Effiziente reduzierte Newton-ähnliche Verfahren zur Behandlung hochdimensionaler strukturierter Optimierungsprobleme mit Anwendung bei biologischen und chemischen Prozessen

Ein neues direktes Mehrfach-Schießverfahren für beschränkte Mehrstufen-Optimierungsprobleme mit hochdimensionalen differentiell-algebraischen Prozeß-Modellen wird präsentiert. Insbesondere für Optimierungsprobleme mit vielen Zustandsvariablen aber wenigen Freiheitsgraden ist dieses Verfahren geeignet. Diese kommen beispielsweise bei Optimal-Steuerungs- und Parameteridentifizierungsproblemen mit örtlich diskretisierten instationären partiellen differential-algebraischen Gleichungsmodellen (PDAEs) vor. Durch stückweise Steuerungsparameterisierung und Mehrziel-Zustandsparameterisierung auf demselben Gitter wird das resultierende Mehrpunkt-Randwertproblem mit speziell angepaßten partiell reduzierten Newton-ähnlichen Methoden gelöst. Die Methoden stellen eine Erweiterung der direkten Mehrfach-Schießverfahren für DAE-Modelle vom Index 1 dar. Essentiell ist die Reduktion der Anzahl der Richtungsableitungen in den Newton-ähnlichen Methoden, um die Berechnung der Newton-Iterierten zu beschleunigen. Bei den hier betrachteten Problemen wird gezeigt, daß die Zahl der Richtungsableitungen unabhängig von der Zustandsdimension ist. Dies kann durch Projektion auf den Raum der Steuerungen und globalen Parametern erreicht werden. Dazu wird die algorithmische Differentiation für die Modell-Gleichungen und die Interne Numerische Differentiation miteinander kombiniert, um die reduzierten QPs der Newton-ähnlichen Optimierungsalgorithmen effizient aufzusetzen. Es wird gezeigt, daß die neuen Methoden sowohl für den Offline-Einsatz als auch für den Online-Einsatz im Rahmen der Nichtlinearen Modellprädiktiven Regelung besonders geeignet sind. Anhand von Mehrstufen-Optimal-Steuerungsproblemen aus der Literatur und Anwendungen aus der (bio-)chemischen Verfahrenstechnik wird die Performance der neuen Methoden demonstriert: Parameterschätzung einer in-vitro Wirkstoff-Freisetzung eines Zahnfleisch-Implantats modelliert durch eine instationäre eindimensionale Reaktions-Diffusions-PDE, Optimal-Steuerung (Einhaltung von Reinheitsbedingungen) einer kontinuierlichen Destillationskolonne modelliert durch eine hochdimensionale steife DAE sowie Parameterschätzung und Optimal-Steuerung (Durchsatzmaximierung) bei einem katalytischen Rohrreaktor modelliert durch eine instationäre zweidimensionale Konvektions-Diffusions-PDE (Kooperation mit Bayer, Leverkusen). Die erste Anwendung ist in der Ortsdiskretisierung skaliert und dient zum Vergleich der IND-Ansätze, der Modell-Implementationen und der Reduktionsansätze. Die zweite Anwendung stellt ein Benchmark-Problem für die neuen Methoden im Offline- und Online-Zusammenhang dar. Ein Vergleich zu State-of-the-Art Echtzeit-Optimierungsmethoden wird angegeben. Die letzte Anwendung zeigt die Eignung der neuen Methoden für industrielle hochdimensionale PDAE-beschränkte Optimierungsprobleme. Es wird gezeigt, daß der Durchsatz um 12 % gesteigert werden kann, zusammen mit einer Reduktion des Katalysatorgehalts um 50 %

Effiziente Ableitungsbestimmung bei hochdimensionaler nichtlinearer Optimierung

Calculating or approximating derivative information in an efficient way is one of the major tasks when high dimensional nonlinear optimization problems are to be solved. The thesis shows various new ways both in the area of finite differences and in the area of update formalae to tackle this problem. One of the results in this thesis is the development of a sparse BFGS-similar method for which superlinear convergence properties are shown

Regularization in fractional order Sobolev spaces for a parameter identification problem

In this work we aim the identification of an unknown parameter function in the main part of an elliptic partial differential equation. It is a well known fact, that identification problems are in general ill-posed. Our idea is to apply a Tichonov-type regularization in fractional order Sobolev spaces. For such a problem, we derive existence of solutions and first order necessary conditions. Under a size condition for the regularization parameters, corresponding to the fractional order of differentiation, we are able to derive a second order sufficient condition as well. Fractional order Sobolev norm are challenging to implement. We therefore prove their equivalence to a multilevel based operator norm, for s ∈ [0,3/2), which we can implement. This operator norm and the second order sufficient condition enable us to show superlinear convergence of an SQP-method. In the end we present a numerical example.In dieser Arbeit beabsichtigen wir unbekannte Parameterfunktionen im Hauptteil von elliptischen partiellen Differentialgleichungen zu identifizieren. Es ist eine allgemein bekannte Tatsache, dass solche Identifikationsprobleme im Allgemeinen schlecht gestellte Probleme darstellen. Daher ist unsere Idee, das Problem mit einem Tichonovterm in Sobolevräumen von reellwertiger Ordnung zu regularisieren. Für dieses Problem leiten wir Existenz von Lösungen und notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung her. Setzen wir eine Bedingung an den Regularisierungsparameter s, der der Ordnung des Sobolevraums entspricht, voraus, können wir auch hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung herleiten. Normen zu Sobolevräumen reellwertiger Ordnung sind sehr schwierig zu implementieren. Daher führen wir eine Multilevel basierte Operatornorm ein, deren Äquivalenz zu Sobolevnormen wir für s∈[0,3/2) beweisen. Diese sind einfacher zu implementieren. Die Operatornorm und die hinreichende Optimalitätsbedingung sind Zutaten mit deren Hilfe wir superlineare Konvergenz eines SQP-Verfahrens zeigen. Am Ende stellen wir ein numerisches Beispiel vor

Optimierung von dynamischen Multiple-Setpoint-Problemen mit Anwendung bei Fahrzeugmodellen

Die vorliegende Arbeit präsentiert eine neue anwendungsgerechte Methode für nichtlineare Optimierungsprobleme. Die Formulierung eines sogenannten Multiple-Setpoint-Problems führt zu Lösungen, die in der praktischen Anwendung oft deutlich bessere Ergebnisse erzielen als bei der üblichen Formulierung eines Optimierungproblems, da für einen ganzen Bereich (Multiple-Setpoint-Lösung) optimiert wird und nicht für einen einzigen festen Parametersatz (Single-Setpoint-Lösung). Gesucht sind Lösungen, die in dem Sinne optimal für verschiedene Szenarien oder für einen ganzen Parameterbereich sind, daß sie Nebenbedingungen für alle Szenarien einhalten und eine Zielfunktion in einem Mittel oder in einem Worst Case minimieren. Obwohl solche Lösungen in vielen Bereichen von großem Nutzen sind, ist die Multiple-Setpoint-Optimierung ein bisher wenig untersuchter Bereich. Zur Untersuchung von Optimierungsstrategien wird eine Problemklasse herausgegriffen -- die Probleme der optimalen Steuerung von Systemen, die sich durch differentiell-algebraische Gleichungen (DAE) beschreiben lassen. Mithilfe des Randwertproblemansatzes und einer Diskretisierung durch Bocks direkte Mehrziel-Methode (Bock's direct multiple shooting) werden die Probleme in große endlich-dimensionale nichtlineare Optimierungsprobleme transformiert, die mit einem SQP-Verfahren gelöst werden können. In dieser Arbeit wird eine allgemeine mathematische Problemformulierung für die Klasse der Multiple-Setpoint-Probleme und ein neuartiger, strukturausnutzender SQP-Algorithmus für Multiple-Setpoint-Probleme aus dem Bereich der optimalen Steuerung gegeben. Der Algorithmus ermöglicht es, neue Problemklassen zu behandeln bzw. Lösungen zu produzieren, die für den praktischen Einsatz in vielen Fällen geeigneter sind als bei bisherigen Optimierungsansätzen. Der Einsatz des neuen Algorithmus wird an einem komplexen Problem aus der Industrie demonstriert. In einem Auto soll durch eine Optimierung der Motorlagerung die Schwingungsübertragung von Straße und Motor auf den Fahrersitz in einem Frequenzbereich minimiert und somit der Fahrkomfort erhöht werden. Mithilfe einer (3-dimensionalen) Mehrkörpersimulation in natürlichen Koordinaten wird ein Automodell mit 32 kinematischen Freiheitsgraden betrachtet. Eine Fourier-Analyse hilft, die Schwingungsübertragung zu untersuchen. Das entstehende nichtlineare Optimierungsproblem hat eine Dimension von mehreren tausend Variablen. Durch Anwendung des neuen Algorithmus kann (unter Einhaltung von gewissen Nebenbedingungen) eine optimierte Motorlagerung gefunden werden, die eine Reduktion der Schwingungsübertragung im vorgegebenen Frequenzbereich um ca. 80% gegenüber der gegebenen Startlösung erzielt. Die Implementierung des neuen Multiple-Setpoint-Algorithmus' wird in einem neuen Softwarepaket realisiert, das bei der Firma Freudenberg im industriellen Einsatz ist. Die entwickelte Software basiert auf der Optimierungssoftware für Probleme der optimalen Steuerung MUSCOD-II sowie dem objekt-orientierten Modellierungstool für Mehrkörpersysteme MBSNAT, mit dem die Modellierung des Fahrzeugs inklusive der Berechung der für die Optimierung nötigen Ableitungen geschieht

Unstabilized hybrid high-order method for a class of degenerate convex minimization problems

The relaxation procedure in the calculus of variations leads to minimization problems with a quasi-convex energy density. In some problems of nonlinear elasticity, topology optimization, and multiphase models, the energy density is convex with some convexity control plus two-sided $p$-growth. The minimizers may be non-unique in the primal variable, but define a unique stress variable $\sigma$. The approximation by hybrid high-order (HHO) methods utilizes a reconstruction of the gradients in the space of piecewise Raviart-Thomas finite element functions without stabilization on a regular triangulation into simplices. The application of the HHO methodology to this class of degenerate convex minimization problems allows for a unique $H(\div)$ conform stress approximation $\sigma_h$. The a priori estimates for the stress error $\sigma - \sigma_h$ in the Lebesgue norm are established for mixed boundary conditions without additional assumptions on the primal variable and lead to convergence rates for smooth solutions. The a posteriori analysis provides guaranteed error control, including a computable lower energy bound, and a convergent adaptive scheme. Numerical benchmarks display higher convergence rates for higher polynomial degrees and provide empirical evidence for the superlinear convergence of the lower energy bound. Although the focus is on the unstabilized HHO method, a detailed error analysis is provided for the stabilized version with a gradient reconstruction in the space of piecewise polynomials

Ein Vergleich verschiedener Verfahren zur Optimierung mehrlagiger Perzeptron-Netze für die Modellierung dynamischer Systeme mit chaotischem Verhalten

[no abstract

Ein Beitrag zur kennwertorientierten Entwicklung kurvengesteuerter, ebener Schrittgetriebe

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der kennwertorientieren Ermittlung günstiger Hauptabmessungen bei ebenen Schrittgetrieben. Auf Basis normierter Größen wird ein Verfahren vorgestellt, welches die Dimensionierung der Eingriffsorgane (Kurvenrollen) in den Syntheseprozess integriert und somit eine eigenschaftsbezogene Auslegung ermöglicht. Es werden Grenzabmessungen definiert und getriebespezifische, normierte Kennwert-Diagramme entwickelt, die dem Auslegungsprozess als Grundlage dienen.The document covers the determination of convenient dimensions for indexing parallel cam mechanisms based on characteristic values. Based on this normalized values a method is introduced, which integrates the dimensioning of the cam rollers into the mechanism synthesis, hence a design process is facilitated regarding properties. Limitations for dimensions are defined and mechanism specific, normalized graphs will be the basis for the whole design process