Synthèse exacte et efficace du mouvement brownien fractionnaire 1D

- La méthode de la matrice circulante est une méthode de synthèse exacte de processus gaussiens stationnaires basée sur la transformée de fourier rapide. Dans ce travail, il est montré qu'elle est efficace pour les bruits gaussiens fractionnaires de paramètre 0 < H < 1, et donc pour le mouvement brownien fractionnaire. Il en résulte un algorithme exact et efficace de synthèse du mouvement brownien fractionnaire. Cet algorithme a une complexité en O(NlogN) et une occupation mémoire en O(N), alors que ces deux caractéristiques sont en O(N2) pour la classique factorisation de de Cholesky

Analyse de champs browniens fractionnaires anisotropes

Cette communication présente la Méthode des Moyennes Directionnelles (MMD) pour analyser un Champ Brownien Fractionnaire Anisotrope (CBFA) défini dans le domaine spectral par un paramètre de Hurst H(θ) variable suivant la direction θ. Pour une direction φ donnée sur l'image, on calcule la moyenne de lignes dans cette direction ainsi que la régularité R(φ) du signal résultant. Nous montrons que pour θ = (p + π/2, la fonction H(θ) vaut R(φ) - 1/2 et peut-être ainsi estimée. Nous avons testé cette méthode sur des images type fractales isotropes et sur des CBFA synthétisés par la méthode de Fourier inverse. Les résultats apparaissent tout à fait corrects malgré les difficultés de synthèse précise de CBFA, de l'analyse de signaux dont l'exposant de Hôlder dépasse 1, et de la discrétisation des images. Ces travaux ouvrent des perspectives intéressantes concernant le calcul possible des paramètres d'une structure fractale poreuse 3D connue par sa projection comme c'est le cas pour une radiographie

Analyse fractale par morceaux de radiographies osseuses

- L'objectif de cette étude est de proposer, à partir du mouvement brownien fractionnaire (fBm) de paramètre H, un modèle plus général qui puisse englober des phénomènes présentant un caractère fractal par morceaux lors d'une analyse en fréquence. Ce nouveau modèle est appelé pfBm de paramètres Ho en basse fréquence, Hi en haute fréquence, ces deux régimes étant séparés par une fréquence de coupure γ. Pour Ho=Hi=H, le pfBm se réduit au fBm, lui même étant le mouvement brownien pour H=0.5. Nous pensons que le pfBm fournit ainsi un outil plus flexible que le fBm pour l'expérimentateur. Nous avons montré que ce processus a des incréments stationnaires et qu'il est autosimilaire de paramètre Ho pour les basses fréquences et de paramètre Hi pour les hautes fréquences. Nous avons alors étudié des radiographies trabéculaires osseuses qui présentent ce caractère bifractal. Les résultats montrent que l'analyse fractale par morceaux est plus efficace que l'analyse fractale standard pour diagnostiquer les modifications de la micro-architecture osseuse liées à l'ostéoporose

Multi-Mixed Fractional Brownian Motions and Orstein--Uhlenbeck Processes

We consider the so-called multi-mixed fractional Brownian motions (mmfBm) and multi-mixed fractional Ornstein--Ulhenbeck processes (mmfOU). These processes are constructed by mixing or by superimposing infinitely many independent fractional Brownian motions and fractional Ornstein--Uhlenbeck processes, respectively. We prove their existence as $L^2$ processes and study their path properties, viz. H\"older continuity and conditional full support property. In the finite mixture case we study their statistical parameter estimation by using generalized method of moments (GMM) estimators

Relation entre la régularité de fractals 3D et celle de leurs projections 2D. Application à l'os trabéculaire

Deux des auteurs ont récemment établi que la régularité Rn d'un fractal continu isotrope de dimension n (nD) est égale à celle sa projection Rn-1 dans un espace (n-1)D diminuée de 0.5, ou plus clairement, Rn = Rn-1 - 0.5. Dans un premier temps, l'objectif de cette étude est d'expliquer brièvement ce résultat et de l'illustrer sur des volumes fractals synthétiques, continus et binaires, et leurs projections. Pour les fractals continus, les résultats sont proches de eux qu'il convient de trouver pour H faible. Pour H élevé, il apparaît des difficultés liées essentiellement aux défauts de la méthode de synthèse retenue. Pour les fractals binaires, l'écart de 0.5 qu'il est possible de trouver entre la régularité du volume et celle de sa projection n'est pas clairement établie. Dans un deuxième temps, nous avons expérimentalement étudié si cette relation est valide pour l'os trabéculaire et sa projection. Nous avons analysé 22 échantillons de tête de fémur imagés par micro-scanner. Nous trouvons une différence entre la régularité 2D et celle en 3D de 0.53 ± 0.046. Ceci indique que le la relation qui lie la régularité 3D d'un volume fractal à celle de sa projection s'applique pour cet objet binaire. Une simple mesure 2D permettrait alors de quantifier la structure trabéculaire 3D et pourrait se révéler d'une grande force pour le diagnostic précoce de l'ostéoporose

Long-range dependent completely correlated mixed fractional Brownian motion

In this paper we introduce the long-range dependent completely correlated mixed fractional Brownian motion (ccmfBm). This is a process that is driven by a mixture of Brownian motion (Bm) and a long-range dependent completely correlated fractional Brownian motion (fBm, ccfBm) that is constructed from the Brownian motion via the Molchan–Golosov representation. Thus, there is a single Bm driving the mixed process. In the short time-scales the ccmfBm behaves like the Bm (it has Brownian Hölder index and quadratic variation). However, in the long time-scales it behaves like the fBm (it has long-range dependence governed by the fBms Hurst index). We provide a transfer principle for the ccmfBm and use it to construct the Cameron–Martin–Girsanov–Hitsuda theorem and prediction formulas. Finally, we illustrate the ccmfBm by simulations.© 2023 The Author(s). Published by Elsevier B.V. This is an open access article under the CC BY license (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).fi=vertaisarvioitu|en=peerReviewed

Estimation of anisotropic Gaussian fields through Radon transform

26 pagesInternational audienceWe estimate the anisotropic index of an anisotropic fractional Brownian field. For all directions, we give a convergent estimator of the value of the anisotropic index in this direction, based on generalized quadratic variations. We also prove a central limit theorem. First we present a result of identification that relies on the asymptotic behavior of the spectral density of a process. Then, we define Radon transforms of the anisotropic fractional Brownian field and prove that these processes admit a spectral density satisfying the previous assumptions. Finally we use simulated fields to test the proposed estimator in different anisotropic and isotropic cases. Results show that the estimator behaves similarly in all cases and is able to detect anisotropy quite accurately

Transfer Principle for nth order Fractional Brownian Motion with Applications to Prediction and Equivalence in Law

The n-th order fractional Brownian motion was introduced by Perrin et al. [13]. It is the (up to a multiplicative constant) unique self-similar Gaussian process with the Hurst index H∈(n-1,n), having n-th order stationary increments. We provide a transfer principle for the n-th order fractional Brownian motion, i. e., we construct a Brownian motion from the n-th order fractional Brownian motion and then represent the n-th order fractional Brownian motion by using the Brownian motion in a non-anticipative way so that the filtrations of the n-th order fractional Brownian motion and the associated Brownian motion coincide. By using this transfer principle, we provide the prediction formula for the n-th order fractional Brownian motion and also a representation formula for all Gaussian processes that are equivalent in law to the n-th order fractional Brownian motion.fi=vertaisarvioitu|en=peerReviewed