7 research outputs found
On the ideal associated to a linear code
This article aims to explore the bridge between the algebraic structure of a
linear code and the complete decoding process. To this end, we associate a
specific binomial ideal to an arbitrary linear code. The
binomials involved in the reduced Gr\"obner basis of such an ideal relative to
a degree-compatible ordering induce a uniquely defined test-set for the code,
and this allows the description of a Hamming metric decoding procedure.
Moreover, the binomials involved in the Graver basis of
provide a universal test-set which turns out to be a set containing the set of
codewords of minimal support of the code
Hadamard full propelinear codes of type Q. Rank and Kernel
Los sistemas de comunicación se nutren de técnicas algebraicas y combinat
óricas para recuperar la información en presencia de ruído e interferencias.
Los códigos Hadamard constituyen una familia relevante en la teoría de
códigos y ellos han sido objeto de estudio desde el siglo XX, por cientí cos
como Turyn. Aunque estos códigos no son lineales en general, ellos poseen
propiedades algebraicas y combinatóricas que permiten codi car, transmitir
y decodi car un mensaje a través de un canal ruidoso. Los mecanismos más
potentes para construír códigos de Hadamard con una estructura de grupo
algebraico subyacente son: las matrices de Hadamard cocíclicias, los conjuntos
de diferencias relativas, los grupos de Hadamard y los códigos Hadamard
properlineales.
El propósito de esta tesis es explorar las propiedades algebraicas y combinat
óricas de una subfamilia de los códigos Hadamard properlineales, que
denominamos códigos Hadamard full properlineales. Nuestro primer objetivo
es estudiar las relaciones existentes y las conexiones entre los grupos
de Hadamard y los códigos Hadamard full properlineales. Además, en esta
nueva subfamilia de códigos encontramos estructuras full properlineales que
generan ciertas matrices de Hadamard no simétricas; en concreto, estamos
hablando de las familias que tienen asociado el grupo dicíclico Q8n y el grupo
Cn Q8. Estas matrices de Hadamard son conocidas como las matrices de
Williamson y las matrices de Ito. Para ayudar a decidir cuando dos códigos
son equivalentes usaremos dos invariantes de los códigos: el rango y la
dimensión del núcleo. Estos parámetros nos aportan información sobre los
códigos no lineales; a modo de ejemplo, son un indicador para ver cuánto
dista un código binario de ser lineal. Concretamente, estudiaremos el rango
y la dimensión del kernel de ambas familias y utilizaremos técnicas iteradas
que permiten crear códigos Hadamard full properlineales de mayor orden.Communication systems need algebraic and combinatorial techniques to recover
information in the presence of noise and interference. Hadamard codes
constitute an important family of error correcting codes and they have been
studied, since 20th century, by authors like Turyn. Although this codes
are nonlinear, in general, they possess optimal algebraic and combinatorial
properties which allow to encode, transmit and decode a message through a
noisy channel. The most powerful mechanisms to construct Hadamard codes
with a subjacent group structure are cocyclic Hadamard matrices, relative
difference sets, Hadamard groups and Hadamard propelinear codes.
The aim of this thesis is to explore the algebraic and combinatorial properties
of a subfamily of the Hadamard propelinear codes which we term
Hadamard full propelinear codes. Firstly, we study the connections between
Hadamard groups and Hadamard full propelinear codes. Inside the class
of Hadamard full propelinear codes we find several group structures with
nonsymmetric Hadamard matrices. This is the case of the families with a
subjacent dicyclic group Q8n and a Cn X Q8 group which belong to the class
of Ito Hadamard matrices and the classs of Williamson Hadamard matrices,
respectively. To help deciding whether two binary codes are nonequivalent we
make use of two invariants: the rank and the dimension of the kernel. These
parameters provide additional information about the code; for instance, they
measure how far is the code from being linear. Specifically, we study the rank
and the dimension of the kernel of the aforementioned families of Hadamard
full propelinear codes and we also give iterative techniques which allow us to
construct Hadamard full propelinear codes of higher orders
Hadamard full propelinear codes of type Q. Rank and Kernel
Los sistemas de comunicación se nutren de técnicas algebraicas y combinat
óricas para recuperar la información en presencia de ruído e interferencias.
Los códigos Hadamard constituyen una familia relevante en la teoría de
códigos y ellos han sido objeto de estudio desde el siglo XX, por cientí cos
como Turyn. Aunque estos códigos no son lineales en general, ellos poseen
propiedades algebraicas y combinatóricas que permiten codi car, transmitir
y decodi car un mensaje a través de un canal ruidoso. Los mecanismos más
potentes para construír códigos de Hadamard con una estructura de grupo
algebraico subyacente son: las matrices de Hadamard cocíclicias, los conjuntos
de diferencias relativas, los grupos de Hadamard y los códigos Hadamard
properlineales.
El propósito de esta tesis es explorar las propiedades algebraicas y combinat
óricas de una subfamilia de los códigos Hadamard properlineales, que
denominamos códigos Hadamard full properlineales. Nuestro primer objetivo
es estudiar las relaciones existentes y las conexiones entre los grupos
de Hadamard y los códigos Hadamard full properlineales. Además, en esta
nueva subfamilia de códigos encontramos estructuras full properlineales que
generan ciertas matrices de Hadamard no simétricas; en concreto, estamos
hablando de las familias que tienen asociado el grupo dicíclico Q8n y el grupo
Cn Q8. Estas matrices de Hadamard son conocidas como las matrices de
Williamson y las matrices de Ito. Para ayudar a decidir cuando dos códigos
son equivalentes usaremos dos invariantes de los códigos: el rango y la
dimensión del núcleo. Estos parámetros nos aportan información sobre los
códigos no lineales; a modo de ejemplo, son un indicador para ver cuánto
dista un código binario de ser lineal. Concretamente, estudiaremos el rango
y la dimensión del kernel de ambas familias y utilizaremos técnicas iteradas
que permiten crear códigos Hadamard full properlineales de mayor orden.Communication systems need algebraic and combinatorial techniques to recover
information in the presence of noise and interference. Hadamard codes
constitute an important family of error correcting codes and they have been
studied, since 20th century, by authors like Turyn. Although this codes
are nonlinear, in general, they possess optimal algebraic and combinatorial
properties which allow to encode, transmit and decode a message through a
noisy channel. The most powerful mechanisms to construct Hadamard codes
with a subjacent group structure are cocyclic Hadamard matrices, relative
difference sets, Hadamard groups and Hadamard propelinear codes.
The aim of this thesis is to explore the algebraic and combinatorial properties
of a subfamily of the Hadamard propelinear codes which we term
Hadamard full propelinear codes. Firstly, we study the connections between
Hadamard groups and Hadamard full propelinear codes. Inside the class
of Hadamard full propelinear codes we find several group structures with
nonsymmetric Hadamard matrices. This is the case of the families with a
subjacent dicyclic group Q8n and a Cn X Q8 group which belong to the class
of Ito Hadamard matrices and the classs of Williamson Hadamard matrices,
respectively. To help deciding whether two binary codes are nonequivalent we
make use of two invariants: the rank and the dimension of the kernel. These
parameters provide additional information about the code; for instance, they
measure how far is the code from being linear. Specifically, we study the rank
and the dimension of the kernel of the aforementioned families of Hadamard
full propelinear codes and we also give iterative techniques which allow us to
construct Hadamard full propelinear codes of higher orders
On the ideal associated to a linear code
International audienceThis article aims to explore the bridge between the algebraic structure of a linear code and the complete decoding process. To this end, we associate a specific binomial ideal I+(C) to an arbitrary linear code. The binomials involved in the reduced Gr\"obner basis of such an ideal relative to a degree-compatible ordering induce a uniquely defined test-set for the code, and this allows the description of a Hamming metric decoding procedure. Moreover, the binomials involved in the Graver basis of I+(C) provide a universal test-set which turns out to be a set containing the set of codewords of minimal support of the code
Hadamard full propelinear codes of type Q. Rank and Kernel
Los sistemas de comunicación se nutren de técnicas algebraicas y combinat óricas para recuperar la información en presencia de ruído e interferencias. Los códigos Hadamard constituyen una familia relevante en la teoría de códigos y ellos han sido objeto de estudio desde el siglo XX, por científicos como Turyn. Aunque estos códigos no son lineales en general, ellos poseen propiedades algebraicas y combinatóricas que permiten codi car, transmitir y decodi car un mensaje a través de un canal ruidoso. Los mecanismos más potentes para construír códigos de Hadamard con una estructura de grupo algebraico subyacente son: las matrices de Hadamard cocíclicias, los conjuntos de diferencias relativas, los grupos de Hadamard y los códigos Hadamard properlineales. El propósito de esta tesis es explorar las propiedades algebraicas y combinat óricas de una subfamilia de los códigos Hadamard properlineales, que denominamos códigos Hadamard full properlineales. Nuestro primer objetivo es estudiar las relaciones existentes y las conexiones entre los grupos de Hadamard y los códigos Hadamard full properlineales. Además, en esta nueva subfamilia de códigos encontramos estructuras full properlineales que generan ciertas matrices de Hadamard no simétricas; en concreto, estamos hablando de las familias que tienen asociado el grupo dicíclico Q8n y el grupo Cn Q8. Estas matrices de Hadamard son conocidas como las matrices de Williamson y las matrices de Ito. Para ayudar a decidir cuando dos códigos son equivalentes usaremos dos invariantes de los códigos: el rango y la dimensión del núcleo. Estos parámetros nos aportan información sobre los códigos no lineales; a modo de ejemplo, son un indicador para ver cuánto dista un código binario de ser lineal. Concretamente, estudiaremos el rango y la dimensión del kernel de ambas familias y utilizaremos técnicas iteradas que permiten crear códigos Hadamard full properlineales de mayor orden.Communication systems need algebraic and combinatorial techniques to recover information in the presence of noise and interference. Hadamard codes constitute an important family of error correcting codes and they have been studied, since 20th century, by authors like Turyn. Although this codes are nonlinear, in general, they possess optimal algebraic and combinatorial properties which allow to encode, transmit and decode a message through a noisy channel. The most powerful mechanisms to construct Hadamard codes with a subjacent group structure are cocyclic Hadamard matrices, relative difference sets, Hadamard groups and Hadamard propelinear codes. The aim of this thesis is to explore the algebraic and combinatorial properties of a subfamily of the Hadamard propelinear codes which we term Hadamard full propelinear codes. Firstly, we study the connections between Hadamard groups and Hadamard full propelinear codes. Inside the class of Hadamard full propelinear codes we find several group structures with nonsymmetric Hadamard matrices. This is the case of the families with a subjacent dicyclic group Q8n and a Cn X Q8 group which belong to the class of Ito Hadamard matrices and the classs of Williamson Hadamard matrices, respectively. To help deciding whether two binary codes are nonequivalent we make use of two invariants: the rank and the dimension of the kernel. These parameters provide additional information about the code; for instance, they measure how far is the code from being linear. Specifically, we study the rank and the dimension of the kernel of the aforementioned families of Hadamard full propelinear codes and we also give iterative techniques which allow us to construct Hadamard full propelinear codes of higher orders