Raffinement de maillage adaptatif pour la simulation numérique des instabilités MHD dans les tokamaks : le code JOREK

The purpose of this paper is to illustrate both validity and advantages of the implementation of the adaptive mesh raffinement strategy in the recent version of the 3D non-linear MHD code JOREK which uses a technique based on the bicubic Bezier surfaces developed in the paper of Czarny-Huijsmans. We describe the physcal model and establish a refinement criteria. Then, we also present the numerical results of adaptive mesh raffinement simulation for the a tearing instability test case and to the test case of injection mechanism of a small pellet of frozen hydrogen into a tokamak

The semi-Lagrangian method on curvilinear grids

International audienceWe study the semi-Lagrangian method on curvilinear grids. The classical backward semi-Lagrangian method [1] preserves constant states but is not mass conservative. Natural reconstruction of the field permits nevertheless to have at least first order in time conservation of mass, even if the spatial error is large. Interpolation is performed with classical cubic splines and also cubic Hermite interpolation with arbitrary reconstruction order of the derivatives. High odd order reconstruction of the derivatives is shown to be a good ersatz of cubic splines which do not behave very well as time step tends to zero. A conservative semi-Lagrangian scheme along the lines of [2] is then described; here conservation of mass is automatically satisfied and constant states are shown to be preserved up to first order in time

Conservative Semi-Lagrangian solvers on mapped meshes

International audienceWe are interested in the numerical solution of the collisionless kinetic or gyrokinetic equations of Vlasov type needed for example for many problems in plasma physics. Different numerical methods are classically used, the most used is the Particle In Cell method, but Eulerian and Semi- Lagrangian (SL) methods that use a grid of phase space are also very interesting for some applications. Rather than using a uniform mesh of phase space which is mostly done, the structure of the solution, as a large variation of the gradients on different parts of phase space or a strong anisotropy of the solution, can sometimes be such that it is more interesting to use a more complex mesh. This is the case in particular for gyrokinetic simulations for magnetic fusion applications. We develop here a generalization of the Semi-Lagrangian method on mapped meshes. Classical Backward Semi-Lagrangian methods (BSL), Conservative Semi-Lagrangian methods based on one-dimensional splitting or Forward Semi- Lagrangian methods (FSL) have to be revisited in this case of mapped meshes. A first use of the classical advective BSL method on a mapped mesh has been described in 1. We consider here the problematic of conserving exactly some equilibrium of the distribution function, by using an adapted mapped mesh, which fits on the isolines of the Hamiltonian. This could be useful in particular for Tokamak simulations where instabilities around some equilibrium are investigated. We also consider the problem of mass conservation. In the cartesian framework, the FSL method automatically conserves the mass, as the advective and conservative form are shown to be equivalent. This does not remain true in the general curvilinear case. Numerical results are given on some gyrokinetic simulations performed with the GYSELA code and show the benefit of using a mass conservative scheme like the conservative version of the FSL scheme

Equations aux différences et scission de séparatrices

The purpose of this dissertation is to study how the discretization of a differential equation affects, the stable and unstable manifolds in two concrete examples: the logistic equation and the pendulum equation. The logistic equation is equivalent to a system with two fixed points A and B. It is known that the stable manifolds at A coincides with the unstable manifold at B. By improving some results of A. Fruchard and R. Schäfke, we show that the two manifolds do not coincide any more in the discretezed equation. The proof is a modification of an approach introduced by R. Schäfke and H. Volkmer. First, we build a formal solution with polynomial coefficients. Then we give an asymptotic approximation of these coefficients. From these estimates we can obtain a quasi-solution, that is, a function which satisfies the difference equation except for an exponentially small error; moreover we can evaluate the asymptotic behavior of the distance between the two manifolds. To conclude, we show that some constant alpha appearing in the dominant term of the distance between the manifolds is non zero, and we further give a precise approximation for it. The second part of the thesis is dedicated to an analogous study regarding the pendulum equation and its discretization (Standard mapping). Similar results were obtained by Lazutkin et al., but our proof is completely different. This case is harder than the previous one, for we deal with a second order equation.Cette thèse a pour objet d'étudier l'influence de la discrétisation d'une équation différentielle sur les variétés stables et instables dans deux exemples concrets : l'équation logistique et l'équation du pendule. L'équation logistique est équivalente à un système qui admet deux points selles A et B. Il est connu que la variété stable en A coïncide avec la variété instable en B. En améliorant des résultats antérieures de A. Fruchard et R. Schäfke, nous montrons que les deux variétés ne coïncident plus pour l'équation discrétisée. La démonstration est basée sur une modification d'une approche développée par R. Schäfke et H. Volkmer. Nous construisons d'abord une solution formelle à coefficients polynomiaux. Ensuite, nous donnons une approximation asymptotique des coefficients de la solution formelle. Ces estimations nous permettent d'obtenir une quasi-solution c'est à dire une fonction qui vérifie l'équation aux différences avec une erreur exponentiellement petite, puis de déterminer le comportement asymptotique de la distance entre les deux variétés. Pour conclure, nous démontrons qu'une constante alpha dans le terme dominant de la distance entre les variétés n'est pas nulle et nous donnons une approximation précise de cette constante. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à une étude analogue concernant l'équation du pendule et de sa discrétisation (Application standard). Des résultats similaires ont été obtenus par Lazutkin et al., mais la preuve que nous avons utilisée est complètement différente. Ce cas est plus difficile que le précédent parce qu'il s'agit d'une équation du second ordre

Equations aux différences et scission de séparatrices

Nous avons étudié l'influence de la discrétisation d'une équation différentielle sur les variétés stables et instables dans deux exemples concrets : l'équation logistique et l'équation du pendule. L'équation logistique est équivalente à un système qui admet deux points selles A et B. Il est connu que la variété stable en A coïncide avec la variété instable en B. En améliorant des résultats antérieures de A. Fruchard et R. Schäfke, nous montrons que les deux variétés ne coïncident plus pour l'équation discrétisée. La démonstration est basée sur une modification d'une approche développée par R. Schäfke et H. Volkmer. La deuxième partie est consacrée à une étude analogue concernant l'équation du pendule et de sa discrétisation. Des résultats similaires ont été obtenus par Lazutkin et al., mais la preuve que nous avons utilisée est complètement différente.The purpose of this dissertation is to study how the discretization of a differential equation affects, the stable and unstable manifolds in two concrete examples: the logistic equation and the pendulumequation. The logistic equation is equivalent to a system with two fixed points A and B. It is known that the stable manifolds at A coincides with the unstable manifold at B. By improving some results of A. Fruchard and R. Schäfke, we show that the two manifolds do not coincide any more in the discretezed equation. The proof is a modification of an approach introduced by R. Schäfke and H. Volkmer. The second part of the thesis is dedicated to an analogous study regarding the pendulum equation and its discretization (Standard mapping). Similar results were obtained by Lazutkin et al., but our proof is completely different.STRASBOURG-Sc. et Techniques (674822102) / SudocSudocFranceF

Numerical solution of the gyroaverage operator for the finite gyroradius guiding-center model.

International audienceIn this work, we are concerned with numerical approximation of the gyroav-erage operators arising in plasma physics to take into account the effects of the finite Larmor radius corrections. Several methods are proposed in the space configuration and compared to the reference spectral method. We then investigate the influence of the different approximations considering the coupling with some guiding-center models available in the literature

Résolution numérique de l'opérateur de gyromoyenne

International audienceL'opérateur de gyromoyenne est défini par J(f)(x, y) = 1 2π 2π 0 f (x + ρ cos(θ), y + ρ sin(θ))dθ. Dans un champ magnétique uniforme, les particules décrivent une trajectoire hélicoïdale et la projection sur le plan perpendiculaire est un cercle. L'opérateur de gyromoyenne traduit alors, dans la théorie gyrocinétique, l'idée de moyenner la fonction de distribution des particules autour d'un cercle d'un rayon caractéristique (le rayon de Larmor ρ) représentant le mouvement de gyration très rapide des particules autour des lignes de champs. On s'intéresse icì à la résolution numérique de cet opérateur en présentant et comparant différentes méthodes numériques. On suppose f 2π p ´ eriodique en x et en y. On définit une grille cartésienne de taille N x × N y