Потраекторное поведение класса управляемых пьезоэлектрических полей с немонотонным потенциалом

Досліджено автономне включення другого порядку в обмеженій області, що моделює поведінку класу керованих п’єзоелектричних полів з немонотонним потенціалом. Досліджувана система описує не лише керований п’єзоелектричний процес з багатозначним законом “реакції-зміщення”, а й широкий клас керованих процесів механіки суцільних середовищ. Умови на параметри задачі не гарантують єдиності розв’язку відповідної задачі Коші, зокрема, не припускається жодних умов щодо неперервності, монотонності нелінійного доданку за фазовою змінною. Вивчено динаміку слабких розв’язків досліджуваної задачі в сенсі теорії глобальних і траєкторних атракторів для багатозначних напівпотоків, породжених слабкими розв’язками цієї задачі. Застосовуючи відомі абстрактні результати щодо існування траєкторного атрактора в просторі траєкторій, було доведено, що для розв’язків розглянутої еволюційної задачі існує траєкторний атрактор у розширеному фазовому просторі, досліджено його структурні властивості, встановлено його зв’язок з глобальним атрактором та простором повних траєкторій поставленої задачі. Отримані результати застосовано до математичної моделі, що описує динаміку п’єзоелектричного процесу.The autonomous second order inclusion in a bounded domain, which is modeling the behavior of a class of the controlled piezoelectric fields with nonmonotonous potential, is studied. The investigated system describes not only controlled piezoelectric process with multivalued law “reaction-displacement”, but a wide class of controlled processes of Continuum Mechanics. Conditions on the parameters of the problem do not guarantee the uniqueness of solution of the corresponding Cauchy problem. In particular, any conditions on continuity, monotony of the nonlinear term by a phase variable are not assumed. We study the dynamics of weak solutions of the investigated problems in terms of the theory of trajectory and global attractors for multivalued semiflows generated by weak solutions of given problem. By using the well-known abstract results on the existence of trajectory attractor in the space of trajectories, we show the existence of trajectory attractor in the extended phase space for solutions of the considered evolution problem. Its structural properties are studied. Its relationship with the global attractor and space of complete trajectories is provided. Obtained results are applied to the mathematical model which describes the dynamics of the piezoelectric process.Исследовано автономное включение второго порядка в ограниченной области, моделирующее поведение класса управляемых пьезоэлектрических полей с немонотонным потенциалом. Исследуемая система описывает не только управляемый пьезоэлектрический процесс с многозначным законом “реакции-перемещения”, но и широкий класс управляемых процессов механики сплошных сред. Условия на параметры задачи не гарантируют единственности решения соответствующей задачи Коши, в частности, не предполагается никаких условий относительно непрерывности, монотонности нелинейного слагаемого по фазовой переменной. Изучена динамика слабых решений исследуемой задачи в смысле теории глобальных и траекторных аттракторов для многозначных полупотоков, порожденных слабыми решениями данной задачи. Применяя известные абстрактные результаты относительно существования траекторного аттрактора в пространстве траекторий, доказано, что для решений рассмотренной эволюционной задачи существует траекторный аттрактор в расширенном фазовом пространстве, исследованы его структурные свойства, установлена его связь с глобальным аттрактором и пространством полных траекторий поставленной задачи. Полученные результаты применены к математической модели, описывающей динамику пьезоэлектрического процесса

Автоматическое управление с обратной связью для одного класса контактных пьезоэлектрических задач

Досліджено динаміку розв’язків еволюційного включення другого порядку з розривною функцією взаємодії, яка може бути представлена у вигляді різниці субдиференціалів. Цей випадок є актуальним для задач автоматичного управління зі зворотнім зв’язком. Розглянуто математичну модель контактного п’єзоелектричного процесу між п’єзоелектричним тілом та опорою, і для неї досліджено довгострокову поведінку функції стану. Введено апріорні оцінки для слабких розв’язків даної задачі в фазовому просторі. Доведено теорему про існування глобального атрактора для багатозначного напівпотоку, породженого слабкими розв’язками задачі, та про структурні властивості граничних множин. Основні результати було застосовано до досліджуваної п’єзоелектричної задачі.In this paper we investigate the dynamics of solutions of the second order evolution inclusion with discontinuous interaction function which can be represented as the difference of subdifferentials. This case is actual for feedback automatic control problems. In particular, we consider mathematical model of contact piezoelectric process between a piezoelectric body and a foundation and for this problem investigate the long-term behavior of state function. We deduce a priory estimates for weak solutions of studied problem in the phase space. The theorem on the existence of a global attractor for multi-valued semiflow generated by weak solutions of the problem and the structural properties of the limit sets is proved. The main results of the paper were applied to the investigated piezoelectric problem.Исследована динамика решений эволюционного включения второго порядка с разрывной функцией взаимодействия, которая может быть представлена в виде разности субдифференциалов. Данный случай является актуальным для задач автоматического управления с обратной связью. Рассмотрена математическая модель контактного пьезоэлектрического процесса между пьезоэлектрическим телом и опорой, и для нее исследовано долгосрочное поведение функции состояния. Выведены априорные оценки для слабых решений рассматриваемой задачи в фазовом пространстве. Доказана теорема о существовании глобального аттрактора для многозначного полупотока, порожденного слабыми решениями задачи, и о структурных свойствах предельных множеств. Основные результаты были применены к исследуемой пьезоэлектрической задаче

Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity properties

A method is proposed to deal with some multivalued semiflows with weak continuity properties. An application to the reaction-diffusion problems with nonmonotone multivalued semilinear boundary condition and nonmonotone multivalued semilinear source term is presented.Comment: to appear in Nonlinear Analysis Series A, Theory, Methods & Application

Дифференциальные игры преследования с функционалом качества и их применение в задачах динамического распределения ресурсов

Розв’язано нові класи диференціальних ігор переслідування-ухилення з фазовими обмеженнями, термінальними множиною та функціоналом, фіксованим часом закінчення гри на декартовому добутку множини замкнутих підмножин евклідового простору та множини неперервних функцій. За допомогою нових диференціально-операторних конструкцій винайдено загальний підхід до побудови оптимальних стратегій кожного із гравців. Одержано нові властивості Н-опуклих та матрично-опуклих множин, матрично-опуклих та квазіопуклих функціоналів, розроблено нові методи побудови оптимальних контрстратегій переслідувача для загальних класів лінійних диференціальних ігор. Побудовано напівгрупи операторів (які, в загальному випадку, залежать від пари множини та функції) для диференціальних ігор з можливими виходами траєкторій динамічної системи на термінальну множину в необмежений заздалегідь момент часу. Для опису структури диференціальних ігор та для побудови оптимальних стратегій гравців створено та впроваджено новий математичний операторний апарат матрично опуклих множин і квазіопуклих функцій. На основі розробленої теорії напівгруп операторів винайдено новий підхід до побудови стратегій Б.М. Пшеничного для таких задач. Розроблено нові ефективні методи розв‘язання задач наближення-ухилення спеціального вигляду з нефіксованими часом закінчення гри. Обґрунтовано нові алгоритми пошуку оптимальних контрстратегій. Розроблено нові математичні моделі та методи більш ефективного динамічного розподілу ресурсів із застосуванням теорії диференціальних ігор з термінальними множиною та функціоналом. Розв’язано актуальні задачі керування потоками в мережах за неповної інформації. Вперше розв’язана оптимізаційна задача руху потоків, які задовольняють узагальненим законам Кірхгофа. Результати застосовано до класів задач конструктивного розподілу гідроресурсів у зрошувальних системах мережевої структури. Окремо розглянуто випадки постачання суміші (води з різних джерел, газу з різних родовищ) різної якості. Побудовано нові математичні моделі, методи та алгоритми розв’язання задач доставки суміші речовини вздовж мережі у певних пропорціях або з заданими кількісними обмеженнями. Одержані узагальнення вперше дозволили розв’язати задачі розрахунку різнотипових глобальних розподільчих мереж та трубопроводів.The new classes of differential games pursuit-evasion with the phase constraints, the terminal set and functionality, the fixed time of the game end on the Cartesian product of the set of closed subsets of the Euclidean space and set of continuous functions are solved. With the help of new differential-operator constructions, a general approach to the construction of optimal strategies of each of the players is invented. The new properties of H-convex and matrix-convex sets, matrix-convex and quasi-convex functionals are obtained, the new methods of constructing the optimal counterstrategies of pursuer for the general classes of linear differential games are developed. Semigroups of operators (which, in general, dependent on a pair of sets and functions) are built for differential games with the possible outputs of the trajectories of a dynamic system to the terminal set at unlimited time in advance. To describe the structure of differential games and for constructing the optimal strategies of the players a new mathematical operator apparatus of matrix-convex sets and quasi-convex functions was created and implemented. On the basis of the developed theory of semigroups of operators a new approach to building strategies of B.M. Pshenichniy for such problems is invented. The new effective methods for solving the problem approximation-evasion of a special type with non-fixed time of ending the game are developed. The new algorithms for finding the optimal counterstrategies are validated. The new mathematical models and methods of more effective dynamic resource distribution using the theory of differential games with a terminal set and functionality are developed. The urgent problems of flows control in networks with incomplete information are solved. For the first time the optimization problem of flows traffic is solved, and its solution satisfies the generalized Kirchhoff's laws. The results are applied to the classes of problems of a constructive distribution of hydro resources in irrigation systems of the network structure. The cases of the mixture support (water, gas deposits from various sources) with different quality are considered separately. The new mathematical models, methods and algorithms of solving tasks of delivery of the mixture of substance along the network in certain proportions or with specified quantitative limitations are created. The obtained generalizations for the first time allowed to solve the problem of calculating the diverse global distribution networks and pipelines.Решены новые классы дифференциальных игр преследования-уклонения с фазовыми ограничениями, терминальными множеством и функционалом, фиксированным временем окончания игры на декартовом произведении множества замкнутых подмножеств евклидова пространства и множества непрерывных функций. С помощью новых дифференциально-операторных конструкций найден общий подход к построению оптимальных стратегий каждого из игроков. Получены новые свойства Н- выпуклых и матрично-выпуклых множеств, матрично-выпуклых и квазивыпуклых функционалов, разработаны новые методы построения оптимальных контрстратегий преследователя для общих классов линейных дифференциальных игр. Построены полугруппы операторов (которые, в общем случае, зависят от пары множества и функции) для дифференциальных игр с возможными выходами траекторий динамической системы на терминальное множество в неограниченный заранее момент времени. Для описания структуры дифференциальных игр и для построения оптимальных стратегий игроков создан и внедрен новый математический операторный аппарат матрично выпуклых множеств и квазивыпуклых функций. На основе разработанной теории полугрупп операторов предложен новый подход к построению стратегий Б.М. Пшеничного для таких задач. Разработаны новые методы решения задач приближения-уклонения специального вида с нефиксированным временем окончания игры. Обоснованы новые алгоритмы поиска оптимальных контрстратегий. Разработаны новые математические модели и методы более эффективного динамического распределения ресурсов с применением теории дифференциальных игр с терминальными множеством и функционалом. Решены актуальные задачи управления потоками в сетях с неполной информацией. Впервые решена оптимизационная задача движения потоков, которые удовлетворяют обобщенным законам Кирхгофа. Результаты применены к классам задач конструктивного распределения гидроресурсов в оросительных системах сетевой структуры. Отдельно рассмотрены случаи поставки смеси (воды из разных источников, газа из разных месторождений) разного качества. Построены новые математические модели, методы и алгоритмы решения задач доставки смеси вещества вдоль сети в определенных пропорциях или с заданными количественными ограничениями. Полученные обобщения впервые позволили решить задачи расчета разнотипных глобальных распределительных сетей и трубопроводов

Automatic feedback control for one class of contact piezoelectric problems

In this paper we investigate the dynamics of solutions of the second order evolution inclusion with discontinuous interaction function which can be represented as the difference of subdifferentials. This case is actual for feedback automatic control problems. In particular, we concider mathematical model of contact piezoelectric process between a piezoelectric body and a foundation and for this problem investigate the long-term behavior of state function. We deduce a priory estimates for weak solutions of studied problem in the phase spase. The theorem on the existence of a global attractor for multi-valued semiflow generated by weak solutions of the problem and the structural properties of the limit sets is prooved. The main results of the paper were applied to the investigated piezoelectric problem.Досліджено динаміку розв’язків еволюційного включення другого порядку з розривною функцією взаємодії, яка може бути представлена у вигляді різниці субдиференціалів. Цей випадок є актуальним для задач автоматичного управління зі зворотнім зв’язком. Розглянуто математичну модель контактного п’єзоелектричного процесу між п’єзоелектричним тілом та опорою, і для неї досліджено довгострокову поведінку функції стану. Введено апріорні оцінки для слабких розв’язків даної задачі в фазовому просторі. Доведено теорему про існування глобального атрактора для багатозначного напівпотоку, породженого слабкими розв’язками задачі, та про структурні властивості граничних множин. Основні результати було застосовано до досліджуваної п’єзоелектричної задачі.Исследована динамика решений эволюционного включения второго порядка с разрывной функцией взаимодействия, которая может быть представлена в виде разности субдифференциалов. Данный случай является актуальным для задач автоматического управления с обратной связью. Рассмотрена математическая модель контактного пьезоэлектрического процесса между пьезоэлектрическим телом и опорой, и для нее исследовано долгосрочное поведение функции состояния. Выведены априорные оценки для слабых решений рассматриваемой задачи в фазовом пространстве. Доказана теорема о существовании глобального аттрактора для многозначного полупотока, порожденного слабыми решениями задачи, и о структурных свойствах предельных множеств. Основные результаты были применены к исследуемой пьезоэлектрической задаче

Притягувальні множини для одного класу асимптотично компактних систем з імпульсним збуренням

The authors consider the pulsed dynamical systems generated by evolutionary processes. The trajectories of these processes undergo the pulsed perturbation when the energy functional reaches some fixed limit value. The generalization of the classical theory of global attractors of infinite dimensional dynamical systems in case of systems with impulse actions is carried out. It is established that for the dissipative pulsed dynamical system generated by the asymptotically compact semigroup, there exists a uniform attractor, i.e., a compact uniformly attracting set, minimal among all such sets in the phase space of the system. The result is applied to the weakly nonlinear wave equation with dissipation, the trajectories of which are subjected to impulsive perturbations upon attainment of a certain fixed subset in the phase space, so called the impulse set

Багатозначний аналіз еволюційних систем хвильового типу з нерегулярними обмеженнями

Дисертаційна робота присвячена дослідженню асимптотичної поведінки розв’язків класу дисипативних динамiчних систем хвильового типу з нерегулярними обмеженнями. В обмеженій області дослiджено якiсну поведiнку слабких розв’язкiв еволюцiйної системи хвильового типу з розривною нелiнiйнiстю в скалярному випадку та поширено отриманi результати на бiльш загальне диференціально-операторне включення. Дослiджено асимптотичну поведiнку розв’язкiв стохастично збуреної дисипативної динамiчної системи. Побудувано алгоритм розв’язання задач дослiдження глобальної поведiнки функцiй стану для еволюцiйних задач з нерегулярними обмеженнями, який може застосовуватись до класiв математичних моделей, що описують поведiнку процесiв та полiв рiзної природи. Отримані результати застосовано до дослiдження п’єзоелектричної системи. Це дозволило забезпечити стiйке функцiонування дослiджуваного об’єкту. Отриманi теоретичнi результати можуть бути використанi в процесах керування для зменшення або компенсацiї небажаних ефектiв, для обґрунтування чисельних алгоритмiв пошуку слабких розв’язкiв, при виведеннi дослiджуваних систем на заданi стацiонарнi рiвнi