Исследование актуальных проблем теории случайных процессов, математического анализа и краевых задач математической физики

Суть розробки полягає в: 1) узагальненні теорії функцій з правильною зміною та подальшому розвитку теорії псевдорегулярних функцій; 2) розвитку теорії функцій з невиродженими групами регулярних точок; 3) вивченні асимптотичної поведінки розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь; 4) вивченні асимптотичної поведінки оцінок функціональних параметрів випадкових процесів та систем Вольтерра; 5) дослідженні розподілів функціоналів випадкових процесів та полів, зокрема гауссівських; 6) побудові нових узагальнень гіпергеометричних функцій та дослідження їх властивостей; 7) побудові нових типи інтегральних перетворень та інтегральних рівнянь. Узагальнено відому теорему Карамати, про асимптотичну поведінку інтегралів від функцій з правильною зміною, на інтеграли від функцій з невиродженимим групами регулярних точок. Доведено теореми про дуальність асимптотичної поведінки частки функцій та частки узагальнених обернених функцій. Це дозволило встановити умови на коефіцієнти зсуву та дифузії стохастичних диференціальних рівнянь, за яких розв’язки цих рівнянь є асимптотично еквівалентними з розв’язками звичайних диференціальних рівнянь.The aim of the project is: 1) Generalization of the theory of regularly varying functions and further development of the theory of pseudo-regular functions; 2) Development of the theory of functions with non-degenerated groups of regular points; 3) Study of asymptotic behavior of solutions of stochastic differential equations; 4) Study of asymptotic behavior of functional parameter estimates for stochastic processes and Volterra systems; 5) Study of distributions of functionals of stochastic processes and fields, particularly of Gaussian ones; 6) Construction of new generalizations of hypergeometric functions and study of their properties; 7) Construction of new types of integral transforms and integral equations. The known Karamata theorem on asymptotic behavior of integrals of regular varying functions was generalized to the case of integrals of functions with non-degenerated groups of regular points. The theorems on duality of asymptotic behavior of ratios of functions and that of ratios of their generalized inverses were proved. This allowed establishing the conditions upon drift and diffusion coefficients in stochastic differential equations, under which their solutions are equivalent to the solutions of corresponding ordinary differential equations. Distributions of a wide class of functionals of Chentsov field were found. In particular, we found the exact formulas for the distributions of maxima along curvilinear paths together with corresponding asymtotics. Some new generalizations of the hypergeometric function were introduced, their main properties were studied. Moreover, we gave some their applications in the special functions theory, in the theory of integral transforms, integral calculus, to boundary problems of mathematical physics and so on. We also established some new composition relationships for fractional integro-differential operators. A stochastic approach for estimation of unknown impulse response functions in unstable Volterra systems with internal noises was considered. Using the theory of multidimensional singular integrals with cyclic kernels, we established new conditions of asymptotic normality of corresponding estimates and proved the convergence of functionals of these estimates.Суть разработки состоит в: 1) обобщении теории правильно меняющихся функций и дальнейшем развитии теории псевдорегулярных функций; 2) развитии теории функций с невырожденными группами регулярных точек; 3) изучении асимптотического поведения решений стохастических дифференциальных уравнений; 4) изучении асимптотического поведения оценок функциональных параметров случайных процессов и систем Вольтерра; 5) исследовании распределений функционалов случайных процессов и полей, в частности гауссовских; 6) построении новых обобщений гипергеометрических функций и исследовании их свойств; 7) построении новых типов интегральных преобразований и интегральных уравнений. Известная теорема Караматы об асимптотическом поведении интегралов от правильно меняющихся функций обобщена на интегралы от функций с невырожденными группами регулярных точек. Доказаны теоремы о дуальности асимптотического поведения частного функций и частного их обобщенных обратных функций. Это позволило установить условия на коэффициенты сноса и диффузии стохастических дифференциальных уравнений, при которых решения этих уравнений асимптотически эквивалентны решениям обыкновенных дифференциальных уравнений. Найдены распределения широкого класса функционалов от поля Ченцова. В частности, найдены точные выражения для распределения максимума поля вдоль криволинейных путей; также установлена асимптотика этих распределений. Введены новые обобщения гипергеометрической функции, исследованы их основные свойства, даны их приложения в теории специальных функций, теории интегральных преобразований, интегральном исчислении, а также к краевым задачам математической физики и др. Установлены новые композиционные соотношения для операторов дробного интегро-дифференцирования. Рассмотрен стохастический подход к задаче оценивания неизвестной импульсной функции для неустойчивых линейных систем Вольтерра с учетом внутренних шумов системы. При помощи теории многомерных сингулярных интегралов с циклическими ядрами установлены новые условия асимптотической нормальности соответствующих оценок, а также доказана сходимость функционалов от оценок

Extremal Graph Theory and Dimension Theory for Partial Orders

This dissertation analyses several problems in extremal combinatorics.In Part I, we study the following problem proposed by Barrus, Ferrara, Vandenbussche, and Wenger. Given a graph H and an integer t, what is the minimum number of coloured edges in a t-edge-coloured graph G on n vertices such that G does not contain a rainbow copy of H, but adding a new edge to G in any colour creates a rainbow copy of H? We determine the growth rates of these numbers for almost all graphs H and all t e(H).In Part II, we study dimension theory for finite partial orders. In Chapter 1, we introduce and define the concepts we use in the succeeding chapters.In Chapter 2, we determine the dimension of the divisibility order on [n] up to a factor of (log log n).In Chapter 3, we answer a question of Kim, Martin, Masak, Shull, Smith, Uzzell, and Wang on the local bipartite covering numbers of difference graphs.In Chapter 4, we prove some bounds on the local dimension of any pair of layers of the Boolean lattice. In particular, we show that the local dimension of the first and middle layers is asymptotically n / log n.In Chapter 5, we introduce a new poset parameter called local t-dimension. We also discuss the fractional variants of this and other dimension-like parameters.All of Part I is joint work with Antnio Giro of the University of Cambridge and Kamil Popielarz of the University of Memphis.Chapter 2 of Part II is joint work with Victor Souza of IMPA (Instituto de Matemtica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro).Chapter 3 of Part II is joint work with Antnio Giro

A Symbolical Approach to Negative Numbers

Recent Early Algebra research indicates that it is better to teach negative numbers symbolically, as uncompleted subtractions or “difference pairs”, an idea due to Hamilton, rather than abstractly as they are currently taught, since all the properties of negative numbers then follow from properties of the subtraction operation with which children are already familiar. Symbolical algebra peaked in the 19th Century, but was superseded by abstract algebra in the 20th Century, because Peacock’s permanence principle, which asserted that solutions obtained symbolically would actually be correct, remained unproven. The main aim of this paper is to provide this missing proof, in order to place difference pairs on a rigorous mathematical foundation, so that they may for the first time be the subject of modern classroom based research. The essential ingredient in this proof is a new physical model, called the banking model, a development of the hills and dales model used in schools in New Zealand, which besides improving upon current models in several respects, has the crucial advantage of being a true physical model, that is, the properties of negative numbers come from freely manipulating the model in the manner of a sandbox, not by following an abstract set of rules. Throughout this paper a close correspondence is drawn between negative numbers viewed as uncompleted subtractions and fractions viewed as uncompleted divisions, which suggests a practical notation for difference pairs as single numbers but whose digits are either positive or negative, the equivalent for integers of the decimal fraction notation for rationals. The banking model is the ideal tool for visualising such positive and negative digits, and examples are provided to show not only that this is a powerful notation for use at Secondary level, but also that it resolves some long-standing problems of the subtraction algorithm at Primary level

General regular variation, Popa groups and quantifier weakening

We introduce general regular variation, a theory of regular variation containing the existing Karamata, Bojanic-Karamata/de Haan and Beurling theories as special cases. The unifying theme is the Popa groups of our title viewed as locally compact abelian ordered topological groups, together with their Haar measure and Fourier theory. The power of this unified approach is shown by the simplification it brings to the whole area of quantifier weakening, so important in this field

Artin's primitive root conjecture -a survey -

This is an expanded version of a write-up of a talk given in the fall of 2000 in Oberwolfach. A large part of it is intended to be understandable by non-number theorists with a mathematical background. The talk covered some of the history, results and ideas connected with Artin's celebrated primitive root conjecture dating from 1927. In the update several new results established after 2000 are also discussed.Comment: 87 pages, 512 references, to appear in Integer