Solving Polynomial Systems via a Stabilized Representation of Quotient Algebras

We consider the problem of finding the isolated common roots of a set of polynomial functions defining a zero-dimensional ideal I in a ring R of polynomials over C. We propose a general algebraic framework to find the solutions and to compute the structure of the quotient ring R/I from the null space of a Macaulay-type matrix. The affine dense, affine sparse, homogeneous and multi-homogeneous cases are treated. In the presented framework, the concept of a border basis is generalized by relaxing the conditions on the set of basis elements. This allows for algorithms to adapt the choice of basis in order to enhance the numerical stability. We present such an algorithm and show numerical results

A prolongation-projection algorithm for computing the finite real variety of an ideal

We provide a real algebraic symbolic-numeric algorithm for computing the real variety $V_R(I)$ of an ideal $I$, assuming it is finite while $V_C(I)$ may not be. Our approach uses sets of linear functionals on $R[X]$, vanishing on a given set of polynomials generating $I$ and their prolongations up to a given degree, as well as on polynomials of the real radical ideal of $I$, obtained from the kernel of a suitably defined moment matrix assumed to be positive semidefinite and of maximum rank. We formulate a condition on the dimensions of projections of these sets of linear functionals, which serves as stopping criterion for our algorithm. This algorithm, based on standard numerical linear algebra routines and semidefinite optimization, combines techniques from previous work of the authors together with an existing algorithm for the complex variety. This results in a unified methodology for the real and complex cases.Comment: revised versio

Iterative and parallel methods for linear systems, with applications in circuit simulation

Bij het ontwerp van elektronische schakelingen, ie gebruikt wor en in bijvoorbeeld CD-spelers en mobiele telefoons, maakt e ontwerper veelvul ig gebruik van circuitsimulatie Bij circuitsimulatie wor t het ge rag van een schakeling (circuit) oorgereken met een computer Hier oor wor t het maken van ure prototypes groten eels overbo ig Ook zou zon er eze simulaties het ontwerpen van complexe ge¨integreer e schakelingen, met vele uizen en transistoren, con ensatoren, weerstan en en ergelijke, niet mogelijk zijn Om snel een circuit te kunnen ontwerpen is het voor e ontwerper van belang at e simulatie niet te veel (computer-)rekentij kost Met snellere (slimmere) rekenmetho en en ook met snellere computers, kan e rekentij verkort wor en Dit proefschrift gaat groten eels over metho en ie tot oel hebben e rekentij voor het simuleren van een circuit korter te maken De nieuwe metho en ie we ontwikkel hebben zou en echter ook nuttig kunnen zijn bij e simulatie van an ere verschijnselen, zoals bijvoorbeel vloeistofstromingen en chemische processen Bij het simuleren van circuits wor t e meeste rekentij gebruikt voor het oplossen van grote stelsels lineaire algebra¨ische vergelijkingen Een stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbeken en, x en y, is bijvoorbeel 3x +5y =14 2x 3y =3, met als oplossing x =3eny = 1 Bij circuitsimulatie kunnen e stelsels zeer veel, bijvoorbeel meer an 50000, vergelijkingen hebben en evenveel onbeken en Deze stelsels hebben an wel een ijle structuur Dat wil zeggen at er veel vergelijkingen zijn ie slechts van een klein aantal onbeken en afhangen Door op een slimme manier gebruik te maken van eze structuur kan er veel rekentij bespaar wor en Na het inlei en e eerste hoof stuk beschrijven we in e hoof stukken 2 en 3 een gecombineer e irecte en iteratieve metho e voor het oplossen van eze stelsels vergelijkingen Bij een irecte metho e wor en onbeken en weggewerkt oor een geschikt veelvou van een vergelijking bij een an ere vergelijking op te tellen Op eze manier kan uitein- elijk e oplossing van het grote stelsel uitgereken wor en Bij een iteratieve metho e gebeurt ongeveer hetzelf e, maar e hoeveelhei rekenwerk wor t sterk beperkt oor op geschikte plaatsen in het proces co¨effici¨enten te verwaarlozen Het resultaat is an wel een bena ering van e oplossing in plaats van e exacte oplossing Men tracht e fout in e oplossing te verkleinen oor een correctie op e oplossing aan te brengen Deze correctie wor t gevon en oor een vergelijking voor e fout op te stellen en eze even-eens bij bena ering op te lossen Dit wor t herhaal tot at een vol oen nauwkeurige oplossing gevonden is In e praktijk maken circuitsimulatie-programma s vooral gebruik van irecte metho- en, om at eze sneller bleken te zijn an e tot nu toe bestaan e iteratieve metho en In hoof stuk 2 laten we zien at een gecombineer e irecte en iteratieve metho e wel rie keer sneller kan zijn an een irecte metho e Een prettige bijkomstighei van eze aanpak is at hij ook geschikt is voor parallelle computers Dat zijn computers waarin twee of meer processoren samenwerken Met eze computers kan het rekenwerk ver er versnel wor en met een factor ie kan oplopen tot het aantal processoren Hoofdstuk 4 gaat over het oplossen van lineaire stelsels vergelijkingen die optreden bij het simuleren van de periodieke stabiele toestan van een circuit Het gaat hierbij om circuits waarvan alle spannings- en stroombronnen periodiek zijn in de tijd. Dit heeft tot gevolg dat alle spanningen en stromen in het circuit zich na een bepaalde periode herhalen Simulatie van deze circuits geeft lineaire stelsels met een cyclische structuur Bestaande methoden voor it soort stelsels zijn niet zo goed geschikt voor parallelle computers De methode die we in hoofdstuk 4 voorstellen is dat wel De totale hoeveelheid rekenwerk is bij deze methode iets groter dan bij de bestaande methoden, maar dankzij het parallellisme kunnen de stelsels vergelijkingen op een parallelle computer toch beduiden sneller worden opgelost Hoofdstuk 5 gaat over een iteratieve methode voor lineaire stelsels vergelijkingen waarbij de co¨effici¨entenmatrix een polynoom is van een andere matrix Dit type lineaire stelsels komt onder andere voor bij een toepassing in de natuurkunde Er zijn (nog) geen toepassingen in circuitsimulatie Door de speciale structuur van het stelsel uit te buiten verkrijgen we een effici¨ente methode De nieuwe methode geeft vaak iets nauwkeuriger resultaten dan de bestaande methoden voor dit soort stelsel

Certifying isolated singular points and their multiplicity structure

This paper presents two new constructions related to singular solutions of polynomial systems. The first is a new deflation method for an isolated singular root. This construc-tion uses a single linear differential form defined from the Jacobian matrix of the input, and defines the deflated system by applying this differential form to the original system. The advantages of this new deflation is that it does not introduce new variables and the increase in the number of equations is linear instead of the quadratic increase of previous methods. The second construction gives the coefficients of the so-called inverse system or dual basis, which defines the multiplicity structure at the singular root. We present a system of equations in the original variables plus a relatively small number of new vari-ables. We show that the roots of this new system include the original singular root but now with multiplicity one, and the new variables uniquely determine the multiplicity structure. Both constructions are "exact", meaning that they permit one to treat all conjugate roots simultaneously and can be used in certification procedures for singular roots and their multiplicity structure with respect to an exact rational polynomial system

Stable normal forms for polynomial system solving

This paper describes and analyzes a method for computing border bases of a zero-dimensional ideal $I$. The criterion used in the computation involves specific commutation polynomials and leads to an algorithm and an implementation extending the one provided in [MT'05]. This general border basis algorithm weakens the monomial ordering requirement for \grob bases computations. It is up to date the most general setting for representing quotient algebras, embedding into a single formalism Gr\"obner bases, Macaulay bases and new representation that do not fit into the previous categories. With this formalism we show how the syzygies of the border basis are generated by commutation relations. We also show that our construction of normal form is stable under small perturbations of the ideal, if the number of solutions remains constant. This new feature for a symbolic algorithm has a huge impact on the practical efficiency as it is illustrated by the experiments on classical benchmark polynomial systems, at the end of the paper

Solving polynomial systems via symbolic-numeric reduction to geometric involutive form

AbstractWe briefly survey several existing methods for solving polynomial systems with inexact coefficients, then introduce our new symbolic-numeric method which is based on the geometric (Jet) theory of partial differential equations. The method is stable and robust. Numerical experiments illustrate the performance of the new method

A Generic Position Based Method for Real Root Isolation of Zero-Dimensional Polynomial Systems

We improve the local generic position method for isolating the real roots of a zero-dimensional bivariate polynomial system with two polynomials and extend the method to general zero-dimensional polynomial systems. The method mainly involves resultant computation and real root isolation of univariate polynomial equations. The roots of the system have a linear univariate representation. The complexity of the method is $\tilde{O}_B(N^{10})$ for the bivariate case, where $N=\max(d,\tau)$, $d$ resp., $\tau$ is an upper bound on the degree, resp., the maximal coefficient bitsize of the input polynomials. The algorithm is certified with probability 1 in the multivariate case. The implementation shows that the method is efficient, especially for bivariate polynomial systems.Comment: 24 pages, 5 figure