Fine-Grained Complexity Analysis of Two Classic TSP Variants

We analyze two classic variants of the Traveling Salesman Problem using the toolkit of fine-grained complexity. Our first set of results is motivated by the Bitonic TSP problem: given a set of $n$ points in the plane, compute a shortest tour consisting of two monotone chains. It is a classic dynamic-programming exercise to solve this problem in $O(n^2)$ time. While the near-quadratic dependency of similar dynamic programs for Longest Common Subsequence and Discrete Frechet Distance has recently been proven to be essentially optimal under the Strong Exponential Time Hypothesis, we show that bitonic tours can be found in subquadratic time. More precisely, we present an algorithm that solves bitonic TSP in $O(n \log^2 n)$ time and its bottleneck version in $O(n \log^3 n)$ time. Our second set of results concerns the popular $k$-OPT heuristic for TSP in the graph setting. More precisely, we study the $k$-OPT decision problem, which asks whether a given tour can be improved by a $k$-OPT move that replaces $k$ edges in the tour by $k$ new edges. A simple algorithm solves $k$-OPT in $O(n^k)$ time for fixed $k$. For 2-OPT, this is easily seen to be optimal. For $k=3$ we prove that an algorithm with a runtime of the form $\tilde{O}(n^{3-\epsilon})$ exists if and only if All-Pairs Shortest Paths in weighted digraphs has such an algorithm. The results for $k=2,3$ may suggest that the actual time complexity of $k$-OPT is $\Theta(n^k)$. We show that this is not the case, by presenting an algorithm that finds the best $k$-move in $O(n^{\lfloor 2k/3 \rfloor + 1})$ time for fixed $k \geq 3$. This implies that 4-OPT can be solved in $O(n^3)$ time, matching the best-known algorithm for 3-OPT. Finally, we show how to beat the quadratic barrier for $k=2$ in two important settings, namely for points in the plane and when we want to solve 2-OPT repeatedly.Comment: Extended abstract appears in the Proceedings of the 43rd International Colloquium on Automata, Languages, and Programming (ICALP 2016

An Iterated Local Search Approach for Finding Provably Good Solutions for Very Large TSP Instances

Abstract. Meta-heuristics usually lack any kind of performance guar-antee and therefore one cannot be certain whether the resulting solutions are (near) optimum solutions or not without relying on additional algo-rithms for providing lower bounds (in case of minimization). In this paper, we present a highly effective hybrid evolutionary local search algorithm based on the iterated Lin-Kernighan heuristic combined with a lower bound heuristic utilizing 1-trees. Since both upper and lower bounds are improved over time, the gap between the two bounds is minimized by means of effective heuristics. In experiments, we show that the proposed approach is capable of finding short tours with a gap of 0.8 % or less for TSP instances up to 10 million cities. Hence, to the best of our knowledge, we present the first evolutionary algorithm and meta-heuristic in general that delivers provably good solutions and is highly scalable with the problem size. We show that our approach outperforms all existing heuristics for very large TSP instances.

Sorting signed permutations by reversals, revisited

AbstractThe problem of sorting signed permutations by reversals (SBR) is a fundamental problem in computational molecular biology. The goal is, given a signed permutation, to find a shortest sequence of reversals that transforms it into the positive identity permutation, where a reversal is the operation of taking a segment of the permutation, reversing it, and flipping the signs of its elements.In this paper we describe a randomized algorithm for SBR. The algorithm tries to sort the permutation by repeatedly performing a random oriented reversal. This process is in fact a random walk on the graph where permutations are the nodes and an arc from π to π′ corresponds to an oriented reversal that transforms π to π′. We show that if this random walk stops at the identity permutation, then we have found a shortest sequence. We give empirical evidence that this process indeed succeeds with high probability on a random permutation.To implement our algorithm we describe a data structure to maintain a permutation, that allows to draw an oriented reversal uniformly at random, and perform it in sub-linear time. With this data structure we can implement the random walk in O(n3/2logn) time, thus obtaining an algorithm for SBR that almost always runs in sub-quadratic time. The data structures we present may also be of independent interest for developing other algorithms for SBR, and for other problems.Finally, we present the first efficient parallel algorithm for SBR. We obtain this result by developing a fast implementation of the recent algorithm of Bergeron (Proceedings of CPM, 2001, pp. 106–117) for sorting signed permutations by reversals that is parallelizable. Our implementation runs in O(n2logn) time on a regular RAM, and in O(nlogn) time on a PRAM using n processors

Recherche tabou pour un problème de tournées de véhicules avec une flotte privée et un transporteur externe

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Una metaheurística co-evolutiva para el problema del viajante de comercio

En este Trabajo de Grado se presenta una estrategia general (metaheurística) para la resolución del Problema del Viajante de Comercio. Éste es un problema clásico de optimización combinatoria, cuyo conjunto de soluciones posibles es finito, pero demasiado numeroso para ser manejado en forma directa. Dado un conjunto de ciudades, y una medida de “costo” entre ellas, el problema consiste en hallar un camino cerrado (tour) de costo mínimo, que visite cada ciudad exactamente una vez. El costo puede estar representado por la distancia entre las ciudades, o por cualquier otra medida, tal como el tiempo que las separa o el costo de un pasaje entre ellas. Este problema puede aplicarse en muchas situaciones prácticas, tales como ruteo de vehículos, secuenciamiento de tareas, conexión de módulos electrónicos. Además reviste una importancia teórica para la Teoría de Complejidad, pues pertenece a la clase de los problemas combinatorios NP- Completos, para los cuales se conjetura que el tiempo de cómputo requerido para hallar la solución exacta crece al menos exponencialmente con el tamaño de la instancia considerada. Por esto es necesario buscar heurísticas que encuentren rápidamente tours cercanos al óptimo. En el contexto de los problemas de optimización combinatoria, se pueden definir las heurísticas como técnicas que producen soluciones factibles rápidamente, en cuanto al tiempo de cómputo requerido, pero tales soluciones no son necesariamente óptimas. Estos procedimientos tienen una justificación intuitiva. Las metaheurísticas son estrategias que generalmente guían otras heurísticas, y que no dependen de las características del problema a resolver. El desarrollo de metaheurísticas para resolver este problema, permite que las mismas técnicas puedan aplicarse a una gran variedad de problemas combinatorios. El Problema del Viajante de Comercio se ha utilizado siempre para ensayar diferentes enfoques de optimización combinatoria, incluyendo las técnicas clásicas de optimización local, así como variantes más recientes: Búsqueda Tabú, Redes Neuronales, Algoritmos Genéticos. Es un dominio atípico desde el punto de vista teórico y experimental. Luego de presentar el Problema del Viajante de Comercio, las secciones iniciales de este Trabajo describirán por separado los componentes de la metaheurística a desarrollar: heurísticas de búsqueda local, Búsqueda Local Guiada, Algoritmos Meméticos. En la Sección 6, se integrarán estos conceptos para diseñar una estrategia de resolución del Problema del Viajante de Comercio, que intenta aprovechar las mejores características de cada uno de estos enfoques. Las últimas secciones presentarán los resultados de los experimentos realizados y las conclusiones del trabajo.Tesis digitalizada en SEDICI gracias a la colaboración de la Biblioteca de la Facultad de Informática.Facultad de Ciencias Exacta

Heuristinen etsintä ja tietorakenteet kauppamatkustajan ongelmassa

Paikallinen etsintä on yksi tapa ratkaista optimointiongelmia likimääräisesti. Tässä tutkielmassa tarkastellaan kauppamatkustajan ongelman likimääräiseen ratkaisemiseen tarkoitettuja paikallisen etsinnän heuristiikkoja, sekä reitin esitykseen tarvittavia tietorakenteita. Reitti voidaan esittää listana, jonka on tuettava osajonojen eli segmenttien kääntämisiä. Listan esitykseen käytettävän tietorakenteen merkitys korostuu suurissa ongelmissa, sillä segmenttien kääntelyyn kuluva aika voi dominoida algoritmin muuta suoritusaikaa. Tietorakenteen suunnittelu on tasapainoilua tietorakenteeseen kohdistuvien kyselyiden ja muokkausoperaatioiden välillä. Jommatkummat on mahdollista suorittaa hyvin nopeasti, eli vakioajassa, mutta molempia ei voida suorittaa vakioajassa yhdessä ja samassa tietorakenteessa. Kyselyiden nopeuttaminen hidastaa muokkausoperaatioiden suoritusta ja päinvastoin. Binääripuu on varsin luonnollinen listan esitystapa, jossa kyselyt ja segmentin kääntäminen voidaan suorittaa logaritmisessa ajassa. Se ei kuitenkaan ole käytännössä kilpailukykyinen parhaiden vaihtoehtoisten tietorakenteiden kanssa. Segmenttipuu on aputietorakenne, joka ryvästää kyselyitä ja muokkausoperaatioita erillisiksi ryppäiksi. Helsgaunin etsintästrategialla on samankaltainen ryvästävä vaikutus. Kyselyiden ja muokkausoperaatioiden ryvästys mahdollistaa sen, että binääripuussa muokkausoperaatioiden välissä tapahtuvien kyselyiden hakupolkujen keskimääräisiä syvyyksiä voidaan aikaleiman avulla pienentää. Globaalin informaation laiska päivitys binääripuun sisäsolmuihin mahdollistaa sen, että kyselyissä tarvittavia globaaleja tietoja ei tarvitse kerätä puun juureen asti selaamalla. Selaus voidaan keskeyttää heti ensimmäiseen solmuun, jonka globaalit tiedot ovat aikaleiman perusteella ajan tasalla. Periaatetta on testattu binääripuun kaltaisella tietorakenteella, lohkopuulla, Helsgaunin LKH-2 -algoritmin yhteydessä noin 2000–86000 kaupungin kokoisilla ongelmilla. Suoritettujen testien perusteella lohkopuu vaikuttaisi olevan kilpailukykyinen tietorakenne sitä suuremmissa ongelmissa