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Cutoff Phenomenon for Random Walks on Kneser Graphs
The cutoff phenomenon for an ergodic Markov chain describes a sharp
transition in the convergence to its stationary distribution, over a negligible
period of time, known as cutoff window. We study the cutoff phenomenon for
simple random walks on Kneser graphs, which is a family of ergodic Markov
chains. Given two integers and , the Kneser graph is defined
as the graph with vertex set being all subsets of of size
and two vertices and being connected by an edge if . We show that for any , the random walk on
exhibits a cutoff at with a window of size
Random walk-based algorithms on networks
The present thesis studies some important random walk-based algorithms, which are randomized rumor spreading and balanced allocation protocols on networks. In the first part of the thesis, we study the {sf Push} and the {sf Push-Pull} protocols introduced by cite{DGH+87}, which are basic randomized protocols for information dissemination on networks. In Chapter ref{multiple-call},we propose a new model where the number of calls of each node in every round is chosen independently according to a probability distribution with bounded mean determined at the beginning of the process. In addition to the model being a natural extension of the standard protocols, it also serves as a more realistic model for rumor spreading in a network whose entities are not completely uniform and may have different levels of power. We provide both lower and upper bounds on the rumor spreading time depending on statistical properties of such as the mean or the variance. While it is well-known that the standard protocols need rounds to spread a rumor on a complete network with nodes, % we are interested by how much we can speed up the spread of the rumor by enabling nodes to make more than one call in each round. we show that, if follows a power law distribution with exponent , then the {sf Push-Pull} protocol spreads a rumor in rounds. Moreover, when , we show a runtime of . In Chapter ref{poor}, we analyze the behavior of the standard {sf Push-Pull} protocol on a class of random graphs, called random -trees for every integer , that are suitable to model poorly connected, small-world and scale free networks. Here, we show that the {sf Push-Pull} protocol propagates a rumor from a randomly chosen informed node to almost all nodes of a random -tree with nodes in rounds with high probability, where 0 < c_kle 1 is a decreasing function in . We also derive a lower bound of for the runtime of the protocol to inform all nodes of the graph. Our technique for proving the upper bound is successfully carried over to a closely related class of random graphs called random -Apollonian networks. We devote the rest of the thesis to the study of random walks on graphs, covering both practical and theoretical aspects. In Chapter ref{kneser}, we show the existence of a emph{cutoff} phenomenon for simple random walks on Kneser graphs. A {cutoff} phenomenon for a given sequence of ergodic Markov chains describes a sharp transition in the convergence of the chains to its stationary distribution over a negligible period of time, known as the {it cutoff window}. In order to establish the cutoff phenomenon, we combine the spectral information of the transition matrix and a probabilistic technique, known as Wilson\u27s method cite{wilson}. And finally in Chapter ref{non-back}, by using emph{non-backtracking} random walks introduced by Alon et al. cite{AL07}, we propose a new algorithm for sequentially allocating balls into bins that are organized as a -regular graph with nodes, say , where can be any integer. Let be a given positive integer. In each round , , ball picks a node of uniformly at random and performs a non-backtracking random walk of length from the chosen node. Then it deterministically selects a subset of the visited nodes as the potential choices and allocates itself on one of the choices with minimum load (ties are broken uniformly at random). Provided has a sufficiently large girth, we establish an upper bound for the maximum number of balls at any bin after allocating balls by the algorithm. We also show that the upper bound is tight up to a factor. In particular, we show that if we set , for any constant , and has girth at least , then the maximum load is bounded by with high probability.Die vorliegende Arbeit untersucht einige wichtige Zufallspfad-basierte Algorithmen, insbesondere Protokolle zur randomisierte Verbreitung von GerĂŒchten und Zufallspfade in Netzwerken. Im ersten Teil der Arbeit betrachten wir die von cite{DGH+87} eingefĂŒhrten {sf Push} und {sf Push-Pull} Protokolle, die grundlegende randomisierte Protokolle zur Informationsverbreitung in Netzwerken darstellen. In Kapitel 2 beschreiben wir ein neues Modell, in dem die Anzahl an Aufrufen jedes Knotens in jeder Runde unabhĂ€ngig von einer Zufallsverteilung mit beschrĂ€nktem Erwartungswert gezogen wird, die zu Beginn des Prozesses festgelegt wird. Das Modell ist nicht nur eine natĂŒrliche Erweiterung der Standardprotokolle, sondern dient auch als realistischeres Modell der Verbreitung von GerĂŒchten in Netzwerken deren EntitĂ€ten nicht uniform sind und unterschiedlich groĂen Einfluss haben können. Wir geben untere und obere Schranken fĂŒr die benötigte Zeit zur Verbreitung der GerĂŒchte an, in AbhĂ€ngigkeit von statistischen Eigenschaften von wie Erwartungswert und Varianz. WĂ€hrend bekannt ist, dass die Standardprotokolle Runden benötigen, um ein GerĂŒcht in einem vollstĂ€ndigen Netzwerk mit Knoten zu verbreiten, zeigen wir, dass das Push-Pull-Protokoll ein GerĂŒcht in Runden verbreitet, wenn einer Potenzgesetz-Verteilung mit Exponent folgt. DarĂŒberhinaus zeigen wir, im Falle , eine Laufzeit von . In Kapitel 3 analysieren wir das Verhalten des Standard-Push-Pull-Protokolls auf einer Klasse von Zufallsgraphen, den sogenannten Zufalls--BĂ€umen fĂŒr jede natĂŒrliche Zahl , die sich dafĂŒr eignen, schwach zusammenhĂ€ngende Netzwerke, Small-World-Netzwerke und skalenfreie Netzwerke zu modellieren. Hierbei zeigen wir, dass das {sf Push-Pull}-Protokoll ein GerĂŒcht von einem zufĂ€llig gewĂ€hlten informierten Knoten zu fast allen Knoten eines Zufalls--Baums mit Knoten in Runden mit hoher Wahrscheinlichkeit verbreiten kann, wobei eine fallende Funktion in ist. Wir leiten auch eine untere Schranke von fĂŒr die Laufzeit des Protokolls ab, um alle Knoten des Graphen zu informieren. Unsere Technik zum Beweis der oberen Schranke wird erfolgreich auf eine eng verwandte Klasse von Zufallsgraphen, der sogenannten -Apollonischen Graphen, ĂŒbertragen. Den Rest der Dissertation widmen wir der Untersuchung sowohl praktischer als auch theoretischer Aspekte von Zufallspfaden in Graphen. In Kapitel 3 zeigen wir die Existenz eines Cutoff-PhĂ€nomens fĂŒr einfache Zufallspfade in Kneser-Graphen. Ein Cutoff-PhĂ€nomen fĂŒr eine gegebene Sequenz von ergodischen Markovketten beschreibt einen abrupten Ăbergang bei der Konvergenz der Ketten gegen ihre stationĂ€re Verteilung ĂŒber einen vernachlĂ€ssigbaren Zeitraum, bekannt als textit{Cutoff-Fenster}. Um das Cutoff-PhĂ€nomen nachzuweisen kombinieren wir die spektrale Information der Transitionsmatrix und eine probabilistische Technik, bekannt als Wilson\u27s Methode cite{wilson}. Und schlieĂlich prĂ€sentieren wir in Kapitel 5 unter Einbeziehung von nicht-zurĂŒcksetzenden Zufallspfaden, eingefĂŒhrt von Alon et al. cite{AL07}, einen neuen Algorithmus um sequenziell BĂ€lle Körben zuzuweisen, die als -regulĂ€rer Graph mit Knoten organisiert sind, wobei eine beliebige ganze Zahl sein kann. Sei eine gegebene positive ganze Zahl. In jeder Runde , , wĂ€hlt Ball einen Knoten von zufĂ€llig mit gleicher Wahrscheinlichkeit und folgt einem nicht-zurĂŒcksetzenden Zufallspfad der LĂ€nge ab diesem gewĂ€hlten Knoten. Dann wĂ€hlt der Ball deterministisch eine Teilmenge der besuchten Knoten als potenzielle Kandidaten aus, und weist sich selbst demjenigen Kandidaten mit minimaler Last zu (GleichstĂ€nde werden beliebig gelöst). Wenn hinreichend groĂe Taillenweite hat, können wir eine obere Schranke fĂŒr die maximale Anzahl an BĂ€llen in jedem Bin nach der Zuweisung von BĂ€llen durch den Algorithmus angeben. Wir zeigen auch, dass diese obere Schranke bis auf einen -Faktor scharf ist. Insbesondere zeigen wir, dass die maximale Last mit hoher Wahrscheinlichkeit durch beschrĂ€nkt ist, wenn wir setzen, f"{u}r eine beliebige Konstante , und Taillenweite mindestens hat. smallskipnoindent. Diese Arbeit ist in englischer Sprache verfasst
LIPIcs, Volume 261, ICALP 2023, Complete Volume
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