Точки ρ-либрации в задаче трех тел

Herein, the restricted circular three-body problem in homogeneous and inhomogeneous media is considered. Particular attention is paid to libration points. The conditions of their existence or non-existence in the Newtonian and post-Newtonian approximations of the general theory of relativity are derived. Several regularities, new Newtonian and relativistic effects arising due to the impact of the additional relativistic forces on bodies of gravitational fields of mediums in the differential equations of the motion of bodies are indicated. Using the previously derived equations of the motion of two bodies A1, A2 in the medium, the authors substantiated the following statements. In a homogeneous medium (density of the medium ρ = const) in the Newtonian approximation of the general theory of relativity there are ρ-libration points , 1,...,5, moving along the same circles as the Euler and Lagrangian libration points Li but with an angular velocity 0 , greater than the angular velocity ω0 of libration points Li in a vacuum. Bodies A1, A2 also move along their circles with an angular velocity 0 > w When passing from the Newtonian approximation of the general theory of relativity to the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity, the centre of mass of two bodies, resting in a homogeneous medium in the Newtonian approximation of the general theory of relativity, must move along a cycloid. The trajectories of the bodies can not be circles, the libration points Li disappear. In the case of an inhomogeneous medium distributed, for example, spherically symmetrically, the centre of mass of two bodies, already in the Newtonian approximation of the general theory of relativity, must move along the cycloid, despite it was at rest in the void. Therefore, bodies A1, A2 must describe loops that form, figuratively speaking, a «lace», as in the case of a homogeneous medium in the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity. The figure illustrating the situation is provided. Due to the existence of the «lace» effect, the libration point Li movements are destroyed. In the special case, when the masses of bodies A1, A2 are equal (m1 = m2), the cycloids disappear and all the ρ-libration points exist in homogeneous and inhomogeneous media in the Newtonian and post-Newtonian approximations of the general theory of relativity. Numerical estimates of the predicted patterns and effects in the Solar and other planetary systems, interstellar and intergalactic mediums are carried out. For example, displacements associated with these effects, such as the displacement of the centre of mass, can reach many billions of kilometres per revolution of the two-body system. The possible role of these regularities and effects in the theories of the evolution of planetary systems, galaxies, and their ensembles is discussed. A brief review of the studies carried out by the Belarusian scientific school on the problem of the motion of bodies in media in the general theory of relativity is given.Рассмотрена ограниченная круговая задача трех тел в однородной и неоднородной средах. Особое внимание уделено точкам либрации, выведены условия, при которых они существуют или не могут существовать в ньютоновском и постньютоновском приближениях общей теории относительности. Указан ряд закономерностей, ньютоновских и релятивистских новых эффектов, возникающих благодаря воздействию на тела гравитационных полей сред и релятивистских силовых добавок в дифференциальных уравнениях движения тел. С использованием выведенных ранее уравнений движения двух тел A1, A2 в среде авторами обоснованы следующие утверждения. В однородной среде (плотность среды ρ = const) в ньютоновском приближении общей теории относительности существуют точки ρ-либрации , 1,...,5, движущиеся по тем же окружностям, что и эйлеровы и лагранжевы точки либрации Li, но с угловой скоростью 0 , большей угловой скорости ω0 точек либрации Li в пустоте. Тела A1, A2 по своим окружностям двигаются также с угловой скоростью 0 > w При переходе из ньютоновского приближения общей теории относительности в постньютоновское приближение общей теории относительности центр масс двух тел, покоившийся в однородной среде в ньютоновском приближении общей теории относительности, должен перемещаться по циклоиде, а траектории тел не могут быть окружностями, точки либрации Li исчезают. В случае неоднородной среды, распределенной, например, сферически симметрично, центр масс двух тел уже в ньютоновском приближении общей теории относительности должен двигаться по циклоиде, хотя в пустоте он покоился. Поэтому тела A1, A2 должны описывать витки, образующие, образно говоря, «кружева», как и в случае однородной среды в постньютоновском приближении общей теории относительности. В силу существования «кружевного» эффекта движения точки либрации Li уничтожаются. В частном случае, когда массы тел A1, A2 равны (m1 = m2), циклоиды исчезают и все точки ρ-либрации в однородной и неоднородной средах в ньютоновском и постньютоновском приближениях общей теории относительности существуют. Проведены численные оценки предсказываемых закономерностей и эффектов в Солнечной и других планетарных системах, в межзвездной и межгалактической средах. Смещения, связанные с упомянутыми эффектами, например смещение центра масс, могут достигать многих миллиардов километров за один оборот системы двух тел. Обсуждается возможная роль этих закономерностей и эффектов в теориях эволюции планетарных систем, галактик и их ансамблей. Дан краткий обзор исследований, проведенных белорусской научной школой по проблеме движения тел в средах в общей теории относительности

Темная материя и движение тел в космосе

This paper investigates the degree of influence of the gravitational field of dark matter on the laws of motion of bodies in a medium in a restricted two-body problem, when a test body (planet, asteroid, artificial satellite of a star, in particular, the Sun, etc.) has its own rotation, i. e. own angular momentum impulse. The study was carried out within the framework of the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity. In accordance with the latest experimental data, hypotheses about the average densities of dark matter ρD.M. and visible matter ρvis. in planetary systems are accepted. In particular, in the Solar system the following is accepted: ρD.M ≈ 2,8 · 10–19 g · cm–3, ρvis ≈ 3 · 10–20 g · cm–3 and ρΣ = ρvis + ρD.M ≈ 3,1 · 10–19 g · cm–3. In the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity, the equation for the trajectory of a rotating test body with respect to ρΣ is derived, and working formulas are obtained that give the laws of secular changes in the direction of the vector of the proper angular momentum impulse of the test body and the modulus of this vector. It is shown that accounting ρD.M changes the magnitude of the periastron shift. For example, in the Solar System when taking into account ρvis, all the planets except Pluto have a directly shifted perihelion in the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity. When taking into account ρΣ the planets from Mercury to Saturn included, they have a direct shift of perihelion, and Uranus, Neptune, Pluto have the reverse (against the planets in orbit). There is also a secular change in the eccentricity of the orbit. The formula is derived that can be used to calculate the secular deviation of the translational motion of a rotating body from motion in a plane. Accounting ρΣ enhances deviation. It is emphasized that all the noted effects for planetary systems in the vicinity of neutron stars, radio pulsars and other dense objects can be many orders of magnitude greater than in the solar system.Исследуется степень влияния гравитационного поля темной материи на законы движения тел в среде в ограниченной задаче двух тел, когда пробное тело (планета, астероид, искусственный спутник звезды, в частности, Солнца и т. д.) обладает собственным вращением, т. е. собственным угловым моментом импульса. Исследование проведено в рамках постньютоновского приближения общей теории относительности. В соответствии с новейшими экспериментальными данными приняты гипотезы об усредненных плотностях темной материи ρТ.М и видимой материи ρвид в планетарных системах. В частности, в Солнечной системе принято: ρТ.М ≈ 2,8 · 10–19 г · см–3, ρвид ≈ 3 · 10–20 г · см–3 и ρΣ = ρвид + ρТ.М ≈ 3,1 · 10–19 г · см–3. В постньютоновском приближении общей теории относительности выведено уравнение траектории вращающегося пробного тела при учете ρΣ и получены рабочие формулы, дающие законы вековых изменений направления вектора собственного углового момента импульса пробного тела и модуля этого вектора. Показано, что учет ρТ.М. изменяет величину смещения периастра. В Солнечной системе, например, при учете только ρвид все планеты, кроме Плутона, имеют в постньютоновском приближении общей теории относительности прямое смещение перигелия. При учете ρΣ планеты от Меркурия до Сатурна включительно имеют прямое смещение перигелиев, а Уран, Нептун, Плутон – обратное (против хода планет по орбите). Также происходит вековое изменение эксцентриситета орбиты. Выведена формула, с помощью которой можно вычислять вековое отклонение поступательного движения вращающегося тела от движения в плоскости. Учет ρΣ это отклонение усиливает. Подчеркивается, что все отмеченные эффекты для планетарных систем в окрестностях нейтронных звезд, радиопульсаров и прочих плотных объектов могут быть на много порядков больше, чем в Солнечной системе

Об устойчивости движения системы двух тел и их центра масс в неоднородной среде

Within the framework of Newtonian celestial mechanics, a material system is considered. It consists of two spherically symmetrical bodies of comparable masses moving inside a gas dust ball with a spherically symmetrical density distribution of the medium in it. Problems are formulated and solved. They give an answer to the degree of influence of the gravitational field of an inhomogeneous medium on the motion stability of bodies and their mass center relative to the coordinates of the bodies, the coordinates of their mass center, as well as on the orbital stability according to Lyapunov. Additionally, the problems of the motion stability of bodies in the sense of Lagrange and Poisson are considered. It is proved that the gravitational field of a spherically symmetrically distributed medium transforms the considered motions, which are stable in vacuum, into unstable ones in the sense of Lagrange, Poisson, Lyapunov. Some numerical estimates related to instabilities are presented. They show that for popular pairs of stars and pairs of galaxies in an inhomogeneous medium, their additional displacements of the order of many millions of kilometers arise. When dark matter is taken into account, the displacements should not be an order of magnitude greater than the last estimate. The noted instabilities are a consequence of a secular displacement along the cycloid or deformed cycloid of the mass center of the system of two bodies and the absence of a barycentric coordinate system when taking into account the influence of the gravitational field of a spherically symmetrically distributed medium on the motion of bodies (the considered material system is not closed). It is proved that for this system, circular and elliptical orbits of bodies cannot exist. Instead of these orbits, we have “turns” shown in the figure given in the article. In planetary systems (such as the Solar System) immersed into an inhomogeneous medium, the displacements of the mass centers are negligible and therefore we can assume that circular and elliptical orbits can practically exist. В рамках ньютоновской небесной механики рассмотрена материальная система, состоящая из двух сферически симметричных тел сравнимых масс, движущихся внутри газопылевого шара со сферически симметричным распределением плотности среды в нем. Сформулированы и решены задачи, дающие ответ на степень влияния гравитационного поля неоднородной среды на устойчивость движения тел и их центра масс относительно координат тел, координат их центра масс, на орбитальную устойчивость по Ляпунову. Дополнительно рассмотрены задачи об устойчивости движения тел в смысле Лагранжа и Пуассона. Доказано, что гравитационное поле сферически симметрично распределенной среды превращает рассматриваемые движения, которые в пустоте являются устойчивыми, в неустойчивые в смыслах Лагранжа, Пуассона, Ляпунова. Даны некоторые численные оценки, связанные с неустойчивостями, которые показывают, что для популярных пар звезд и пар галактик в неоднородной среде возникают их дополнительные смещения порядка многих миллионов километров, а при учете темной материи смещения должны быть на порядок больше последней оценки. Отмеченные неустойчивости являются следствием векового смещения по циклоиде или деформированной циклоиде центра масс системы двух тел и отсутствия барицентрической системы координат при учете влияния гравитационного поля сферически симметрично распределенной среды на движение тел (рассматриваемая материальная система незамкнутая). Доказано, что для этой системы круговые и эллиптические орбиты тел не могут существовать. Вместо этих орбит имеем «витки», изображенные на приводимом рисунке. В планетарных системах (типа Солнечной системы), погруженных в неоднородную среду, смещения центров масс ничтожно малы и поэтому можно считать, что круговые и эллиптические орбиты практически могут существовать.

Relativistic Motion of the Test Body in Photogravitational Field of Star: Application to the Solar System

The regularities of the motion for every test body in photogravitational field of a star, which can significantly di˙er from the regularities of motion of a body in gravitational field, have been obtained. The following e˙ects of STR and GTR to the terms of order v2/c2 have been considered: the light pressure, the Poynting-Robertson e˙ect, the longitudinal and transverse Doppler e˙ect, the increase in mass of the moving test body, the e˙ects of the space-time curvature which arise due to the gravitational fields of the star and gas-dust ball surrounding the star. We have showed that the longitudinal Doppler e˙ect and the aberration of light (the e˙ects of order v/c) lead to the spiral motion of the test body around the star. Taking into account other e˙ects of order v2/c2 accelerates approximately by factor two the body fall on the spiral onto the star. The spiral can be seen as the decreasing in size ellipse with decreasing eccentricity and periastron, which can shift against the motion in orbit due to the influence of the gravitational field of gas-dust ball

Движение системы двух тел и их центра масс в неоднородной среде

In this paper, a material system consisting of two spherically symmetric bodies of comparable masses located inside a gas-dust ball with a spherically symmetric distribution of the density of the medium in it is considered. After choosing the corresponding energy-momentum tensor from the Einstein field equations using the Einstein-Infeld approximation procedure, the metric of the corresponding space-time, the gravitational field created by the «two-body – medium» system are found, and then the equations of motion of the bodies and their center of mass are obtained in Newton’s and post-Newtonian approximations of the general theory of relativity. It is proved that in the case of the indicated density of the medium, the following effect should exist already in the Newtonian approximation. The center of mass of two bodies shifts at a variable speed, although it was at rest in the void. This situation is a consequence of the fact that the two-body-medium system is not closed. For the first time, formulas for calculating the displacement value, which is proportional to the density of the medium in the center of the gas-dust ball and the 5th degree of the distance between the bodies, are derived. Therefore, at large distances between bodies, their center of mass has large displacements (it can reach several million kilometers per revolution of bodies around their center of mass). If the masses of the bodies are equal, their center of mass is at rest if it is at rest in the void.Рассмотрена материальная система, состоящая из двух сферически симметричных тел сравнимых масс, расположенных внутри газопылевого шара со сферически симметричным распределением плотности среды в нем. После выбора соответствующего тензора энергии-импульса из полевых уравнений Эйнштейна с помощью аппроксимационной процедуры Эйнштейна – Инфельда найдены метрика соответствующего пространства-времени и гравитационное поле, создаваемое системой «два тела – среда», а затем получены уравнения движения тел и их центра масс в ньютоновском и постньютоновском приближениях общей теории относительности. Доказано, что в случае указанной плотности среды уже в ньютоновском приближении должен существовать эффект: центр масс двух тел смещается с переменной скоростью, хотя в пустоте он покоился. Данная ситуация является следствием того, что система «два тела – среда» не является замкнутой. Впервые выведены формулы для вычисления величины смещения, которое пропорционально плотности среды в центре газопылевого шара и 5-й степени расстояния между телами. Поэтому при больших расстояниях между телами их центр масс имеет большие смещения (может достигать нескольких миллионов километров за один оборот тел вокруг их центра масс). В случае равенства масс тел их центр масс покоится, если он покоился в пустоте. Указывается, что полученные результаты и предсказываемые эффекты следует учитывать при обработке наблюдательных данных в астрономии и астрофизике, в вопросах космогонии и космологии

Движение релятивистского центра масс системы двух тел в среде

The motion equations for a system of two bodies moving in a medium are derived in the Cartesian coordinate system in the Newtonian theory. The coordinate system is barycentric, that is, the center of mass of the two-body system is immobile. Using the Einstein – Infeld approximation procedure, the gravitational field created by the “two bodies – medium” system was found from the Einstein field equations, and then the equations of motion of the bodies in this field were obtained.It is shown that in the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity, the center of mass of two bodies moving in a gas – dust rarefied medium of constant density, determined by analogy with the Newtonian center of mass, is displaced along the cycloid, although in the Newtonian approximation it is stationary, i.e. the movement along the cycloid occurs with respect to the barycentric Newtonian fixed reference frame. Numerical estimates are given for the magnitude of this displacement. Given a popular value of the medium density ρ = 10–21 g·cm–3 its order can reach 106 km per one rotation of two bodies around their center of mass. In the case of the equality of masses of the bodies, their relativistic center of mass, like their Newtonian center of mass, is immobile.It has been hypothesized that for any elliptical orbits of two bodies and an inhomogeneous distribution of the gas – dust medium the qualitative picture of motion of the relativistic center of mass of the two bodies will not change.Выведены в декартовой системе координат в ньютоновской теории тяготения уравнения движения системы из двух тел, движущихся в среде. Система координат барицентрическая, т. е. в ней центр масс двух тел неподвижен. С помощью аппроксимационной процедуры Эйнштейна – Инфельда из полевых уравнений Эйнштейна найдено гравитационное поле, создаваемое системой «два тела – среда», а затем получены уравнения движения тел в этом поле. Показано, что в постньютоновском приближении общей теории тносительности центр масс двух тел, движущихся в газопылевой разреженной среде постоянной плотности, определенный по аналогии с ньютоновским центром масс, смещается по циклоиде, хотя в ньютоновском приближении он неподвижен, т. е. движение по циклоиде происходит относительно барицентрической ньютоновской неподвижной системы отсчета. Даны численные оценки для величины этого смещения, которое при популярном значении плотности среды ρ = 10–21 г·см–3 может достигать порядка 106 км за один оборот двух тел вокруг их смещающегося центра масс. В случае равенства масс тел их релятивистский центр масс, как и их ньютоновский центр масс, неподвижен. Выдвинута гипотеза о том, что для любых эллиптических орбит двух тел и неоднородного распределения газопылевой среды качественная картина движения релятивистского центра масс двух тел не изменится

О влиянии темной субстанции на электромагнитные излучения в космосе

   Исследуется влияние гравитационных полей темной материи и темной энергии, существование которых в настоящее время твердо установлено, на электромагнитные излучения в космосе. В постньютоновском приближении общей теории относительности выведена закономерность, обобщающая известный тест (эффект) Шапиро по оценке задержки светового луча при локации планеты Меркурий. Обобщение состоит в том, что, кроме гравитационного поля центральной массы, принимается во внимание влияние на процессы в космосе гравитационных полей видимой (наблюдаемой) среды и темной субстанции. Рассмотрены случаи локации планеты Меркурий и звезды вблизи центра нашей Галактики в гравитационных полях, создаваемых сферически симметрично распределенной средой. Вычислены оценки задержек сигналов локации, которые на несколько порядков могут превосходить задержки во времени сигналов в пространстве, не заполненном средой. Указан метод оценки плотности темной субстанции, если известна экспериментальная оценка задержки сигнала локации. Этот метод проиллюстрирован на примере локации планеты Меркурий.   This paper investigates the influence of the gravitational fields of dark matter and dark energy, the existence of which is currently firmly established, on electromagnetic radiation in space. In the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity, a regularity is derived that generalizes the well-known Shapiro time delay (Shapiro effect) to estimate the delay of a light beam during the Mercury location. The generalization consists of the fact that in addition to the gravitational field of the central mass, the influence of the gravitational fields of the visible (observed) medium and dark substance on the processes in space is taken into account. The cases of location of the planet Mercury and the star near the center of our Galaxy in gravitational fields created by a spherically symmetrically distributed medium are considered. Estimates of the delays of location signals are calculated, which can exceed the time delays of signals in a space not filled with a medium by several orders of magnitude. A method for estimating the density of a dark substance is indicated if the experimental estimate of the location signal delay is known. This method is illustrated by the location of Mercury as an example.   Исследуется влияние гравитационных полей темной материи и темной энергии, существование которых в настоящее время твердо установлено, на электромагнитные излучения в космосе. В постньютоновском приближении общей теории относительности выведена закономерность, обобщающая известный тест (эффект) Шапиро по оценке задержки светового луча при локации планеты Меркурий. Обобщение состоит в том, что, кроме гравитационного поля центральной массы, принимается во внимание влияние на процессы в космосе гравитационных полей видимой (наблюдаемой) среды и темной субстанции. Рассмотрены случаи локации планеты Меркурий и звезды вблизи центра нашей Галактики в гравитационных полях, создаваемых сферически симметрично распределенной средой. Вычислены оценки задержек сигналов локации, которые на несколько порядков могут превосходить задержки во времени сигналов в пространстве, не заполненном средой. Указан метод оценки плотности темной субстанции, если известна экспериментальная оценка задержки сигнала локации. Этот метод проиллюстрирован на примере локации планеты Меркурий

ТОЧКИ ФОТОЛИБРАЦИИ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ

Taking into account the star light pressure it is proved that for a star-dark body-test body system in the bounded planar circular problem of three bodies there exist a countless number of photolibtation points filling up three segments of the straight line passing through the star and the dark body (collinear case) or those points filling up the two circular arcs passing through the Lagrangian libration points L4, L5 (triangular case).Доказано, что для системы звезда-темное тело-пробное тело в ограниченной плоской круговой задаче трех тел при учете светового давления звезды существует бесчисленное количество точек фотолибрации, заполняющих три отрезка на прямой, проходящей через звезду и темное тело (коллинеарный случай), или заполняющие две дуги окружности, проходящие через лагранжевы точки либрации L4, L5 (треугольный случай)

О СУЩЕСТВОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В ФОТОГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ

We see that taking into account direct solar pressure lagrangian triangular points of libration L4 and L5 do not exist, but for each of the trial body there exist two points of photolibration L4* and L5*which, together with the heavy bodies are the vertices of scalene triangles with constant sides. The existence of trial bodies with different «windage» leads to the existence of photolibration lines.Показано, что при учете солнечного давления лагранжевы треугольные точки либрации L4 и L5 не существуют, но существуют для каждого пробного тела две точки фотолибрации L4* и L5*, которые вместе с тяжелыми телами являются вершинами разносторонних треугольников с постоянными сторонами. Существование пробных тел с разной «парусностью» приводит к существованию линий фотолибрации

Relativistic Motion of the Test Body in Photogravitational Field of Star: Application to the Solar System

The regularities of the motion for every test body in photogravitational field of a star, which can significantly di˙er from the regularities of motion of a body in gravitational field, have been obtained. The following e˙ects of STR and GTR to the terms of order v2/c2 have been considered: the light pressure, the Poynting-Robertson e˙ect, the longitudinal and transverse Doppler e˙ect, the increase in mass of the moving test body, the e˙ects of the space-time curvature which arise due to the gravitational fields of the star and gas-dust ball surrounding the star. We have showed that the longitudinal Doppler e˙ect and the aberration of light (the e˙ects of order v/c) lead to the spiral motion of the test body around the star. Taking into account other e˙ects of order v2/c2 accelerates approximately by factor two the body fall on the spiral onto the star. The spiral can be seen as the decreasing in size ellipse with decreasing eccentricity and periastron, which can shift against the motion in orbit due to the influence of the gravitational field of gas-dust ball