Negative Sobolev Spaces in the Cauchy Problem for the Cauchy-Riemann Operator

Let D be a bounded domain in Cn (n > 1) with a smooth boundary @D. We indicate appropriate Sobolev spaces of negative smoothness to study the non-homogeneous Cauchy problem for the Cauchy-Riemann operator @ in D. In particular, we describe traces of the corresponding Sobolev functions on @D and give an adequate formulation of the problem. Then we prove the uniqueness theorem for the problem, describe its necessary and sufficient solvability conditions and produce a formula for its exact solution

Boundary Problems for Helmholtz Equation and the Cauchy Problem for Dirac Operators

Studying an operator equation Au = f in Hilbert spaces one usually needs the adjoint operator A* for A. Solving the ill-posed Cauchy problem for Dirac type systems in the Lebesgue spaces by an iteration method we propose to construct the corresponding adjoint operator with the use of normally solvable mixed problem for Helmholtz Equation. This leads to the description of necessary and sufficient solvability conditions for the Cauchy Problem and formulae for its exact and approximate solutionsПри изучении операторного уравнения Au = f в пространствах Гильберта обычно требуется знать сопряженный A* оператор для A. Решая некорректную задачу Коши для операторов типа Дирака в пространствах Лебега одним итерационным методом, мы предлагаем построить соответствующий сопряженный оператор при помощи нормально разрешимой смешанной задачи для уравнения Гельмгольца. Это ведет к описанию условий разрешимости задачи Коши и к построению ее точного и приближенных решений

Boundary Problems for Helmholtz Equation and the Cauchy Problem for Dirac Operators

Studying an operator equation Au = f in Hilbert spaces one usually needs the adjoint operator A* for A. Solving the ill-posed Cauchy problem for Dirac type systems in the Lebesgue spaces by an iteration method we propose to construct the corresponding adjoint operator with the use of normally solvable mixed problem for Helmholtz Equation. This leads to the description of necessary and sufficient solvability conditions for the Cauchy Problem and formulae for its exact and approximate solutionsПри изучении операторного уравнения Au = f в пространствах Гильберта обычно требуется знать сопряженный A* оператор для A. Решая некорректную задачу Коши для операторов типа Дирака в пространствах Лебега одним итерационным методом, мы предлагаем построить соответствующий сопряженный оператор при помощи нормально разрешимой смешанной задачи для уравнения Гельмгольца. Это ведет к описанию условий разрешимости задачи Коши и к построению ее точного и приближенных решений

On the Spectral Properties of a Non-coercive Mixed Problem Associated with ∂-operator

We consider a non-coercive Sturm–Liouville boundary value problem in a bounded domain D of the complex space C for the perturbed Laplace operator. More precisely, the boundary conditions are of Robin type on ∂D while the first order term of the boundary operator is the complex normal derivative. We prove that the problem is Fredholm one in proper spaces for which an Embedding Theorem is obtained; the theorem gives a correlation with the Sobolev-Slobodetskii spaces. Then, applying the method of weak perturbations of compact self-adjoint operators, we show the completeness of the root functions related to the boundary value problem in the Lebesgue space. For the ball, we present the corresponding eigenvectors as the product of the Bessel functions and the spherical harmonics.Мы рассматриваем некоэрцитивную задачу Штурма-Лиувилля в некоторой ограниченной области D комплексного пространства C для возмущенного оператора Лапласа. Более точно, мы ставим на границе условия Робиновского типа, в которых член первого порядка пропорционален комплексной нормальной производной. Доказывается фредгольмовость задачи в подходящих пространствах, для которых получена теорема вложения, дающая соотношения со шкалой пространств Соболева-Слободецкого. Затем, используя метод слабого возмущения компактных самосопряженных операторов, мы доказываем полноту корневых функций, ассоциированных с краевой задачей в пространстве Лебега. Для шара соответствующие собственные векторы представлены как произведение функций Бесселя и сферических гармоник

Negative Sobolev Spaces in the Cauchy Problem for the Cauchy-Riemann Operator

Let D be a bounded domain in Cn (n > 1) with a smooth boundary @D. We indicate appropriate Sobolev spaces of negative smoothness to study the non-homogeneous Cauchy problem for the Cauchy-Riemann operator @ in D. In particular, we describe traces of the corresponding Sobolev functions on @D and give an adequate formulation of the problem. Then we prove the uniqueness theorem for the problem, describe its necessary and sufficient solvability conditions and produce a formula for its exact solution

On an Ill-Posed Problem for the Heat Equation

A boundary value problem for the heat equation is studied. It consists of recovering a function, satisfying the heat equation in a cylindrical domain, via its values ant the values of its normal derivative on a given part of the lateral surface of the cylinder. We prove that the problem is ill-posed in the natural spaces of smooth functions and in the corresponding Holder spaces; besides, additional initial data do not turn the problem to a well-posed one. Using Integral Representation's Method we obtain Uniqueness Theorem and solvability conditions for the problem.В работе исследована одна краевая задача для уравнения теплопроводности. Она состоит в вос- становлении функции, удовлетворяющей уравнению теплопроводности в цилиндрической обла- сти, по заданным ее значениям и значениям ее нормальной производной на части боковой поверх- ности цилиндра. Доказано, что задача является некорректной в естественных для нее простран- ствах гладких функций и соответствующих пространствах Гельдера, а добавление к условиям начальных данных не превращает задачу в корректную. С помощью метода интегральных пред- ставлений получены теорема единственности, условия разрешимости и формулы для решения задачи

О свойстве Фредгольма для стационарных уравнений Навье-Стокса в весовых пространствах Гельдера

We prove that the steady Navier-Stokes equations induce a Fredholm non-linear map on the scale of H¨older spaces weighted at the infinityМы доказываем, что стационарные уравнения Навье-Стокса индуцирует нелинейный оператор фредгольмовского типа в весовых пространствах Гельдер

On the Spectral Properties of a Non-coercive Mixed Problem Associated with ∂-operator

We consider a non-coercive Sturm–Liouville boundary value problem in a bounded domain D of the complex space C for the perturbed Laplace operator. More precisely, the boundary conditions are of Robin type on ∂D while the first order term of the boundary operator is the complex normal derivative. We prove that the problem is Fredholm one in proper spaces for which an Embedding Theorem is obtained; the theorem gives a correlation with the Sobolev-Slobodetskii spaces. Then, applying the method of weak perturbations of compact self-adjoint operators, we show the completeness of the root functions related to the boundary value problem in the Lebesgue space. For the ball, we present the corresponding eigenvectors as the product of the Bessel functions and the spherical harmonics.Мы рассматриваем некоэрцитивную задачу Штурма-Лиувилля в некоторой ограниченной области D комплексного пространства C для возмущенного оператора Лапласа. Более точно, мы ставим на границе условия Робиновского типа, в которых член первого порядка пропорционален комплексной нормальной производной. Доказывается фредгольмовость задачи в подходящих пространствах, для которых получена теорема вложения, дающая соотношения со шкалой пространств Соболева-Слободецкого. Затем, используя метод слабого возмущения компактных самосопряженных операторов, мы доказываем полноту корневых функций, ассоциированных с краевой задачей в пространстве Лебега. Для шара соответствующие собственные векторы представлены как произведение функций Бесселя и сферических гармоник