(0, ½, 1) matrices which are extreme points of the generalized transitive tournament polytope

AbstractFollowing Brualdi and Hwang, given a generalized transitive tournament (GTT) matrix T of ordern, we consider the *-graph ofT, that is, the undirected graph with vertices 1, 2, …,n in which there is an edge {i,j} between verticesi andj if and only if0 < tij < 1. We characterize the *-graphs of the extreme GTT (0, ½, 1) matrices of order n. Using this characterization, we obtain for n = 6, 7 the complete list of extreme GTT (0, ½, 1) matrices of ordern

On Fractional Realizations of Tournament Score Sequences

Contrary to popular belief, we can’t all be winners. Suppose 6 people compete in a chess tournament in which all pairs of players compete directly and no ties are allowed; i.e., 6 people compete in a ‘round robin tournament’. Each player is assigned a ‘score’, namely the number of games they won, and the ‘score sequence’ of the tournament is a list of the players’ scores. Determining whether a given potential score sequence actually is a score sequence proves to be difficult. For instance, (0, 0, 3, 3, 3, 6) is not feasible because two players cannot both have score 0. Neither is the sequence (1, 1, 1, 4, 4, 4) because the sum of the scores is 16, but only 15 games are played among 6 players. This so called ‘tournament score sequence problem’ (TSSP) was solved in 1953 by the mathematical sociologist H. G. Landau. His work inspired the investigation of round robin tournaments as directed graphs. We study a modification in which the TSSP is cast as a system of inequalities whose solutions form a polytope η-dimensional space. This relaxation allows us to investigate the possibility of fractional scores. If, in a ‘round-robin’-ish tournament, Players A and B play each other 3 times, and Player A wins 2 of the 3 games, we can record this interaction as a 2/3 score for Player A and a 1/3 score for Player B. This generalization greatly impacts the nature of possible score sequences. We will also entertain an interpretation of these fractional scores as probabilities predicting the outcome of a true round robin tournament. The intersection of digraph theory, polyhedral combinatorics, and linear programming is a relatively new branch of graph theory. These results pioneer research in this field

Symmetry in Graph Theory

This book contains the successful invited submissions to a Special Issue of Symmetry on the subject of ""Graph Theory"". Although symmetry has always played an important role in Graph Theory, in recent years, this role has increased significantly in several branches of this field, including but not limited to Gromov hyperbolic graphs, the metric dimension of graphs, domination theory, and topological indices. This Special Issue includes contributions addressing new results on these topics, both from a theoretical and an applied point of view

Optimal Global Instruction Scheduling for the Itanium® Processor Architecture

On the Itanium 2 processor, effective global instruction scheduling is crucial to high performance. At the same time, it poses a challenge to the compiler: This code generation subtask involves strongly interdependent decisions and complex trade-offs that are difficult to cope with for heuristics. We tackle this NP-complete problem with integer linear programming (ILP), a search-based method that yields provably optimal results. This promises faster code as well as insights into the potential of the architecture. Our ILP model comprises global code motion with compensation copies, predication, and Itanium-specific features like control/data speculation. In integer linear programming, well-structured models are the key to acceptable solution times. The feasible solutions of an ILP are represented by integer points inside a polytope. If all vertices of this polytope are integral, then the ILP can be solved in polynomial time. We define two subproblems of global scheduling in which some constraint classes are omitted and show that the corresponding two subpolytopes of our ILP model are integral and polynomial sized. This substantiates that the found model is of high efficiency, which is also confirmed by the reasonable solution times. The ILP formulation is extended by further transformations like cyclic code motion, which moves instructions upwards out of a loop, circularly in the opposite direction of the loop backedges. Since the architecture requires instructions to be encoded in fixed-sized bundles of three, a bundler is developed that computes bundle sequences of minimal size by means of precomputed results and dynamic programming. Experiments have been conducted with a postpass tool that implements the ILP scheduler. It parses assembly procedures generated by Intel&#65533;s Itanium compiler and reschedules them as a whole. Using this tool, we optimize a selection of hot functions from the SPECint 2000 benchmark. The results show a significant speedup over the original code.Globale Instruktionsanordnung hat beim Itanium-2-Prozessor großen Einfluß auf die Leistung und stellt dabei gleichzeitig eine Herausforderung für den Compiler dar: Sie ist mit zahlreichen komplexen, wechselseitig voneinander abhängigen Entscheidungen verbunden, die für Heuristiken nur schwer zu beherrschen sind.Wir lösen diesesNP-vollständige Problem mit ganzzahliger linearer Programmierung (ILP), einer suchbasierten Methode mit beweisbar optimalen Ergebnissen. Das ermöglicht neben schnellerem Code auch Einblicke in das Potential der Itanium- Prozessorarchitektur. Unser ILP-Modell umfaßt globale Codeverschiebungen mit Kompensationscode, Prädikation und Itanium-spezifische Techniken wie Kontroll- und Datenspekulation. Bei ganzzahliger linearer Programmierung sind wohlstrukturierte Modelle der Schlüssel zu akzeptablen Lösungszeiten. Die zulässigen Lösungen eines ILPs werden durch ganzzahlige Punkte innerhalb eines Polytops repräsentiert. Sind die Eckpunkte dieses Polytops ganzzahlig, kann das ILP in Polynomialzeit gelöst werden. Wir definieren zwei Teilprobleme globaler Instruktionsanordnung durch Auslassung bestimmter Klassen von Nebenbedingungen und beweisen, daß die korrespondierenden Teilpolytope unseres ILP-Modells ganzzahlig und von polynomieller Größe sind. Dies untermauert die hohe Effizienz des gefundenen Modells, die auch durch moderate Lösungszeiten bestätigt wird. Das ILP-Modell wird um weitere Transformationen wie zyklische Codeverschiebung erweitert; letztere bezeichnet das Verschieben von Befehlen aufwärts aus einer Schleife heraus, in Gegenrichtung ihrer Rückwärtskanten. Da die Architektur eine Kodierung der Befehle in Dreierbündeln fester Größe vorschreibt, wird ein Bundler entwickelt, der Bündelsequenzen minimaler Länge mit Hilfe vorberechneter Teilergebnisse und dynamischer Programmierung erzeugt. Für die Experimente wurde ein Postpassoptimierer erstellt. Er liest von Intels Itanium-Compiler erzeugte Assemblerroutinen ein und ordnet die enthaltenen Instruktionen mit Hilfe der ILP-Methode neu an. Angewandt auf eine Auswahl von Funktionen aus dem Benchmark SPECint 2000 erreicht der Optimierer eine signifikante Beschleunigung gegenüber dem Originalcode

Optimal Global Instruction Scheduling for the Itanium® Processor Architecture

On the Itanium 2 processor, effective global instruction scheduling is crucial to high performance. At the same time, it poses a challenge to the compiler: This code generation subtask involves strongly interdependent decisions and complex trade-offs that are difficult to cope with for heuristics. We tackle this NP-complete problem with integer linear programming (ILP), a search-based method that yields provably optimal results. This promises faster code as well as insights into the potential of the architecture. Our ILP model comprises global code motion with compensation copies, predication, and Itanium-specific features like control/data speculation. In integer linear programming, well-structured models are the key to acceptable solution times. The feasible solutions of an ILP are represented by integer points inside a polytope. If all vertices of this polytope are integral, then the ILP can be solved in polynomial time. We define two subproblems of global scheduling in which some constraint classes are omitted and show that the corresponding two subpolytopes of our ILP model are integral and polynomial sized. This substantiates that the found model is of high efficiency, which is also confirmed by the reasonable solution times. The ILP formulation is extended by further transformations like cyclic code motion, which moves instructions upwards out of a loop, circularly in the opposite direction of the loop backedges. Since the architecture requires instructions to be encoded in fixed-sized bundles of three, a bundler is developed that computes bundle sequences of minimal size by means of precomputed results and dynamic programming. Experiments have been conducted with a postpass tool that implements the ILP scheduler. It parses assembly procedures generated by Intel&#65533;s Itanium compiler and reschedules them as a whole. Using this tool, we optimize a selection of hot functions from the SPECint 2000 benchmark. The results show a significant speedup over the original code.Globale Instruktionsanordnung hat beim Itanium-2-Prozessor großen Einfluß auf die Leistung und stellt dabei gleichzeitig eine Herausforderung für den Compiler dar: Sie ist mit zahlreichen komplexen, wechselseitig voneinander abhängigen Entscheidungen verbunden, die für Heuristiken nur schwer zu beherrschen sind.Wir lösen diesesNP-vollständige Problem mit ganzzahliger linearer Programmierung (ILP), einer suchbasierten Methode mit beweisbar optimalen Ergebnissen. Das ermöglicht neben schnellerem Code auch Einblicke in das Potential der Itanium- Prozessorarchitektur. Unser ILP-Modell umfaßt globale Codeverschiebungen mit Kompensationscode, Prädikation und Itanium-spezifische Techniken wie Kontroll- und Datenspekulation. Bei ganzzahliger linearer Programmierung sind wohlstrukturierte Modelle der Schlüssel zu akzeptablen Lösungszeiten. Die zulässigen Lösungen eines ILPs werden durch ganzzahlige Punkte innerhalb eines Polytops repräsentiert. Sind die Eckpunkte dieses Polytops ganzzahlig, kann das ILP in Polynomialzeit gelöst werden. Wir definieren zwei Teilprobleme globaler Instruktionsanordnung durch Auslassung bestimmter Klassen von Nebenbedingungen und beweisen, daß die korrespondierenden Teilpolytope unseres ILP-Modells ganzzahlig und von polynomieller Größe sind. Dies untermauert die hohe Effizienz des gefundenen Modells, die auch durch moderate Lösungszeiten bestätigt wird. Das ILP-Modell wird um weitere Transformationen wie zyklische Codeverschiebung erweitert; letztere bezeichnet das Verschieben von Befehlen aufwärts aus einer Schleife heraus, in Gegenrichtung ihrer Rückwärtskanten. Da die Architektur eine Kodierung der Befehle in Dreierbündeln fester Größe vorschreibt, wird ein Bundler entwickelt, der Bündelsequenzen minimaler Länge mit Hilfe vorberechneter Teilergebnisse und dynamischer Programmierung erzeugt. Für die Experimente wurde ein Postpassoptimierer erstellt. Er liest von Intels Itanium-Compiler erzeugte Assemblerroutinen ein und ordnet die enthaltenen Instruktionen mit Hilfe der ILP-Methode neu an. Angewandt auf eine Auswahl von Funktionen aus dem Benchmark SPECint 2000 erreicht der Optimierer eine signifikante Beschleunigung gegenüber dem Originalcode