Asymptotic Improvement of the Gilbert-Varshamov Bound on the Size of Binary Codes

Given positive integers $n$ and $d$, let $A_2(n,d)$ denote the maximum size of a binary code of length $n$ and minimum distance $d$. The well-known Gilbert-Varshamov bound asserts that $A_2(n,d) \geq 2^n/V(n,d-1)$, where $V(n,d) = \sum_{i=0}^{d} {n \choose i}$ is the volume of a Hamming sphere of radius $d$. We show that, in fact, there exists a positive constant $c$ such that $$A_2(n,d) \geq c \frac{2^n}{V(n,d-1)} \log_2 V(n,d-1)$$ whenever $d/n \le 0.499$. The result follows by recasting the Gilbert- Varshamov bound into a graph-theoretic framework and using the fact that the corresponding graph is locally sparse. Generalizations and extensions of this result are briefly discussed.Comment: 10 pages, 3 figures; to appear in the IEEE Transactions on Information Theory, submitted August 12, 2003, revised March 28, 200

Majority-Logic-Decodierung für Euklidische-Geometrie-Codes

Diese Arbeit befasst sich mit Majority-Logic-Decodieralgorithmen für Euklidische-Geometrie-Codes. Diese Verfahren zeichnen sich dadurch aus, auf Hardwareebene in Echtzeit unter Verteilung des Rechenaufwands auf mehrere Prozessoren decodieren zu können. Das Ziel der vorliegenden Dissertation ist es, die bestehenden Majority-Logic-Decodierverfahren, insbesondere den Reed-Algorithmus, hinsichtlich der Performanz zu verbessern beziehungsweise neue, effizientere Verfahren zu entwickeln. Wir werden zwei neue Algorithmen vor- stellen, bei denen die Anzahl der auszuführenden Mehrheitsentscheidungen signifikant reduziert ist. Einer der beiden Algorithmen basiert wie jener von Reed einzig auf Mehrheitsentscheidungen. Der andere Algorithmus verwendet zusätzlich Additionen bzw. Subtraktionen, so dass weniger Mehrheitsentscheidungen als bei den anderen beiden Algorithmen getroffen werden müssen. Darüber hinaus haben wir eine neue Abstufung konstruiert, mit der wir unabhängig vom verwendeten Decodierverfahren mindestens die gleichen oder bessere Ergebnisse als Chen und Reed erzielen, so dass diese aus Gründen der Performanz stets vorzuziehen ist. Die vorliegende Dissertation enthält zudem eine genaue Analyse des Aufwands der Majority-Logic-Decodierverfahren, einschließlich des Reed-Algorithmus, angewandt auf verschiedene Codeklassen wie Hamming-Codes, Reed-Muller-Codes, Euklidische-Geometrie-Codes sowie zweifache Euklidische-Geometrie- Codes. Darauf basierend sprechen wir Empfehlungen aus, welche Codes mit welcher Parameterwahl (bei gleichen Fehlerkorrektureigenschaften) die höchste Performanz bieten

Schätzerreduktion und Konvergenz adaptiver FEM für Hindernisprobleme

In dieser Arbeit zeigen wir die Konvergenz einer adaptiven P1 Finite-Elemente-Methode für elliptische Hindernisprobleme. Zur Steuerung der adaptiven Verfeinerung verwenden wir - abhängig von der Art des Hindernisses - verschiedene residualbasierte a posteriori Fehlerschätzer. Wir erweitern das aus dem linearen Fall bekannte Prinzip der Schätzerreduktion auf das (nichtlineare) Hindernisproblem und umgehen somit die Notwendigkeit der diskreten lokalen Effizienz des Fehlerschätzers für unseren Konvergenzbeweis. Als direkte Folge erhalten wir Konvergenzresultate, die von der Art der lokalen Netzverfeinerung weitestgehend unabhängig sind. Zudem gelingt es uns, eine Kontraktionseigenschaft der Datenoszillationen nachzuweisen, so dass diese nicht mehr, wie in der Literatur üblich, explizit kontrolliert werden müssen. Im Falle nicht affiner Hindernisse erkennen wir außerdem zusätzliche Probleme, die auf die Grenzen des Prinzips der Schätzerreduktion hinweisen und somit zum Gesamtverständnis dieser Methode beitragen.In this thesis, we show the convergence of some adaptive P1 finite element method for elliptic obstacle problems. For adaptive mesh refinement we use different residual-based a posteriori error estimators, depending on the shape of the obstacle. We extend the principle of estimator reduction, which is known from the linear case, to the (nonlinear) obstacle problem. In this way, we circumvent the need for the discrete local efficiency of the underlying error estimator for our convergence analysis. A direct consequence are thus convergence results which are basically independent of the local mesh refinement strategy. We further show that the data oscillation terms satisfy some contraction property, such that it becomes unnecessary to control their decay explicitly, as it is usually done in the literature. In the case of non-affine obstacles, we also glimpse additional problems that could not be foreseen within the linear setting and thus contribute to a broader understanding of the principle of estimator reduction

Space-Time Codes for MIMO systems : Quasi-Orthogonal design and concatenation

Der Nachfrage an Mobilfunksystemen mit hoher Datenrate und Übertragungsqualität für eine Vielfalt von Anwendungen ist in den letzten Jahren dramatisch gestiegen. Zur Deckung des hohen Bedarfs werden jedoch neue Konzepte und Technologien benötigt, die den Beeinträchtigungen des Mobilfunkkanals entgegenwirken oder sich diese zu Nutze machen und die knappen Ressourcen wie Bandbreite und Leistung optimal ausnutzen. Eine effiziente Maßnahme zur Erhöhung der Performanz stellen Mehrantennensysteme dar. Um das große Potenzial von solchen Mehrantennensystemen auszunutzen, wurden neue Sendestrategien, so genannte Raum-Zeit Codes entworfen und analysiert, die neben der zeitlichen und spektralen auch die räumliche Komponente ausnutzen sollen. In dieser Arbeit wird die Leistungsfähigkeit solcher Raum-Zeit Codes zunächst isoliert und später, im zweiten Teil der Arbeit, in Kombination mit herkömmlichen Kanalcodierungsverfahren untersucht. Im ersten Abschnitt, d.h. im Fall ohne herkömmliche Kanalcodierung liegt der Fokus auf diversitäts-orientierten Raum-Zeit Codes. Zunächst werden basierend auf den Raum-Zeit Codes mit orthogonaler Struktur (OSTBC) Raum-Zeit Codes mit quasi-orthogonaler Struktur für eine beliebige Anzahl von Sende-und Empfangsantennen entworfen. Aus der Konstruktion resultieren dann zwei Gruppen von Codes. Die wesentliche Charakteristik der ersten Gruppe ist es, dass sie Verbindungen mit hoher Qualität gewährleistet. Dies wird erreicht, indem räumliche und zeitliche Redundanz eingebracht wird und daraus die volle Diversität (entspricht dem maximalen Abfall der Bitfehlerratenkurve) resultiert. Volle Diversität wird auch von den OSTBC erreicht, die aufgrund ihrer Struktur den matrix-wertigen Kanal für Mehrantennensysteme, so genannte Multiple-Input-Multiple-Output (MIMO)-Kanäle in parallele skalare Ersatzkanäle, so genannte Single-Input-Single-Output (SISO)-Kanäle, transformieren. Die Anzahl der parallelen Ersatzkanäle entspricht dabei der Anzahl der Sendeantennen. Diese Erkenntnis und die Einsicht in die Eigenschaften dieser Ersatzkanäle waren ein wichtiger Meilenstein und ermöglichten es, die Leistungsfähigkeit der OSTBC zu analysieren. Die Bestimmung der Ersatzkanalstuktur ist daher auch hier von zentraler Bedeutung. Im Falle von Raum-Zeit Codes mit quasi-orthogonaler Struktur wird in dieser Arbeit gezeigt, dass der MIMO-Kanal in einen block-diagonalen MIMO-Kanal zerlegt wird, dessen Eigenvektoren konstant und Blöcke identisch sind. Weiterhin konnte gezeigt werden, dass die Eigenwerte von jedem Block voneinander unabhängig sind und einer nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung mit einer Anzahl von Freiheitsgraden, die dem Vierfachen der Anzahl der Empfangsantennen entspricht, folgen. Durch Lockerung der Anforderung von voller Diversität an die zu entwerfenden Codes gelangt man zu der zweiten Gruppe der Raum-Zeit Codes mit quasi-orthogonaler Stuktur, welche eine Verallgemeinerung der OSTBC darstellen. Insbesondere wird in dieser Arbeit gezeigt, dass nicht nur das Alamouti-Schema, ein OSTBC für zwei Sendeantennen, sondern auch eine verallgemeinerte Version dieses Alamouti-Schemas, die Kapazität im Falle einer Empfangsantenne erreicht. Die in dieser Arbeit entworfenen Raum-Zeit Codes werden schließlich hinsichtlich ihrer Fehlerraten-Performanz und ihrer spektralen Effizienz mit optimalen als auch mit suboptimalen Empfängerstrukturen analysiert. Im zweiten Teil dieser Arbeit werden verschiedene Raum-Zeit Codes mit herkömmlichen Kanalcodierungsverfahren kombiniert. Dabei werden neue Empfängerstrukturen vorgestellt und die Leistungsfähigkeit der Raum-Zeit Codes mit iterativen Algorithmen zur so genannten Soft-Input-Soft-Output-Decodierung mit Hilfe von neuen Analysetechniken, den so genannten EXIT-Charts, untersucht und optimiert. Im Falle von OSTBC werden zusätzlich Kriterien für die optimale Abbildung von Bitsequenzen auf Sendesymbole hergeleitet.The demand for mobile communication systems with high data rates and improved link quality for a variety of applications has dramatically increased in recent years. New concepts and methods are necessary in order to cover this huge demand, which counteract or take advantage of the impairments of the mobile communication channel and optimally exploit the limited resources such as bandwidth and power. Multiple antenna systems are an efficient means for increasing the performance. In order to utilize the huge potential of multiple antenna concepts, it is necessary to resort to new transmit strategies, referred to as Space-Time Codes, which, in addition to the time and spectral domain, also use the spatial domain. The performance of such Space-Time Codes is analyzed in this thesis with and without conventional channel coding strategies. In case without conventional channel codes, the focus is on diversity-oriented Space-Time Codes. Based on Space-Time Block Codes from orthogonal designs (OSTBC), the Space-Time Block Codes from quasi-orthogonal designs are developed for any number of transmit and receive antennas. The outcome of this construction are two groups of codes. The main property of the first group is the support of links with high quality. This is achieved by incorporating spatial and temporal redundancy, which results in full diversity or in other words, in the maximum decay of the bit error rate curves. Full diversity is also achieved by OSTBC, which due to their structure transform the matrix-valued channel for multi-antenna systems, so called multiple-input-multiple-output (MIMO)-channels, into several parallel, scalar single-input-single-output (SISO)-channels. This insight and the understanding of the properties of the equivalent SISO-channels were the key results in order to analyze the performance of the OSTBC. The determination of the structure of the equivalent channel is also a matter of vital importance in this work. To this end, we show that the MIMO-channel in the case of Space-Time Codes from quasi-orthogonal designs is transformed into an equivalent block-diagonal MIMO-channel with identical blocks having constant eigenvectors, independent of the channel realization. Furthermore, we show that the eigenvalues of each block are pairwise independent and follow a non-central chi-square distribution, where the number of degrees of freedom equals four times the number of receive antennas. By relaxing the requirement of full diversity one arrives at the second group of Space-Time Codes from quasi-orthogonal designs. These codes represent a generalization of Space-Time Codes from orthogonal designs. Particularly, we show in this work, that not only the Alamouti-scheme, a OSTBC for two transmit antennas, but also its generalized version achieves capacity in the case of one receive antenna. The drafted codes are then analyzed with respect to the error rate performance and the spectral efficiency with optimal as well as suboptimal receiver structures. In the second part of this work the combination of Space-Time Codes with conventional channel coding techniques is considered. New receiver structures are presented and the performance of Space-Time Codes with iterative algorithms for soft-input-soft-output-decoding is analyzed and optimized with the help of new analytical tools, the so called EXIT-charts. Furthermore, some criteria for the optimal mapping strategy are derived in the case of OSTBC

Modellierung des Materialverhaltens Magnetorheologischer Fluide unter Verwendung der FOURIER-Transformations Rheologie

In dieser Dissertation wird das viskoplastische Schubverhalten eines magnetorheologischen Fluids (MRF) modelliert. Mithilfe eines phänomenologischen Modellierungsansatzes auf Basis nichtlinearer rheologischer Elemente können die gemessenen Fließkurven sowie Speicher- und Verlustmoduli abgebildet werden. Ein MRF ist ein Material mit fest-flüssig Übergang. Es besitzt von einem Magnetfeld abhängige Materialeigenschaften. Um diese beschreiben zu können, wird zunächst eine phänomenologische Stoffklassifizierung eingeführt. Auf deren Grundlage teilen sich Stoffe allgemein in Flüssigkeiten, Festkörper und Materialien mit fest-flüssig Übergang auf. Zur Beschreibung des Materialverhaltens von MRF werden drei viskoplastische Modelle formuliert und gegenübergestellt. Zur Identifikation der Materialparameter wird eine Identifikationsstrategie auf der Grundlage charakteristischer Punkte entwickelt. Charakteristische Punkte sind exklusive Punkte von Materialfunktionen, die analytisch beschrieben und ohne Weiteres experimentell ermittelt werden können. Analytische Ausdrücke für charakteristische Punkte der Speicher- und Verlustmoduli werden über das Analogieprinzip unter Verwendung von Lissajous Diagrammen abgeleitet. Infolgedessen können die Materialparameter durch das Auswerten algebraischer Zusammenhänge identifiziert werden, ohne nichtlineare Optimierungsverfahren anwenden zu müssen. Hierbei stellt die Fließspannung einen signifikanten Materialparameter dar. Deswegen werden die Standardverfahren zur Bestimmung der Fließspannung auf rheologische Modelle angewendet und bewertet

Digitales Video

Elektronische Dokumente werden immer häufiger durch zeitbasierte Medienobjekte wie z.B. Videoclips angereichert. Selbst im WWW sind mittlerweile Videos komfortabel durch Streamingtechnologie verfügbar. Rechnergestützte Videoschnittlösungen und Telekonferenzsysteme sind zudem weitere Einsatzfelder für digitale Videosequenzen. Aufgrund beschränkter Ressourcen ist Kompression aber weiterhin ein entscheidender Einsatzfaktor