Sima sokaságok topológiai tulajdonságainak vizsgálata = Topological properties of smooth manifolds

(1) Megvizsgáltuk, hogy egy 2k dimenziós sokaságnak a (2k+1) dimenziós euklideszi térbe mutató generikus immerziójánál milyen Euler karakterisztikájú többszöröspont sokaságok keletkeznek. Eredményünk lezárt egy kb. 10 éve megjelent cikkben megkezdett kutatást. Egy T. Ekholmmal közös cikkben kiszámítottuk egzotikus n-dimenziós homotopikus gömbök adott euklideszi térbe mutató immerzióinak csoportját. Ezen eredmény megmagyaráz egy jelenséget Brieskorn egy klasszikus konstrukciójában. Végül egy eljárást találtunk olyan másodlagos obstrukciók vizsgálatára, melyek leképezések bizonyos szingularitásainak eltüntethetőségét akadályozzák meg. (2) Eredményeket értünk el alacsony dimenziós sokaságok topológiájának vizsgálatában. Nevezetesen megvizsgáltuk, hogy milyen differenciáltopológiai tulajdonságok ismerhetők meg a sokaság mérceelméleti invariánsainak ismeretében, illetve hogy adott esetekben ezek az invariánsok hogyan számolhatók ki. E vizsgálatok során (a) egzotikus differenciálható struktúrákat találtunk kis Euler karakterisztikájú négysokaságokon, (b) Ozsváth-Szabó invariánsok segítségével feszes kontakt struktúrákat találtunk olyan háromsokaságokon, melyeken korábban ilyen struktúrák nem voltak ismeretesek. A beszámolási időszakban több nemzetközi konferenciát, workshopot szerveztünk a Rényi Intézetben: 2003-ban ez a Humbolt alapítvány, 2004-ben a Clay Mathematical Institute, 2005-ben az EU TOK támogatását használtuk ezen rendezvények finanszírozására. | (1) We have studied the Euler characteristic of the multiple point manifold of a generic immersion of a 2k dimensional manifold into the (2k+1) dimensional Euclidean space. This result concluded a research initiated about 10 years ago. In a paper with T. Ekholm we computed the immersion groups of exotic n-dimensional spheres into Euclidean spaces. This result provided an explanation for a phenomenon noticed in a classical construction by Brieskorn. Finally, we have developed a method for examining secondary obstructions which obstruct eliminations of certain singularities of maps. (2) We got results in the study of topological properties of low dimensional manifolds. More precisely, we have examined what differential topological consequences can one prove from the knowledge of the gauge theoretic invariants of the manifold, and how to determine these invariants. Throughout these studies (a) we have found exotic smooth structures on 4-manifolds with small Euler characteristic, (b) using contact Ozsváth-Szabó invariants we found tight contact structures on 3-manifolds on which tight structures were unknown. We have organized a number of conferences/workshops/Summer Schools throughout the research period in the Rényi Institute: in 2003 the Humboldt Foundation, in 2004 the Clay Mathematical Institute and in 2005 the EU TOK project provided the necessary financial background for helding these international events

Singularities and stable homotopy groups of spheres I

We establish an interesting connection between Morin singularities and stable homotopy groups of spheres. We apply this connection to computations of cobordism groups of certain singular maps. The differentials of the spectral sequence computing these cobordism groups are given by the composition multiplication in the stable homotopy groups of spheres.Comment: 39 pages, 1 figure, revised again for Journal of Singularitie

Multiplicative properties of Morin maps

In the first part of the paper we construct a ring structure on the rational cobordism classes of Morin maps (i. e. smooth generic maps of corank 1). We show that associating to a Morin map its singular strata defines a ring homomorphism to \Omega_* \otimes \Q, the rational oriented cobordism ring. This is proved by analyzing multiple-point sets of product immersion. Using these homomorphisms we are able to identify the ring of Morin maps. In the second part of the paper we compute the oriented Thom polynomial of the $\Sigma^2$ singularity type with \Q coefficients. Then we provide a product formula for the $\Sigma^2$ and the $\Sigma^{1,1}$ singularities.Comment: Corrected some small misprints and made lot of minor (mainly grammatical) alterations. 10 page

A METHODOLOGY FOR THE DETERMINATION OF THE MODELS OF SOFT SYSTEMS BY MEANS OF INTELLIGENT AGENTS

A methodology for determining models of a soft and ill-defined system is dealt with. The approach outlined is based on the model reconstruction by intelligent agents monitoring the trajectory of model behavior and reconstructing it to obtain models describing the real systems to be simulated. The methodology that has already proven its value by solving problems in various fields by applying it using a simulation system where it was implemented is dealt with. It is shown how effects among the various model elements can be tuned. This methodology may be of significant value in the field of micro- and macro-economy. The application of the procedure is illustrated on a small example utilizing high level Petri nets in an unconventional way

Realizing homology classes up to cobordism

Acknowledgements. Szucs and Terpai are supported by the National Research, Development and Innovation Office NKFIH (OTKA) Grant NK 112735 and partially supported by ERC Advanced Grant LDTBud.Non peer reviewedPreprin