Coexistence of stable limit cycles in a generalized Curie-Weiss model with dissipation

In this paper, we modify the Langevin dynamics associated to the generalized Curie-Weiss model by introducing noisy and dissipative evolution in the interaction potential. We show that, when a zero-mean Gaussian is taken as single-site distribution, the dynamics in the thermodynamic limit can be described by a finite set of ODEs. Depending on the form of the interaction function, the system can have several phase transitions at different critical temperatures. Because of the dissipation effect, not only the magnetization of the systems displays a self-sustained periodic behavior at sufficiently low temperature, but, in certain regimes, any (finite) number of stable limit cycles can exist. We explore some of these peculiarities with explicit examples

Slow divergence integrals in generalized Liénard equations near centers

Using techniques from singular perturbations we show that for any $n\ge 6$ and $m\ge 2$ there are Liénard equations $\{\dot{x}=y-F(x),\ \dot{y}=G(x)\}$, with $F$ a polynomial of degree $n$ and $G$ a polynomial of degree $m$, having at least $2[\frac{n-2}{2}]+[\frac{m}{2}]$ hyperbolic limit cycles, where $[\cdot]$ denotes "the greatest integer equal or below"

Solutions of two-point boundary value problems via phase-plane analysis

We consider period annuli (continua of periodic solutions) in equations of the type $x''+g(x)=0$ and $x''+f(x) x'^2 + g(x)= 0,$ where $g$ and $f$ are polynomials. The conditions are provided for existence of multiple nontrivial (encircling more than one critical point) period annuli. The conditions are obtained (by phase-plane analysis of period annuli) for existence of families of solutions to the Neumann boundary value problems

Qualitative Analysis of Solutions to the Semiclassical Einstein Equation in homogeneous and isotropic Spacetimes

In der vorliegenden Arbeit werden Methoden aus der Theorie der dynamischen Systeme verwendet, um das qualitative Verhalten von Lösungen der semiklassischen Einsteingleichung für Friedmann-Lamaître-Robertson-Walker Raumzeiten zu untersuchen. Es werden ausschließlich masselose und konform gekoppelte Quantenfelder betrachtet. Bei der Renormierung des Energie-Impuls-Tensors solcher Quantenfelder treten Ambiguitäten auf, die sich als freie Parameter in der semiklassischen Einsteingleichung manifestieren. Mit Hilfe der Theorie der dynamischen Systeme ist es möglich, Lösungen nach ihren qualitativen Verhalten zu klassifizieren und dadurch Argumente für oder gegen bestimmte Werte der Renormierungskonstanten herauszuarbeiten. Befindet sich das Quantenfeld im konformen Vakuumzustand, erhält man ein zweidimensionales dynamisches System. Für dieses dynamische System werden die strukturell stabilen Fälle und Bifurkationsdiagramme herausgearbeitet, sowie das globale Stabilitätsverhalten der Minkowski und De-Sitter Gleichgewichtspunkte. Mittels dieser Analyse wird das qualitative Verhalten der semiklassischenLösungen mit dem qualitativen Verhalten der Lösungen des Lambda-CDM Modells der Kosmologie verglichen. Es zeigt sich, dass das semiklassische Modell in der Lage ist das qualitative Verhalten von Lösungen des klassischen Lambda-CDM Modells wiederzugeben. Weiterhin wird gezeigt, das im Vakuumfall Lösungen existieren, welche sich, im Gegensatz zu Lösungen des klassischen Lambda-CDM Modells, im Allgemeinen nicht eindeutig durch ihre Anfangsdaten bestimmen lassen. Um dieses atypische Verhalten aufzulösen müssen die Trajektorien dieser Lösungen in einem dreidimensionalen Phasenraum betrachtet werden.Das entsprechende dreidimensionale dynamische System beschreibt das dynamische Verhalten der Lösungen für beliebige Quantenzustände. Für allgemeine Quantenzustände wird die lokale (Lyapunov-) Stabilität der Gleichgewichtspunkte untersucht und für eine spezielle Wahl der Renormierungskonstanten und des Quantenzustandes neue Lösungen gefunden und mit Lösungen des klassischen Lambda-CDM Modells verglichen. Auch hier besteht eine qualitative Äquivalenz

Three crossing limit cycles in planar piecewise linear systems with saddle-focus type

This paper presents an analysis on the appearance of limit cycles in planar Filippov system with two linear subsystems separated by a straight line. Under the restriction that the orbits with points in the sliding and escaping regions are not considered, we provide firstly a topologically equivalent canonical form of saddle-focus dynamic with five parameters by using some convenient transformations of variables and parameters. Then, based on a very available fourth-order series expansion of the return map near an invisible parabolic type tangency point, we show that three crossing limit cycles surrounding the sliding set can be bifurcated from generic codimension-three singularities of planar discontinuous saddle-focus system. Our work improves and extends some existing results of other researchers

Bifurcation of limit cycles in piecewise quadratic differential systems with an invariant straight line

Acord transformatiu CRUE-CSICWe solve the center-focus problem in a class of piecewise quadratic polynomial differential systems with an invariant straight line. The separation curve is also a straight line which is not invariant. We provide families having at the origin a weak-foci of maximal order. In the continuous class, the cyclicity problem is also solved, being 3 such maximal number. Moreover, for the discontinuous class but without sliding segment, we prove the existence of 7 limit cycles of small amplitude

Effects of Environmental Heterogeneity in a Host-Parasite Coevolutionary Chase

Species-species interactions are ubiquitous and it is thought that selection is very strong in many of these interactions, resulting in reciprocal evolution by natural selection. In antagonistic coevolution, one species benefits at the cost of another, resulting in a system where selection favors the strengthening of the interaction in one species, and acts to reduce the interaction in the other species. Previous theoretical work in homogeneous systems has identified a wide range of possible behaviors (including limit cycles, heteroclinic cycles, and equilibria) as well as explored how parameters effect local adaptation in species. Here we explore how heterogeneous systems and spatial structure affect the dynamics behavior and local adaptation