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On differential-algebraic control systems
In der vorliegenden Dissertation werden differential-algebraische
Gleichungen (differential-algebraic equations, DAEs) der Form \ddt E x =
Ax + f betrachtet, wobei und beliebige Matrizen sind. Falls
nichtverschwindende Einträge hat, dann kommen in der Gleichung Ableitungen
der entsprechenden Komponenten von vor. Falls eine Nullzeile hat,
dann kommen in der entsprechenden Gleichung keine Ableitungen vor und sie
ist rein algebraisch. Daher werden Gleichungen vom Typ \ddt E x = Ax + f
differential-algebraische Gleichungen genannt.
Ein Ziel dieser Dissertation ist es, eine strukturelle Zerlegung einer DAE
in vier Teile herzuleiten: einen ODE-Anteil, einen nilpotenten Anteil,
einen unterbestimmten Anteil und einen überbestimmten Anteil. Jeder Anteil
beschreibt ein anderes Lösungsverhalten in Hinblick auf Existenz und
Eindeutigkeit von Lösungen für eine vorgegebene Inhomogenität und
Konsistenzbedingungen an . Die Zerlegung, namentlich die quasi-Kronecker
Form (QKF), verallgemeinert die wohlbekannte Kronecker-Normalform und
behebt einige ihrer Nachteile.
Die QKF wird ausgenutzt, um verschiedene Konzepte der Kontrollierbarkeit
und Stabilisierbarkeit für DAEs mit~ zu studieren. Hier bezeichnet
den Eingang des differential-algebraischen Systems. Es werden
Zerlegungen unter System- und Feedback-Äquivalenz, sowie die Folgen einer
Behavioral-Steuerung für die Stabilisierung des Systems
untersucht.
Falls für das DAE-System zusätzlich eine Ausgangs-Gleichung gegeben
ist, dann lässt sich das Konzept der Nulldynamik wie folgt definieren: die
Nulldynamik ist, grob gesagt, die Dynamik, die am Ausgang nicht sichtbar
ist, d.h. die Menge aller Lösungs-Trajektorien mit . Für
rechts-invertierbare Systeme mit autonomer Nulldynamik wird eine Zerlegung
hergeleitet, welche die Nulldynamik entkoppelt. Diese versetzt uns in die
Lage, eine Behavior-Steuerung zu entwickeln, die das System stabilisiert,
vorausgesetzt die Nulldynamik selbst ist stabil.
Wir betrachten auch zwei Regelungs-Strategien, die von den Eigenschaften
der oben genannten System-Klasse profitieren: Hochverstärkungs- und
Funnel-Regelung. Ein System \ddt E x = Ax + Bu, , hat die
Hochverstärkungseigenschaft, wenn es durch die Anwendung der proportionalen
Ausgangsrückführung , mit hinreichend groß, stabilisiert
werden kann. Wir beweisen, dass rechts-invertierbare Systeme mit
asymptotisch stabiler Nulldynamik, die eine bestimmte Relativgrad-Annahme
erfüllen, die Hochverstärkungseigenschaft haben. Während der
Hochverstärkungs-Regler recht einfach ist, ist es jedoch a priori nicht
bekannt, wie groß die Verstärkungskonstante gewählt werden muss. Dieses
Problem wird durch den Funnel-Regler gelöst: durch die adaptive Justierung
der Verstärkung über eine zeitabhängige Funktion und die
Ausnutzung der Hochverstärkungseigenschaft wird erreicht, dass große Werte
nur dann angenommen werden, wenn sie nötig sind. Eine weitere
wesentliche Eigenschaft ist, dass der Funnel-Regler das transiente
Verhalten des Fehlers der Bahnverfolgung, wobei die Referenztrajektorie ist, beachtet. Für einen vordefinierten
Performanz-Trichter (funnel) wird erreicht, dass .
Schließlich wird der Funnel-Regler auf die Klasse von MNA-Modellen von
passiven elektrischen Schaltkreisen mit asymptotisch stabilen invarianten
Nullstellen angewendet. Dies erfordert die Einschränkung der Menge der
zulässigen Referenztrajektorien auf solche die, in gewisser Weise, die
Kirchhoffschen Gesetze punktweise erfüllen.In this dissertation we study differential-algebraic equations (DAEs) of the form Ex'=Ax+f. One aim of the thesis is to derive the quasi-Kronecker form (QKF), which decomposes the DAE into four parts: the ODE part, nilpotent part, underdetermined part and overdetermined part. Each part describes a different solution behavior.
The QKF is exploited to study the different controllability and stabilizability concepts for DAEs with f=Bu, where u is the input of the system. Feedback decompositions, behavioral control and stabilization are investigated.
For DAE systems with output equation y=Cx, we may define the concept of zero dynamics, which are those dynamics that are not visible at the output. For right-invertible systems with autonomous zero dynamics a decomposition is derived, which decouples the zero dynamics of the system and allows for high-gain and funnel control. It is shown, that the funnel controller achieves tracking of a reference trajectory by the output signal with prescribed transient behavior.
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