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Exploiting Torus Actions: Immaculate Line Bundles on Toric Varieties and Parametrizations of Gröbner Cells
This dissertation contains two chapters on the use of torus actions in algebraic geometry.
In chapter 2 we study âimmaculate line bundlesâ on projective toric varieties. The cohomology
groups of those line bundles vanish in all degrees, including the 0-th degree. Immaculate line
bundles can be seen as building blocks of full exceptional sequences of line bundles of the variety.
All the immaculate line bundles of a toric variety X = TV(ÎŁ) can be identified in two steps.
First identify those subsets of the rays ÎŁ(1) whose geometric realization is not k-acyclic, they
will be called tempting. Those subsets of the rays give âmaculate sets/regionsâ in the class group
of the variety. A line bundle is immaculate, if it is not in any of those maculate sets. So the first
step in finding immaculate line bundles is to find all tempting subsets. When X is projective,
the main result for this is that primitive collections â subsets of the rays that do not span a
cone, but each proper subset spans a cone â are always tempting. And a subset of rays can only
be tempting if it is the union of primitive collections. The same has to hold for the complement,
too. We give descriptions of the immaculate line bundles for different examples. In particular,
we describe the immaculate locus for projective toric varieties of Picard rank 3. Most of the
results have been published in [ABKW20].
In chapter 3 we study the Hilbert scheme of n points in affine plane. It describes all ideals
in the polynomial ring of two variables whose quotient is an n-dimensional vector space. The
Hilbert scheme can be decomposed into so called Gröbner cells. They consist of those ideals
that have a prescribed leading term ideal with respect to a given term order. The Gröbner
cells for the lexicographic and the degree-lexicographic order are parametrized in [CV08] and
[Con11], respectively, by canonical Hilbert-Burch matrices. A Hilbert-Burch matrix of an ideal is
a matrix generating the syzygies of the ideal. Its maximal minors also generate the ideal. These
results are generalized in two directions. Firstly, we consider the ring of formal power series.
Here we give a parametrization of the cells that respects the Hilbert function stratification of
the punctual Hilbert scheme. In particular, this cellular decomposition restricts to a cellular
decomposition of the subscheme consisting of ideals with a prescribed Hilbert function. We use
the parametrization to describe subsets of the Gröbner cells associated to lex-segment ideals
with a given minimal number of generators. These subsets are quasi-affine varieties inside the
cell. Most of these results have been published in [HW21] and [HW23]. The second way of
changing the setting is to consider a general term order on the polynomial ring. We give a
surjection to the Gröbner cell with respect to this ordering and parametrizations of subsets of
the cell, as well as a conjecture how the parametrization of the whole cell should look like. We
also study intersections of Gröbner cells with respect to different term orders.Die vorliegende Dissertation besteht aus zwei Kapiteln zu zwei unterschiedlichen Anwendungen
von Toruswirkungen in der algebraischen Geometrie.
Die wichtigsten Objekte des Kapitels 2 sind unbefleckte GeradenbĂŒndel auf projektiven torischen VarietĂ€ten X = TV(ÎŁ), GeradenbĂŒndel, deren Kohomologiegruppen alle verschwinden.
Unbefleckte GeradenbĂŒndel können als Bausteine fĂŒr exzeptionelle Sequenzen aus GeradenbĂŒndeln dienen und somit die derivierte Kategorie der VarietĂ€t beschreiben. Die Bestimmung
von unbefleckten GeradenbĂŒndeln lĂ€sst sich in zwei Schritte aufteilen. Es lassen sich Teilmengen
der Strahlen Σ(1) des die torische VarietÀt beschreibenden FÀchers Σ identifizieren, deren
geometrische Realisierungen nicht k-azyklisch sind. Diese verlockenden Teilmengen der Strahlen
definieren befleckte Teilmengen der Klassengruppe Cl(X). Ein GeradenbĂŒndel ist genau dann
unbefleckt, wenn es in keiner befleckten Teilmenge von Cl(X) liegt. Die Bestimmung aller
unbefleckten GeradenbĂŒndel lĂ€sst sich also in zwei Schritte aufteilen. Das Bestimmen der
verlockenden Teilmengen der Strahlen und das Bestimmen der zugehörigen befleckten Regionen.
Primitive Kollektionen â Teilmengen der Strahlen, die selbst keinen Kegel des FĂ€chers aufspannen, aber jede ihrer Teilmenge spannt einen Kegel des FĂ€chers auf â sind verlockend und
auĂerdem ist eine Teilmenge nur dann verlockend, wenn sie eine Vereinigung von primitiven
Kollektionen ist. Dies muss auch fĂŒr das Komplement gelten. Wir geben die Beschreibung
fĂŒr die unbefleckten GeradenbĂŒndel fĂŒr verschiedene Beispielklassen von projektiven torischen
VarietĂ€ten. Insbesondere beschreiben wir die unbefleckten GeradenbĂŒndel fĂŒr projektive torische
VarietÀten von Picardrang 3. Die meisten dieser Ergebnisse sind in [ABKW20] erschienen.
In Kapitel 3 geht es um das Hilbertschema von n Punkten in der affinen Ebene. Seine Punkte
sind Ideale im Polynomenring k[x, y], deren Quotient ein n-dimensionaler k-Vektorraum ist.
Das Hilbertschema kann in sogenannte Gröbnerzellen unterteilt werden. Sie umfassen Ideale,
die bezĂŒglich einer Termordnung Ï ein festgelegtes Leitideal haben. In [CV08] und [Con11]
werden fĂŒr die lexikographische und gradlexikographische Termordnung Parametrisierung der
Gröbnerzellen durch kanonische Hilbert-Burch Matrizen angegeben. Hilbert-Burch Matrizen
beschreiben die Syzygien des Ideals und ihre maximalen Minoren erzeugen das Ideal. Die
Ergebnisse werden in zwei Richtungen verallgemeinert. ZunÀchst betrachten wir Ideale im Ring
der formalen Potenzreihen. Wir geben eine Parametrisierung der Zellen, bei der die lokale
Struktur der Ideale berĂŒcksichtigt wird. Insbesondere lĂ€sst sich diese zellulĂ€re Unterteilung des
lokalen Hilbertschemas auf eine zellulÀre Unterteilung des Unterschemas einschrÀnken, das nur
Ideale mit einer gegebenen Hilbertfunktion beinhaltet. Durch diese Parametrisierung lassen sich
fĂŒr Ideale in diesen Zellen kanonische Hilbert-Burch Matrizen definieren. Diese benutzen wir
um Teilmengen der Gröbnerzellen mit einer vorgegebenen minimalen Anzahl von Erzeugern zu
beschreiben. Diese Teilmengen sind quasi-affine VarietÀten in der Gröbnerzelle. Die meisten
der Resultate sind in [HW21] und [HW23] erschienen. Die zweite Möglichkeit das Setting zu
Ă€ndern, ist beliebige Termordnungen auf dem Polynomenring zu betrachten. Im zweiten Teil
von Kapitel 3 geben wir eine Surjektion auf diese Gröbnerzellen, sowie Parametrisierungen von
Teilmengen und geben eine Vermutung, wie eine Parametrisierung der ganzen Zelle aussieht.
AuĂerdem untersuchen wir Schnitte von Gröbnerzellen bezĂŒglich verschiedener Termordnungen
Deformations of local Artin rings via Hilbert-Burch matrices
In the local setting, Gr\"obner cells are affine spaces that parametrize
ideals in that share the same leading term ideal with
respect to a local term ordering. In particular, all ideals in a cell have the
same Hilbert function, so they provide a cellular decomposition of the punctual
Hilbert scheme compatible with its Hilbert function stratification. We exploit
the parametrization given in \cite{HW21} via Hilbert-Burch matrices to compute
the Betti strata, with hands-on examples of deformations that preserve the
Hilbert function, and revisit some classical results along the way. Moreover,
we move towards an explicit parametrization of all local Gr\"obner cells.Comment: 18 page
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