Packing edge-disjoint cycles in graphs and the cyclomatic number

For a graph G let \mu (G) denote the cyclomatic number and let \nu (G) denote the maximum number of edge-disjoint cycles of G. We prove that for every k \geq 0 there is a nite set P(k) such that every 2-connected graph G for which \mu (G) - \nu (G) = k arises by applying a simple extension rule to a graph in P(k). Furthermore, we determine P(k) for k \leq 2 exactly

On Maximum Cycle Packings in Polyhedral Graphs

This paper addresses upper and lower bounds for the cardinality of a maximum vertex-/edge-disjoint cycle packing in a polyhedral graph G. Bounds on the cardinality of such packings are provided, that depend on the size, the order or the number of faces of G, respectively. Polyhedral graphs are constructed, that attain these bounds

Packing disjoint cycles over vertex cuts

AbstractFor a graph G, let ν(G) and ν′(G) denote the maximum cardinalities of packings of vertex-disjoint and edge-disjoint cycles of G, respectively. We study the interplay of these two parameters and vertex cuts in graphs. If G is a graph whose vertex set can be partitioned into three non-empty sets S, V1, and V2 such that there is no edge between V1 and V2, and k=|S|, then our results imply that ν(G) is uniquely determined by the values ν(H) for at most 2k+1k!2 graphs H of order at most max{|V1|,|V2|}+k, and ν′(G) is uniquely determined by the values ν′(H) for at most 2k2+1 graphs H of order at most max{|V1|,|V2|}+k

Degree-constrained edge partitioning in graphs arising from discrete tomography

Starting from the basic problem of reconstructing a 2-dimensional im- age given by its projections on two axes, one associates a model of edge coloring in a complete bipartite graph. The complexity of the case with k = 3 colors is open. Variations and special cases are considered for the case k = 3 colors where the graph corresponding to the union of some color classes (for instance colors 1 and 2) has a given structure (tree, vertex- disjoint chains, 2-factor, etc.). We also study special cases corresponding to the search of 2 edge-disjoint chains or cycles going through speci ed vertices. A variation where the graph is oriented is also presented. In addition we explore similar problems for the case where the under- lying graph is a complete graph (instead of a complete bipartite graph)

Maximale Kreispackungen für verallgemeinerte Petersen Graphen und die Bestimmung der Kreispackungszahl unter Verwendung von Knotenseparatoren

For a graph G = (V;E) a maximum cycle packing is a collection of pairwise edgedisjoint cycles. The maximum cardinality n(G) of such a packing is denoted as the cycle packing number of G. In general the determination of a maximum cycle packing and n(G), respectively, is NP-hard. In this thesis we first introduce the theoretical problem by some examples of cycle packings for three particular graphs. Afterwards we give three practical examples, where you can use cycle packings on special graphs for establishing a practical solution. In Chapter 3 we outline the connection between vertex cuts and maximum cylce packings. We first have a look at graphs which contain a vertex cut of cardinality two or three. Following this we regard graphs with a given vertex cut of an arbitrary cardinality. At least we consider the family P(n;k) of generalized Petersen graphs. In case k even, we outline, that there exists always an maximum cycle packing, where all cycles excepted one are shortest cycles of length eight, if n is big enough. In case k odd, we also prove this for some special cases.Für einen gegebenen Graphen G = (V;E) ist eine maximale Kreispackung eine maximale Menge paarweise kantendisjunkter Kreise in G. Die maximale Anzahl n(G) wird als Kreispackungszahl bezeichnet. Es ist bekannt, dass die Bestimmung einer maximalen Kreispackung sowie der Kreispackungszahl ein NPschweres Problem darstellen. In dieser Arbeit werden maximale Kreispackungen zunächst an Hand einiger graphentheoretischer Beispiele eingeführt. Anschließend werden drei praktische Problemstellungen vorgestellt, deren Lösungen sich durch das Auffinden einer maximalen Kreispackung oder die Bestimmung der Kreispackungszahl auf einem geeigneten Graphen herleiten lassen. Im dritten Kapitel wird der Zusammenhang zwischen Knotenseparatoren und maximalen Kreispackungen erläutert. Dazu werden zunächst Graphen betrachtet, welche einen Knotenseparator mit zwei bzw. drei Knoten enthalten. Abschließend wird der Fall eines Graphen mit einem gegebenen Knotenseparator mit einer beliebigen Anzahl von Knoten behandelt. Im letzten Kapitel wird eine spezielle Graphenfamilie, die Familie der verallgemeinerten Petersen Graphen P(n;k) vorgestellt. Es wird für den Fall k mod 2 = 0 gezeigt, dass immer eine maximale Kreispackung existiert, welche, bis auf höchstens einen Kreis, ausschließlich aus kürzesten Kreisen der Länge acht besteht, sofern n groß genug ist. Für den Fall k mod 2 = 1 wird diese Aussage ebenfalls für einige Spezialfälle bewiesen