Probabilistic Approach to Epistemic Modals in the Framework of Dynamic Semantics

In dynamic semantics meaning of a statement is not equated with its truth conditions but with its context change potential. It has also been claimed that dynamic framework can automatically account for certain paradoxes that involve epistemic modals, such as the following one: it seems odd and incoherent to claim: (1) “It is raining and it might not rain”, whereas claiming (2) “It might not rain and it is raining” does not seem equally odd (Yalcin, 2007). Nevertheless, it seems that it cannot capture the fact that statement (2) seems odd as well, even though not as odd as the statement (1) (Gauker, 2007). I will argue that certain probabilistic extensions to the dynamic model can account for this subtlety of our linguistic intuitions and represent if not an improved than at least an alternative framework for capturing the way contexts are updated and beliefs revised with uncertain information.Numer został przygotowany przy wsparciu Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego

Spurious ambiguity and focalization

Spurious ambiguity is the phenomenon whereby distinct derivations in grammar may assign the same structural reading, resulting in redundancy in the parse search space and inefficiency in parsing. Understanding the problem depends on identifying the essential mathematical structure of derivations. This is trivial in the case of context free grammar, where the parse structures are ordered trees; in the case of type logical categorial grammar, the parse structures are proof nets. However, with respect to multiplicatives, intrinsic proof nets have not yet been given for displacement calculus, and proof nets for additives, which have applications to polymorphism, are not easy to characterize. In this context we approach here multiplicative-additive spurious ambiguity by means of the proof-theoretic technique of focalization.Peer ReviewedPostprint (published version

On Constructive Axiomatic Method

In this last version of the paper one may find a critical overview of some recent philosophical literature on Axiomatic Method and Genetic Method.Comment: 25 pages, no figure

On Constructive Axiomatic Method

The formal axiomatic method popularized by Hilbert and recently defended by Hintikka is not fully adequate to the recent practice of axiomatizing mathematical theories. The axiomatic architecture of Topos theory and Homotopy type theory do not fit the pattern of the formal axiomatic theory in the standard sense of the word. However these theories fall under a more general and in some respects more traditional notion of axiomatic theory, which I call after Hilbert constructive. I show that the formal axiomatic method always requires a support of some more basic constructive method

Constructive Perspectives on Inductive Logic

Constructive (intuitionist, anti-realist) semantics has thus far been lacking an adequate concept of truth in infinity concerning factual (i.e., empirical, non-mathematical) sentences. One consequence of this problem is the difficulty of incorporating inductive reasoning in constructive semantics. It is not possible to formulate a notion for probable truth in infinity if there is no adequate notion of what truth in infinity is. One needs a notion of a constructive possible world based on sensory experience. Moreover, a constructive probability measure must be defined over these constructively possible empirical worlds. This study defines a particular kind of approach to the concept of truth in infinity for Rudolf Carnap's inductive logic. The new approach is based on truth in the consecutive finite domains of individuals. This concept will be given a constructive interpretation. What can be verifiably said about an empirical statement with respect to this concept of truth, will be explained, for which purpose a constructive notion of epistemic probability will be introduced. The aim of this study is also to improve Carnap's inductive logic. The study addresses the problem of justifying the use of an "inductivist" method in Carnap's lambda-continuum. A correction rule for adjusting the inductive method itself in the course of obtaining evidence will be introduced. Together with the constructive interpretation of probability, the correction rule yields positive prior probabilities for universal generalizations in infinite domains.Työssä tutkitaan havaintoja koskevien väitelauseiden totuutta tilanteissa, joissa havaintojen määrällä ei ainakaan tiedetysti ole ylärajaa. Filosofian ja matematiikan alaan kuuluvassa konstruktiivisessa semantiikassa eli merkitysteoriassa lauseiden merkitys määräytyy niiden todennettavuusehtojen perusteella. Äärettömän havaintomaailman tapauksessa todennettavuusehto on hankalasti muotoiltavissa, koska tällaista maailmaa koskevia yleistyksiä ei yleisessä tapauksessa voi todentaa. Tämä on yhteydessä myös induktion ongelmaan, joka koskee päättelyä menneisyyden havainnoista tulevaisuuteen. Induktiivinen päättely ei säilytä totuutta siinä mielessä, että tosista oletuksista tehtävä johtopäätös ei ole tosi loogisella välttämättömyydellä, vaan korkeintaan todennäköisesti tosi. Työssä esitetään Rudolf Carnapin (1891-1970) induktiivisen logiikan sovelluksena, kuinka äärettömiä havaintomaailmoja koskevien lauseiden totuus voidaan muotoilla konstruktiivisten periaatteiden mukaisesti. Kukin ääretön havaintoprosessi on vapaalakinen jono peräkkäisiä havaintoja, joiden muodostaman kokonaisuuden ominaisuuksia ei voida tietää prosessin äärellisissä vaiheissa. Voidaan kuitenkin tietää, vastaako prosessin annettu äärellinen vaihe jonkin ennalta määritellyn havaintojonon äärellistä vaihetta. Näin voidaan määrittää lauseen konstruktiivinen todennäköisyys äärettömille havaintojonoille: se on niiden ennalta määrättyjen havaintojonojen äärellisten vaiheiden todennäköisyyksien raja-arvo, jotka toteuttavat lauseen kussakin äärellisessä vaiheessaan tietystä vaiheesta alkaen. Tämän todennäköisyyskäsitteen ominaisuuksia tutkitaan suhteessa Carnapin esittämään asymptoottisen todennäköisyyden käsitteeseen. Lisäksi työssä tutkitaan mahdollisuutta määrittää todennäköisyys äärettömyydessä eräänlaisten havaintojonojen joukkojen eli ympäristöjen avulla. Tämän todetaan olevan ristiriidassa sen kanssa, että havaintojonoja koskevat lauseet olisivat konstruktiivisesti tosia äärettömyydessä. Induktiivisessa logiikassa lauseiden todennäköisyys määräytyy ns. induktiivisen menetelmän avulla laskettujen todennäköisyyksien mukaan. Ongelma on, että annettuun tilanteeseen parhaiten soveltuvaa induktiivsta menetelmää ei tiedetä. Etenkään ei tiedetä, onko sellainen induktiivinen menetelmä kaikkein paras, joka ei anna lainkaan painoarvoa havaitulle evidenssille esimerkiksi siten että sata havaittua mustaa korppia lisäisi 101. mustan korpin todennäköisyyttä. Työssä käsitellään myös oikean induktiivisten menetelmän valitsemisen ongelmaa ja päädytään siihen, että toisen kertaluvun todennäköisyydet eivät tarjoa tähän ratkaisua. Sen sijaan induktiivisen menetelmän itsensä päivitys annetun evidenssin nojalla tuottaa tietyin reunaehdoin annettua menetelmää paremman induktiivisen menetelmän. Toisin kuin Carnapin alkuperäisessä järjestelmässä, induktiivisen menetelmän päivitys ja konstruktiivinen semantiikka yhdessä mahdollistavat nollasta poikkeavat todennäköisyydet empiirisille yleistyksille (kuten kaikki korpit ovat mustia )

Representation of States on Effect-Tribes and Effect Algebras by Integrals

We describe $\sigma$-additive states on effect-tribes by integrals. Effect-tribes are monotone $\sigma$-complete effect algebras of functions where operations are defined by points. Then we show that every state on an effect algebra is an integral through a Borel regular probability measure. Finally, we show that every $\sigma$-convex combination of extremal states on a monotone $\sigma$-complete effect algebra is a Jauch-Piron state.Comment: 20 page