Hálók és más algebrák = Lattices and other algebras

A tervezett 10 cikk helyett megjelent 15, megjelenés alatt áll 6, és további 8 be van nyújtva. A fő eredmények az alábbiak. Jelöljön F féligmoduláris, D pedig véges disztributív hálót. Ha F véges hosszúságú, akkor fedésőrzően ekvivalenciahálóba ágyazható be [19]. Új struktúratételünk: ha F véges, akkor alkalmas D-ből nyerhető [8]. Fordítva, D pedig egy majdnem geometriai F kongruenciahálójával izomorf [21]. Több tétel jelzi, hogy beindult a fraktálhálók kutatása [4, 5]. Hálók kombinatorikai vonatkozásai terén eredmények születtek a Frankl-sejtésről [9, 11, 15], a CD és CDW bázisokról [13, 14], valamint a sziget számáról [6, 28, 29]. Az involúciós hálókra nyert eredményeknek kísérőhálókra vonatkozó következménye is van [26]. A 2-uniform kongruenciák felcserélhetőségének kutatása [1, 3] egy új lezárási operátorhoz vezetett [7, 10, 17]. | Instead of the planned 10 research papers, 15 have appeared, 6 are accepted and 8 are submitted. The main results are as follows. Let F resp. D denote a semimodular resp. finite distributive lattice. If F is of finite length, then it has a cover-preserving embedding into an equivalence lattice [19]. Our new structure theorem states that if F is finite, then it is derived from a suitable D [8]. In the other direction, D is isomorphic to the congruence lattice of an almost geometric F [21]. Several theorems indicate the start of studying fractal lattices [4, 5]. Belonging to the combinatorial aspects of lattice theory, results on Frankl's conjecture [9, 11, 15], CD and CDW bases [13, 14], and the number of islands [6, 28, 29] have been achieved. New results on involution lattices were proved and applied to related lattices [26]. The study of permutability of 2-uniform congruences [1, 3] led to a new closure operator [7, 10, 17]

Algebrák és kísérőstruktúráik = Algebras and their related structures

Bebizonyítottuk, hogy - a várakozásokkal ellentétben - véges algebrákra eldönthető, hogy van-e n-változós többségi kifejezésfüggvényük valamely n-re, és hogy véges csoportok izomorfiája nem következik a köbeik részcsoporthálójának izomorfiájából. Megmutattuk, hogy minden végesen generált, relatív kongruencia-metszet-féligdisztributív kvázivarietás rendelkezik véges kváziazonosság-bázissal, s hogy lokálisan véges varietásban a véges algebrák kompatibilis részbenrendezett halmazaira (topológiáira) kirótt különböző feltételek ekvivalensek azzal, hogy a varietás típushalmazában az öt Hobby-McKenzie-féle típus közül bizonyosak nem szerepelnek. Beláttuk, hogy minden E-tömör lokálisan inverz félcsoport beágyazható teljesen egyszerű félcsoport inverz félcsoporttal vett lambda-szemidirekt szorzatába. Bebizonyítottuk, hogy az a probléma, hogy létezik-e minden véges inverz monoidnak véges F-inverz fedője, ekvivalens a véges relatívan szabad csoportok Cayley-gráfjainak bizonyos tulajdonságával, s ennek segítségével a probléma visszavezethető véges inverz monoidoknak egy viszonylag szűk halmazára. Optimális Malcev-feltételeket konstruáltunk a modularitásnál erősebb hálóazonosságokra. Leírást adtunk nagy szimmetriával rendelkező klónokra, bizonyos centralizátor klónokra, továbbá olyan klónokra, amelyek unér része (maximális) inverz monoid. | We proved that - contrary to expectation - it is decidable for a finite algebra whether it has a near unanimity term operation, and that the ismorphism of finite groups does not follow from the isomorphism of the subgroup lattices of their direct cubes. We showed that every finitely generated, relatively congruence meet-semidistributive quasivariety has a finite basis of quasi-identities, and that in a locally finite variety certain conditions imposed on the compatible partial orders (topologies) of the finite algebras are equivalent to omissions of some of the five Hobby-McKenzie types from the type set of the variety. We proved that every E-solid locally inverse semigroup can be embedded in a lambda-semidirect product of a completely simple semigroup by an inverse semigroup. We showed that the problem whether every finite inverse monoid has a finite F-inverse cover is equivalent to a certain property of the Cayley graphs of finite, relatively free groups, and therefore the problem can be reduced to a relatively small class of finite inverse monoids. We constructed optimal Mal'tsev conditions for lattice identities that are stronger than modularity. We described clones with a high degree of symmetry, certain centralizer clones, and clones whose unary part is a (maximal) inverse monoid

Lattices and invariants

Lattices and groups are important algebraic structures and they are the most important related algebraic structures. They often appear in many branches of algebra, they are clear enough to consider easily, and rich enough to characterize many types of algebraic properties

Invariance groups of finite functions and orbit equivalence of permutation groups

Which subgroups of the symmetric group Sn arise as invariance groups of n-variable functions defined on a k-element domain? It appears that the higher the difference n-k, the more difficult it is to answer this question. For k ≤ n, the answer is easy: all subgroups of Sn are invariance groups. We give a complete answer in the cases k = n-1 and k = n-2, and we also give a partial answer in the general case: we describe invariance groups when n is much larger than n-k. The proof utilizes Galois connections and the corresponding closure operators on Sn, which turn out to provide a generalization of orbit equivalence of permutation groups. We also present some computational results, which show that all primitive groups except for the alternating groups arise as invariance groups of functions defined on a three-element domain