Galois LCD codes over mixed alphabets

Producción CientíficaIn this work we give a characterization of Galois Linear Complementary Dual codes and Galois-invariant codes over mixed alphabets of finite chain rings, which leads to the study of the Gray image of FpFp[θ]-linear codes, where p ∈ {2; 3} and θ = θ2 = 0 that provides LCD codes over Fp.Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades - Agencia Estatal de Investigación - Fondo Europeo de Desarrollo Regional (project PGC2018-096446-B-C21

LIFTED CODES OVER FINITE CHAIN RINGS

In this paper, we study lifted codes over finite chain rings. We use γ-adic codes over a formal power series ring to study codes over finite chain rings

Self-Dual Codes over Commutative Frobenius Rings

We prove that self-dual codes exist over all finite commutative Frobenius rings, via their decomposition by the Chinese Remainder Theorem into local rings. We construct non-free self-dual codes under some conditions, using self-dual codes over finite fields, and we also construct free self-dual codes by lifting elements from the base finite field. We generalize the building-up construction for finite commutative Frobenius rings, showing that all self-dual codes with minimum weight greater than 2 can be obtained in this manner in cases where the construction applies. Key Words: Self-dual codes, codes over rings. 2

G -codes, self-dual G -codes and reversible G -codes over the ring B j, k

From Springer Nature via Jisc Publications RouterHistory: received 2020-09-25, accepted 2021-03-24, registration 2021-03-25, online 2021-05-03, pub-electronic 2021-05-03, pub-print 2021-09Publication status: PublishedAbstract: In this work, we study a new family of rings, Bj, k, whose base field is the finite field Fpr. We study the structure of this family of rings and show that each member of the family is a commutative Frobenius ring. We define a Gray map for the new family of rings, study G-codes, self-dual G-codes, and reversible G-codes over this family. In particular, we show that the projection of a G-code over Bj, k to a code over Bl, m is also a G-code and the image under the Gray map of a self-dual G-code is also a self-dual G-code when the characteristic of the base field is 2. Moreover, we show that the image of a reversible G-code under the Gray map is also a reversible G2j+k-code. The Gray images of these codes are shown to have a rich automorphism group which arises from the algebraic structure of the rings and the groups. Finally, we show that quasi-G codes, which are the images of G-codes under the Gray map, are also Gs-codes for some s

Bazı sonlu halkalar üzerindeki devirli kod aileleri

06.03.2018 tarihli ve 30352 sayılı Resmi Gazetede yayımlanan “Yükseköğretim Kanunu İle Bazı Kanun Ve Kanun Hükmünde Kararnamelerde Değişiklik Yapılması Hakkında Kanun” ile 18.06.2018 tarihli “Lisansüstü Tezlerin Elektronik Ortamda Toplanması, Düzenlenmesi ve Erişime Açılmasına İlişkin Yönerge” gereğince tam metin erişime açılmıştır.Devirli kodların kodlama için zengin bir cebirsel yapıya sahip olması, kodlar arasında en çok çalışılan alan olmasına sebep olmuştur. Bu çalışmada da farklı halkalar üzerindeki devirli kod aileleri incelenmiştir. Bu halkalar üzerindeki devirli kodlar kullanılarak hem yeni hem de optimal kodlar elde edilmiştir. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır ve ilk bölümde cebir ve kodlama teorisi ile ilgili olan temel tanımlar ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde, Z4 + uZ4 +u^2Z4 halkasının Galois genişlemesi çalışılmıştır. Ayrıca bu halka üzerindeki devirli kodların yapısı incelenmiş ve bu kodların üreteçlerinin genel bir formu ve bu kodlar için en küçük geren küme belirlenmiştir. Elde edilen bu bilgilerden yararlanılarak Z4 üzerinde yeni lineer kodlar tablo şeklinde bölüm sonunda verilmiştir. Üçüncü bölümde, Fq + vFq halkası üzerindeki skew yarı devirli kodların cebirsel yapısı incelenmiştir. Skew yarı devirli kodların dualleri tartışılmıştır ve farklı bir bakış açısı ile Fq + vFq üzerindeki skew devirli kodların dualini içermesi için gerek ve yeter şart verilmiştir. Bundan yararlanılarak skew devirli kodlardan kuantum kod inşa edilmiştir. Dördüncü bölümde, F3 + uF3 + vF3 + uvF3 halkasındaki lineer kodların yapısı incelenip yeni bir Gray dönüşüm verilmiştir. Ayrıca bu halka üzerindeki devirli kodların üreteç polinomları belirlenmiştir. Elde edilen devirli kod sonuçlarından yararlanılarak kuantum kod parametreleri bulunmuştur. Beşinci bölümde, F2F2[u] -devirli kodu olarak adlandırılacak olan devirli kodların yeni bir sınıfı incelenmiştir. Ayrıca yeni bir Gray dönüşüm tanımlanmış ve bazı F2F2[u]-devirli kodların Gray görüntülerinden elde edilen ikili optimal kod örnekleri tablo halinde sunulmuştur. Son bölümde ise sonuç ve önerilere yer verilmiştir.Cyclic codes are the most studied field among the codes because of their rich algebraic structure for coding. In this study, the family of cyclic codes over different rings are investigated. By using cyclic codes over these rings, both new codes and optimal codes are obtained. This thesis consists of six chapters and in the first chapter, some basic definitions and theorems related to algebra and coding theory are given. In the second chapter, Galois extensions of the ring Z4 + uZ4 +u^2Z4 are studied. Also, cyclic codes over this ring are investigated and the general form of the generator and a minimal spanning set of such codes are determined. Using these informations, new linear codes over Z4 are given in a table at the end of the chapter. In the third chapter, the algebraic structure of skew quasi cyclic codes over the ring Fq + vFq is investigated. The duals of skew quasi cyclic codes are discussed. Also from a different viewpoint, necessary and sufficient condition for skew cyclic codes over Fq + vFq is given to contain its dual. By using this information, quantum codes are constructed from skew cyclic codes. In the fourth chapter, the structure of linear codes over F3 + uF3 + vF3 + uvF3 is investigated and a new Gray map is given. Also, generator polynomials of cyclic codes over this ring are determined. Using these results, some parameters of quantum codes are found. In the fifth chapter, a new class of cyclic codes which is referred to as F2F2[u] -cyclic codes is discussed. Also a new Gray map is defined and some examples of optimal codes which are the binary Gray images of F2F2[u]-cyclic codes are presented in the form a table. In the last chapter, the conclusion and some recommendations are given