergence of human consciousness during the early brain development in children; Cancer cell ‘cycling’; interacting networks of proteins and nucleic acids; genetic mutations and chromosomal aberrations in cancers, such as colon cancer; development of cancer resistance to therapy; ongoing clinical trials involving stage III cancer patients’ possible improvements of the designs for future clinical trials and cancer treatments. \ud \u