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Estimating multivariate latent-structure models
© Institute of Mathematical Statistics, 2016. A constructive proof of identification of multilinear decompositions of multiway arrays is presented. It can be applied to show identification in a variety of multivariate latent structures. Examples are finite-mixture models and hidden Markov models. The key step to show identification is the joint diagonalization of a set of matrices in the same nonorthogonal basis. An estimator of the latent-structure model may then be based on a sample version of this joint-diagonalization problem. Algorithms are available for computation and we derive distribution theory. We further develop asymptotic theory for orthogonal-series estimators of component densities in mixture models and emission densities in hidden Markov models.Supported by European Research Council Grant ERC-2010-StG-0263107-ENMUH.
Supported by Sciences Po’s SAB grant “Nonparametric estimation of finite mixtures.”
Supported by European Research Council Grant ERC-2010-AdG-269693-WASP and by Economic and Social Research Council Grant RES-589-28-0001 through the Centre for Microdata Methods and Practice
Spectral methods for multimodal data analysis
Spectral methods have proven themselves as an important and versatile tool in a wide range of problems in the fields of computer graphics, machine learning, pattern recognition, and computer vision, where many important problems boil down to constructing a Laplacian operator and finding a few of its eigenvalues and eigenfunctions. Classical examples include the computation of diffusion distances on manifolds in computer graphics, Laplacian eigenmaps, and spectral clustering in machine learning. In many cases, one has to deal with multiple data spaces simultaneously. For example, clustering multimedia data in machine learning applications involves various modalities or ``views'' (e.g., text and images), and finding correspondence between shapes in computer graphics problems is an operation performed between two or more modalities. In this thesis, we develop a generalization of spectral methods to deal with multiple data spaces and apply them to problems from the domains of computer graphics, machine learning, and image processing. Our main construction is based on simultaneous diagonalization of Laplacian operators. We present an efficient numerical technique for computing joint approximate eigenvectors of two or more Laplacians in challenging noisy scenarios, which also appears to be the first general non-smooth manifold optimization method. Finally, we use the relation between joint approximate diagonalizability and approximate commutativity of operators to define a structural similarity measure for images. We use this measure to perform structure-preserving color manipulations of a given image
Nonparametric estimation of non-exchangeable latent-variable models
We propose a two-step method to nonparametrically estimate multivariate models in which the observed outcomes are independent conditional on a discrete latent variable. Applications include microeconometric models with unobserved types of agents, regime-switching models, and models with misclassification error. In the first step, we estimate weights that transform moments of the marginal distribution of the data into moments of the conditional distribution of the data for given values of the latent variable. In the second step, these conditional moments are estimated as weighted sample averages. We illustrate the method by estimating a model of wages with unobserved heterogeneity on PSID data
Nonparametric estimation of non-exchangeable latent-variable models
We propose a two-step method to nonparametrically estimate multivariate models in which the observed outcomes are independent conditional on a discrete latent variable. Applications include microeconometric models with unobserved types of agents, regime-switching models, and models with misclassification error. In the first step, we estimate weights that transform moments of the marginal distribution of the data into moments of the conditional distribution of the data for given values of the latent variable. In the second step, these conditional moments are estimated as weighted sample averages. We illustrate the method by estimating a model of wages with unobserved heterogeneity on PSID data
Algorithmes pour la diagonalisation conjointe de tenseurs sans contrainte unitaire. Application à la séparation MIMO de sources de télécommunications numériques
This thesis develops joint diagonalization of matrices and third-order tensors methods for MIMO source separation in the field of digital telecommunications. After a state of the art, the motivations and the objectives are presented. Then the joint diagonalisation and the blind source separation issues are defined and a link between both fields is established. Thereafter, five Jacobi-like iterative algorithms based on an LU parameterization are developed. For each of them, we propose to derive the diagonalization matrix by optimizing an inverse criterion. Two ways are investigated : minimizing the criterion in a direct way or assuming that the elements from the considered set are almost diagonal. Regarding the parameters derivation, two strategies are implemented : one consists in estimating each parameter independently, the other consists in the independent derivation of couple of well-chosen parameters. Hence, we propose three algorithms for the joint diagonalization of symmetric complex matrices or hermitian ones. The first one relies on searching for the roots of the criterion derivative, the second one relies on a minor eigenvector research and the last one relies on a gradient descent method enhanced by computation of the optimal adaptation step. In the framework of joint diagonalization of symmetric, INDSCAL or non symmetric third-order tensors, we have developed two algorithms. For each of them, the parameters derivation is done by computing the roots of the considered criterion derivative. We also show the link between the joint diagonalization of a third-order tensor set and the canonical polyadic decomposition of a fourth-order tensor. We confront both methods through numerical simulations. The good behavior of the proposed algorithms is illustrated by means of computing simulations. Finally, they are applied to the source separation of digital telecommunication signals.Cette thèse développe des méthodes de diagonalisation conjointe de matrices et de tenseurs d’ordre trois, et son application à la séparation MIMO de sources de télécommunications numériques. Après un état, les motivations et objectifs de la thèse sont présentés. Les problèmes de la diagonalisation conjointe et de la séparation de sources sont définis et un lien entre ces deux domaines est établi. Par la suite, plusieurs algorithmes itératifs de type Jacobi reposant sur une paramétrisation LU sont développés. Pour chacun des algorithmes, on propose de déterminer les matrices permettant de diagonaliser l’ensemble considéré par l’optimisation d’un critère inverse. On envisage la minimisation du critère selon deux approches : la première, de manière directe, et la seconde, en supposant que les éléments de l’ensemble considéré sont quasiment diagonaux. En ce qui concerne l’estimation des différents paramètres du problème, deux stratégies sont mises en œuvre : l’une consistant à estimer tous les paramètres indépendamment et l’autre reposant sur l’estimation indépendante de couples de paramètres spécifiquement choisis. Ainsi, nous proposons trois algorithmes pour la diagonalisation conjointe de matrices complexes symétriques ou hermitiennes et deux algorithmes pour la diagonalisation conjointe d’ensembles de tenseurs symétriques ou non-symétriques ou admettant une décomposition INDSCAL. Nous montrons aussi le lien existant entre la diagonalisation conjointe de tenseurs d’ordre trois et la décomposition canonique polyadique d’un tenseur d’ordre quatre, puis nous comparons les algorithmes développés à différentes méthodes de la littérature. Le bon comportement des algorithmes proposés est illustré au moyen de simulations numériques. Puis, ils sont validés dans le cadre de la séparation de sources de télécommunications numériques
Advanced tensor based signal processing techniques for wireless communication systems and biomedical signal processing
Many observed signals in signal processing applications including wireless communications, biomedical signal processing, image processing, and machine learning are multi-dimensional. Tensors preserve the multi-dimensional structure and provide a natural representation of these signals/data. Moreover, tensors provide often an improved identifiability. Therefore, we benefit from using tensor algebra in the above mentioned applications and many more. In this thesis, we present the benefits of utilizing tensor algebra in two signal processing areas. These include signal processing for MIMO (Multiple-Input Multiple-Output) wireless communication systems and biomedical signal processing. Moreover, we contribute to the theoretical aspects of tensor algebra by deriving new properties and ways of computing tensor decompositions. Often, we only have an element-wise or a slice-wise description of the signal model. This representation of the signal model does not reveal the explicit tensor structure. Therefore, the derivation of all tensor unfoldings is not always obvious. Consequently, exploiting the multi-dimensional structure of these models is not always straightforward. We propose an alternative representation of the element-wise multiplication or the slice-wise multiplication based on the generalized tensor contraction operator. Later in this thesis, we exploit this novel representation and the properties of the contraction operator such that we derive the final tensor models. There exist a number of different tensor decompositions that describe different signal models such as the HOSVD (Higher Order Singular Value Decomposition), the CP/PARAFAC (Canonical Polyadic / PARallel FACtors) decomposition, the BTD (Block Term Decomposition), the PARATUCK2 (PARAfac and TUCker2) decomposition, and the PARAFAC2 (PARAllel FACtors2) decomposition. Among these decompositions, the CP decomposition is most widely spread and used. Therefore, the development of algorithms for the efficient computation of the CP decomposition is important for many applications. The SECSI (Semi-Algebraic framework for approximate CP decomposition via SImultaneaous matrix diagonalization) framework is an efficient and robust tool for the calculation of the approximate low-rank CP decomposition via simultaneous matrix diagonalizations. In this thesis, we present five extensions of the SECSI framework that reduce the computational complexity of the original framework and/or introduce constraints to the factor matrices. Moreover, the PARAFAC2 decomposition and the PARATUCK2 decomposition are usually described using a slice-wise notation that can be expressed in terms of the generalized tensor contraction as proposed in this thesis. We exploit this novel representation to derive explicit tensor models for the PARAFAC2 decomposition and the PARATUCK2 decomposition. Furthermore, we use the PARAFAC2 model to derive an ALS (Alternating Least-Squares) algorithm for the computation of the PARAFAC2 decomposition. Moreover, we exploit the novel contraction properties for element wise and slice-wise multiplications to model MIMO multi-carrier wireless communication systems. We show that this very general model can be used to derive the tensor model of the received signal for MIMO-OFDM (Multiple-Input Multiple-Output - Orthogonal Frequency Division Multiplexing), Khatri-Rao coded MIMO-OFDM, and randomly coded MIMO-OFDM systems. We propose the transmission techniques Khatri-Rao coding and random coding in order to impose an additional tensor structure of the transmit signal tensor that otherwise does not have a particular structure. Moreover, we show that this model can be extended to other multi-carrier techniques such as GFDM (Generalized Frequency Division Multiplexing). Utilizing these models at the receiver side, we design several types for receivers for these systems that outperform the traditional matrix based solutions in terms of the symbol error rate. In the last part of this thesis, we show the benefits of using tensor algebra in biomedical signal processing by jointly decomposing EEG (ElectroEncephaloGraphy) and MEG (MagnetoEncephaloGraphy) signals. EEG and MEG signals are usually acquired simultaneously, and they capture aspects of the same brain activity. Therefore, EEG and MEG signals can be decomposed using coupled tensor decompositions such as the coupled CP decomposition. We exploit the proposed coupled SECSI framework (one of the proposed extensions of the SECSI framework) for the computation of the coupled CP decomposition to first validate and analyze the photic driving effect. Moreover, we validate the effects of scull defects on the measurement EEG and MEG signals by means of a joint EEG-MEG decomposition using the coupled SECSI framework. Both applications show that we benefit from coupled tensor decompositions and the coupled SECSI framework is a very practical tool for the analysis of biomedical data.Zahlreiche messbare Signale in verschiedenen Bereichen der digitalen Signalverarbeitung, z.B. in der drahtlosen Kommunikation, im Mobilfunk, biomedizinischen Anwendungen, der Bild- oder akustischen Signalverarbeitung und dem maschinellen Lernen sind mehrdimensional. Tensoren erhalten die mehrdimensionale Struktur und stellen eine natürliche Darstellung dieser Signale/Daten dar. Darüber hinaus bieten Tensoren oft eine verbesserte Trennbarkeit von enthaltenen Signalkomponenten. Daher profitieren wir von der Verwendung der Tensor-Algebra in den oben genannten Anwendungen und vielen mehr. In dieser Arbeit stellen wir die Vorteile der Nutzung der Tensor-Algebra in zwei Bereichen der Signalverarbeitung vor: drahtlose MIMO (Multiple-Input Multiple-Output) Kommunikationssysteme und biomedizinische Signalverarbeitung. Darüber hinaus tragen wir zu theoretischen Aspekten der Tensor-Algebra bei, indem wir neue Eigenschaften und Berechnungsmethoden für die Tensor-Zerlegung ableiten. Oftmals verfügen wir lediglich über eine elementweise oder ebenenweise Beschreibung des Signalmodells, welche nicht die explizite Tensorstruktur zeigt. Daher ist die Ableitung aller Tensor-Unfoldings nicht offensichtlich, wodurch die multidimensionale Struktur dieser Modelle nicht trivial nutzbar ist. Wir schlagen eine alternative Darstellung der elementweisen Multiplikation oder der ebenenweisen Multiplikation auf der Grundlage des generalisierten Tensor-Kontraktionsoperators vor. Weiterhin nutzen wir diese neuartige Darstellung und deren Eigenschaften zur Ableitung der letztendlichen Tensor-Modelle. Es existieren eine Vielzahl von Tensor-Zerlegungen, die verschiedene Signalmodelle beschreiben, wie die HOSVD (Higher Order Singular Value Decomposition), CP/PARAFAC (Canonical Polyadic/ PARallel FACtors) Zerlegung, die BTD (Block Term Decomposition), die PARATUCK2-(PARAfac und TUCker2) und die PARAFAC2-Zerlegung (PARAllel FACtors2). Dabei ist die CP-Zerlegung am weitesten verbreitet und wird findet in zahlreichen Gebieten Anwendung. Daher ist die Entwicklung von Algorithmen zur effizienten Berechnung der CP-Zerlegung von besonderer Bedeutung. Das SECSI (Semi-Algebraic Framework for approximate CP decomposition via Simultaneaous matrix diagonalization) Framework ist ein effizientes und robustes Werkzeug zur Berechnung der approximierten Low-Rank CP-Zerlegung durch simultane Matrixdiagonalisierung. In dieser Arbeit stellen wir fünf Erweiterungen des SECSI-Frameworks vor, welche die Rechenkomplexität des ursprünglichen Frameworks reduzieren bzw. Einschränkungen für die Faktormatrizen einführen. Darüber hinaus werden die PARAFAC2- und die PARATUCK2-Zerlegung in der Regel mit einer ebenenweisen Notation beschrieben, die sich in Form der allgemeinen Tensor-Kontraktion, wie sie in dieser Arbeit vorgeschlagen wird, ausdrücken lässt. Wir nutzen diese neuartige Darstellung, um explizite Tensormodelle für diese beiden Zerlegungen abzuleiten. Darüber hinaus verwenden wir das PARAFAC2-Modell, um einen ALS-Algorithmus (Alternating Least-Squares) für die Berechnung der PARAFAC2-Zerlegungen abzuleiten. Weiterhin nutzen wir die neuartigen Kontraktionseigenschaften für elementweise und ebenenweise Multiplikationen, um MIMO Multi-Carrier-Mobilfunksysteme zu modellieren. Wir zeigen, dass dieses sehr allgemeine Modell verwendet werden kann, um das Tensor-Modell des empfangenen Signals für MIMO-OFDM- (Multiple- Input Multiple-Output - Orthogonal Frequency Division Multiplexing), Khatri-Rao codierte MIMO-OFDM- und zufällig codierte MIMO-OFDM-Systeme abzuleiten. Wir schlagen die Übertragungstechniken der Khatri-Rao-Kodierung und zufällige Kodierung vor, um eine zusätzliche Tensor-Struktur des Sendesignal-Tensors einzuführen, welcher gewöhnlich keine bestimmte Struktur aufweist. Darüber hinaus zeigen wir, dass dieses Modell auf andere Multi-Carrier-Techniken wie GFDM (Generalized Frequency Division Multiplexing) erweitert werden kann. Unter Verwendung dieser Modelle auf der Empfängerseite entwerfen wir verschiedene Typen von Empfängern für diese Systeme, die die traditionellen matrixbasierten Lösungen in Bezug auf die Symbolfehlerrate übertreffen. Im letzten Teil dieser Arbeit zeigen wir die Vorteile der Verwendung von Tensor-Algebra in der biomedizinischen Signalverarbeitung durch die gemeinsame Zerlegung von EEG-(ElectroEncephaloGraphy) und MEG- (MagnetoEncephaloGraphy) Signalen. Diese werden in der Regel gleichzeitig erfasst, wobei sie gemeinsame Aspekte derselben Gehirnaktivität beschreiben. Daher können EEG- und MEG-Signale mit gekoppelten Tensor-Zerlegungen wie der gekoppelten CP Zerlegung analysiert werden. Wir nutzen das vorgeschlagene gekoppelte SECSI-Framework (eine der vorgeschlagenen Erweiterungen des SECSI-Frameworks) für die Berechnung der gekoppelten CP Zerlegung, um zunächst den photic driving effect zu validieren und zu analysieren. Darüber hinaus validieren wir die Auswirkungen von Schädeldefekten auf die Messsignale von EEG und MEG durch eine gemeinsame EEG-MEG-Zerlegung mit dem gekoppelten SECSI-Framework. Beide Anwendungen zeigen, dass wir von gekoppelten Tensor-Zerlegungen profitieren, wobei die Methoden des gekoppelten SECSI-Frameworks erfolgreich zur Analyse biomedizinischer Daten genutzt werden können
Advanced Algebraic Concepts for Efficient Multi-Channel Signal Processing
Unsere moderne Gesellschaft ist Zeuge eines fundamentalen Wandels in der Art und Weise
wie wir mit Technologie interagieren. Geräte werden zunehmend intelligenter - sie verfügen
über mehr und mehr Rechenleistung und häufiger über eigene Kommunikationsschnittstellen.
Das beginnt bei einfachen Haushaltsgeräten und reicht über Transportmittel bis zu großen
ĂĽberregionalen Systemen wie etwa dem Stromnetz. Die Erfassung, die Verarbeitung und der
Austausch digitaler Informationen gewinnt daher immer mehr an Bedeutung. Die Tatsache,
dass ein wachsender Anteil der Geräte heutzutage mobil und deshalb batteriebetrieben ist,
begrĂĽndet den Anspruch, digitale Signalverarbeitungsalgorithmen besonders effizient zu gestalten.
Dies kommt auch dem Wunsch nach einer Echtzeitverarbeitung der groĂźen anfallenden
Datenmengen zugute.
Die vorliegende Arbeit demonstriert Methoden zum Finden effizienter algebraischer Lösungen
für eine Vielzahl von Anwendungen mehrkanaliger digitaler Signalverarbeitung. Solche Ansätze
liefern nicht immer unbedingt die bestmögliche Lösung, kommen dieser jedoch häufig recht
nahe und sind gleichzeitig bedeutend einfacher zu beschreiben und umzusetzen. Die einfache
Beschreibungsform ermöglicht eine tiefgehende Analyse ihrer Leistungsfähigkeit, was für den
Entwurf eines robusten und zuverlässigen Systems unabdingbar ist. Die Tatsache, dass sie nur
gebräuchliche algebraische Hilfsmittel benötigen, erlaubt ihre direkte und zügige Umsetzung
und den Test unter realen Bedingungen.
Diese Grundidee wird anhand von drei verschiedenen Anwendungsgebieten demonstriert.
Zunächst wird ein semi-algebraisches Framework zur Berechnung der kanonisch polyadischen
(CP) Zerlegung mehrdimensionaler Signale vorgestellt. Dabei handelt es sich um ein sehr
grundlegendes Werkzeug der multilinearen Algebra mit einem breiten Anwendungsspektrum
von Mobilkommunikation ĂĽber Chemie bis zur Bildverarbeitung. Verglichen mit existierenden
iterativen Lösungsverfahren bietet das neue Framework die Möglichkeit, den Rechenaufwand
und damit die Güte der erzielten Lösung zu steuern. Es ist außerdem weniger anfällig gegen eine
schlechte Konditionierung der Ausgangsdaten. Das zweite Gebiet, das in der Arbeit besprochen
wird, ist die unterraumbasierte hochauflösende Parameterschätzung für mehrdimensionale Signale,
mit Anwendungsgebieten im RADAR, der Modellierung von Wellenausbreitung, oder
bildgebenden Verfahren in der Medizin. Es wird gezeigt, dass sich derartige mehrdimensionale
Signale mit Tensoren darstellen lassen. Dies erlaubt eine natĂĽrlichere Beschreibung und eine
bessere Ausnutzung ihrer Struktur als das mit Matrizen möglich ist. Basierend auf dieser Idee
entwickeln wir eine tensor-basierte Schätzung des Signalraums, welche genutzt werden kann
um beliebige existierende Matrix-basierte Verfahren zu verbessern. Dies wird im Anschluss
exemplarisch am Beispiel der ESPRIT-artigen Verfahren gezeigt, fĂĽr die verbesserte Versionen
vorgeschlagen werden, die die mehrdimensionale Struktur der Daten (Tensor-ESPRIT),
nichzirkuläre Quellsymbole (NC ESPRIT), sowie beides gleichzeitig (NC Tensor-ESPRIT) ausnutzen.
Um die endgültige Schätzgenauigkeit objektiv einschätzen zu können wird dann ein
Framework für die analytische Beschreibung der Leistungsfähigkeit beliebiger ESPRIT-artiger
Algorithmen diskutiert. Verglichen mit existierenden analytischen AusdrĂĽcken ist unser Ansatz
allgemeiner, da keine Annahmen ĂĽber die statistische Verteilung von Nutzsignal und
Rauschen benötigt werden und die Anzahl der zur Verfügung stehenden Schnappschüsse beliebig
klein sein kann. Dies fĂĽhrt auf vereinfachte AusdrĂĽcke fĂĽr den mittleren quadratischen
Schätzfehler, die Schlussfolgerungen über die Effizienz der Verfahren unter verschiedenen Bedingungen
zulassen. Das dritte Anwendungsgebiet ist der bidirektionale Datenaustausch mit
Hilfe von Relay-Stationen. Insbesondere liegt hier der Fokus auf Zwei-Wege-Relaying mit Hilfe
von Amplify-and-Forward-Relays mit mehreren Antennen, da dieser Ansatz ein besonders gutes
Kosten-Nutzen-Verhältnis verspricht. Es wird gezeigt, dass sich die nötige Kanalkenntnis
mit einem einfachen algebraischen Tensor-basierten Schätzverfahren gewinnen lässt. Außerdem
werden Verfahren zum Finden einer günstigen Relay-Verstärkungs-Strategie diskutiert. Bestehende
Ansätze basieren entweder auf komplexen numerischen Optimierungsverfahren oder auf
Ad-Hoc-Ansätzen die keine zufriedenstellende Bitfehlerrate oder Summenrate liefern. Deshalb
schlagen wir algebraische Ansätze zum Finden der Relayverstärkungsmatrix vor, die von relevanten
Systemmetriken inspiriert sind und doch einfach zu berechnen sind. Wir zeigen das
algebraische ANOMAX-Verfahren zum Erreichen einer niedrigen Bitfehlerrate und seine Modifikation
RR-ANOMAX zum Erreichen einer hohen Summenrate. FĂĽr den Spezialfall, in dem
die Endgeräte nur eine Antenne verwenden, leiten wir eine semi-algebraische Lösung zum
Finden der Summenraten-optimalen Strategie (RAGES) her. Anhand von numerischen Simulationen
wird die Leistungsfähigkeit dieser Verfahren bezüglich Bitfehlerrate und erreichbarer
Datenrate bewertet und ihre Effektivität gezeigt.Modern society is undergoing a fundamental change in the way we interact with technology.
More and more devices are becoming "smart" by gaining advanced computation capabilities
and communication interfaces, from household appliances over transportation systems to large-scale
networks like the power grid. Recording, processing, and exchanging digital information
is thus becoming increasingly important. As a growing share of devices is nowadays mobile
and hence battery-powered, a particular interest in efficient digital signal processing techniques
emerges.
This thesis contributes to this goal by demonstrating methods for finding efficient algebraic
solutions to various applications of multi-channel digital signal processing. These may not
always result in the best possible system performance. However, they often come close while
being significantly simpler to describe and to implement. The simpler description facilitates a
thorough analysis of their performance which is crucial to design robust and reliable systems.
The fact that they rely on standard algebraic methods only allows their rapid implementation
and test under real-world conditions.
We demonstrate this concept in three different application areas. First, we present a semi-algebraic
framework to compute the Canonical Polyadic (CP) decompositions of multidimensional
signals, a very fundamental tool in multilinear algebra with applications ranging from
chemistry over communications to image compression. Compared to state-of-the art iterative
solutions, our framework offers a flexible control of the complexity-accuracy trade-off and
is less sensitive to badly conditioned data. The second application area is multidimensional
subspace-based high-resolution parameter estimation with applications in RADAR, wave propagation
modeling, or biomedical imaging. We demonstrate that multidimensional signals can
be represented by tensors, providing a convenient description and allowing to exploit the
multidimensional structure in a better way than using matrices only. Based on this idea,
we introduce the tensor-based subspace estimate which can be applied to enhance existing
matrix-based parameter estimation schemes significantly. We demonstrate the enhancements
by choosing the family of ESPRIT-type algorithms as an example and introducing enhanced
versions that exploit the multidimensional structure (Tensor-ESPRIT), non-circular source
amplitudes (NC ESPRIT), and both jointly (NC Tensor-ESPRIT). To objectively judge the
resulting estimation accuracy, we derive a framework for the analytical performance assessment
of arbitrary ESPRIT-type algorithms by virtue of an asymptotical first order perturbation
expansion. Our results are more general than existing analytical results since we do not need
any assumptions about the distribution of the desired signal and the noise and we do not
require the number of samples to be large. At the end, we obtain simplified expressions for the
mean square estimation error that provide insights into efficiency of the methods under various
conditions. The third application area is bidirectional relay-assisted communications. Due to
its particularly low complexity and its efficient use of the radio resources we choose two-way
relaying with a MIMO amplify and forward relay. We demonstrate that the required channel
knowledge can be obtained by a simple algebraic tensor-based channel estimation scheme. We
also discuss the design of the relay amplification matrix in such a setting. Existing approaches
are either based on complicated numerical optimization procedures or on ad-hoc solutions
that to not perform well in terms of the bit error rate or the sum-rate. Therefore, we propose
algebraic solutions that are inspired by these performance metrics and therefore perform well
while being easy to compute. For the MIMO case, we introduce the algebraic norm maximizing
(ANOMAX) scheme, which achieves a very low bit error rate, and its extension Rank-Restored
ANOMAX (RR-ANOMAX) that achieves a sum-rate close to an upper bound. Moreover, for
the special case of single antenna terminals we derive the semi-algebraic RAGES scheme which
finds the sum-rate optimal relay amplification matrix based on generalized eigenvectors. Numerical
simulations evaluate the resulting system performance in terms of bit error rate and
system sum rate which demonstrates the effectiveness of the proposed algebraic solutions