Signed double Roman domination on cubic graphs

The signed double Roman domination problem is a combinatorial optimization problem on a graph asking to assign a label from $\{\pm{}1,2,3\}$ to each vertex feasibly, such that the total sum of assigned labels is minimized. Here feasibility is given whenever (i) vertices labeled $\pm{}1$ have at least one neighbor with label in $\{2,3\}$; (ii) each vertex labeled $-1$ has one $3$-labeled neighbor or at least two $2$-labeled neighbors; and (iii) the sum of labels over the closed neighborhood of any vertex is positive. The cumulative weight of an optimal labeling is called signed double Roman domination number (SDRDN). In this work, we first consider the problem on general cubic graphs of order $n$ for which we present a sharp $n/2+\Theta(1)$ lower bound for the SDRDN by means of the discharging method. Moreover, we derive a new best upper bound. Observing that we are often able to minimize the SDRDN over the class of cubic graphs of a fixed order, we then study in this context generalized Petersen graphs for independent interest, for which we propose a constraint programming guided proof. We then use these insights to determine the SDRDNs of subcubic $2\times m$ grid graphs, among other results

Advances in Discrete Applied Mathematics and Graph Theory

The present reprint contains twelve papers published in the Special Issue “Advances in Discrete Applied Mathematics and Graph Theory, 2021” of the MDPI Mathematics journal, which cover a wide range of topics connected to the theory and applications of Graph Theory and Discrete Applied Mathematics. The focus of the majority of papers is on recent advances in graph theory and applications in chemical graph theory. In particular, the topics studied include bipartite and multipartite Ramsey numbers, graph coloring and chromatic numbers, several varieties of domination (Double Roman, Quasi-Total Roman, Total 3-Roman) and two graph indices of interest in chemical graph theory (Sombor index, generalized ABC index), as well as hyperspaces of graphs and local inclusive distance vertex irregular graphs

Total protection in graphs

Suposem que una o diverses entitats estan situades en alguns dels vèrtexs d'un graf simple, i que una entitat situada en un vèrtex es pot ocupar d'un problema en qualsevol vèrtex del seu entorn tancat. En general, una entitat pot consistir en un robot, un observador, una legió, un guàrdia, etc. Informalment, diem que un graf està protegit sota una determinada ubicació d'entitats si hi ha almenys una entitat disponible per tractar un problema en qualsevol vèrtex. S'han considerat diverses estratègies (o regles d'ubicació d'entitats), sota cadascuna de les quals el graf es considera protegit. Aquestes estratègies de protecció de grafs s'emmarquen en la teoria de la dominació en grafs, o en la teoria de la dominació segura en grafs. En aquesta tesi, introduïm l'estudi de la w-dominació (segura) en grafs, el qual és un enfocament unificat a la idea de protecció de grafs, i que engloba variants conegudes de dominació (segura) en grafs i introdueix de noves. La tesi està estructurada com un compendi de deu articles, els quals han estat publicats en revistes indexades en el JCR. El primer està dedicat a l'estudi de la w-dominació, el cinquè a l'estudi de la w-dominació segura, mentre que els altres treballs estan dedicats a casos particulars d'estratègies de protecció total. Com és d'esperar, el nombre mínim d'entitats necessàries per a la protecció sota cada estratègia és d'interès. En general, s'obtenen fórmules tancades o fites ajustades sobre els paràmetres estudiats.Supongamos que una o varias entidades están situadas en algunos de los vértices de un grafo simple y que una entidad situada en un vértice puede ocuparse de un problema en cualquier vértice de su vecindad cerrada. En general, una entidad puede consistir en un robot, un observador, una legión, un guardia, etc. Informalmente, decimos que un grafo está protegido bajo una determinada ubicación de entidades si existe al menos una entidad disponible para tratar un problema en cualquier vértice. Se han considerado varias estrategias (o reglas de ubicación de entidades), bajo cada una de las cuales el grafo se considera protegido. Estas estrategias de protección de grafos se enmarcan en la teoría de la dominación en grafos, o en la teoría de la dominación segura en grafos. En esta tesis, introducimos el estudio de la w-dominación (segura) en grafos, el cual es un enfoque unificado a la idea de protección de grafos, y que engloba variantes conocidas de dominación (segura) en grafos e introduce otras nuevas. La tesis está estructurada como un compendio de diez artículos, los cuales han sido publicados en revistas indexadas en el JCR. El primero está dedicado al estudio de la w-dominación, el quinto al estudio de la w-dominación segura, mientras que los demás trabajos están dedicados a casos particulares de estrategias de protección total. Como es de esperar, el número mínimo de entidades necesarias para la protección bajo cada estrategia es de interés. En general, se obtienen fórmulas cerradas o cotas ajustadas sobre los parámetros estudiadosSuppose that one or more entities are stationed at some of the vertices of a simple graph and that an entity at a vertex can deal with a problem at any vertex in its closed neighbourhood. In general, an entity could consist of a robot, an observer, a legion, a guard, and so on. Informally, we say that a graph is protected under a given placement of entities if there exists at least one entity available to handle a problem at any vertex. Various strategies (or rules for entities placements) have been considered, under each of which the graph is deemed protected. These strategies for the protection of graphs are framed within the theory of domination in graphs, or in the theory of secure domination in graphs. In this thesis, we introduce the study of (secure) w-domination in graphs, which is a unified approach to the idea of protection of graphs, that encompasses known variants of (secure) domination in graphs and introduces new ones. The thesis is structured as a compendium of ten papers which have been published in JCR-indexed journals. The first one is devoted to the study of w-domination, the fifth one is devoted to the study of secure w-domination, while the other papers are devoted to particular cases of total protection strategies. As we can expect, the minimum number of entities required for protection under each strategy is of interest. In general, we obtain closed formulas or tight bounds on the studied parameters

Trees with Unique Italian Dominating Functions of Minimum Weight

An Italian dominating function, abbreviated IDF, of $G$ is a function $f \colon V(G) \rightarrow \{0, 1, 2\}$ satisfying the condition that for every vertex $v \in V(G)$ with $f(v)=0$, we have $\sum_{u \in N(v)} f(u) \ge 2$. That is, either $v$ is adjacent to at least one vertex $u$ with $f(u) = 2$, or to at least two vertices $x$ and $y$ with $f(x) = f(y) = 1$. The Italian domination number, denoted $\gamma_I$(G), is the minimum weight of an IDF in $G$. In this thesis, we use operations that join two trees with a single edge in order to build trees with unique $\gamma_I$-functions