Well-posedness of general boundary-value problems for scalar conservation laws

International audienceIn this paper we investigate well-posedness for the problem u_t+ \div \ph(u)=f on (0,T)\!\times\!\Om, \Om \subset \R^N, with initial condition $u(0,\cdot)=u_0$ on \Om and with general dissipative boundary conditions $\varphi(u)\cdot \nu \in \beta_{(t,x)}(u)$ on (0,T)\!\times\!\ptl\Om. Here for a.e. (t,x)\in(0,T)\!\times\!\ptl\Om, $\beta_{(t,x)}(\cdot)$ is a maximal monotone graph on $\R$. This includes, as particular cases, Dirichlet, Neumann, Robin, obstacle boundary conditions and their piecewise combinations. As for the well-studied case of the Dirichlet condition, one has to interprete the {\it formal boundary condition} given by $\beta$ by replacing it with the adequate {\it effective boundary condition}. Such effective condition can be obtained through a study of the boundary layer appearing in approximation processes such as the vanishing viscosity approximation. We claim that the formal boundary condition given by $\beta$ should be interpreted as the effective boundary condition given by another monotone graph $\tilde \beta$, which is defined from $\beta$ by the projection procedure we describe. We give several equivalent definitions of entropy solutions associated with $\tilde \beta$ (and thus also with $\beta$). For the notion of solution defined in this way, we prove existence, uniqueness and $L^1$ contraction, monotone and continuous dependence on the graph $\beta$. Convergence of approximation procedures and stability of the notion of entropy solution are illustrated by several results

L1-theory of nonlinear P.D.E. with general boundary conditions

L'objectif de ce travail est l'étude de divers problèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires du type hyperbolique et d'autres du type elliptique-parabolique faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type Leray-Lions. Ces équations sont d'une façon générale mal posées dans le cadre de solutions faibles (i.e. au sens des distributions), car en général on n a pas l'unicité. Des formulations plus appropriées ont alors vu le jour : les solutions appelées SOLA, les solutions entropiques et les solutions renormalisées. Cette thèse composée de cinq chapitres, présente des résultats d'existence et d'unicité de solutions entropiques et renormalisées pour quatre problèmes non linéaires du type mentionnés ci-dessus. Après un bref exposé de définitions et résultats nécessaires à la suite du travail, nous prouvons au chapitre 2 l'existence et l'unicité de la solution entropique pour un problème elliptique du type diffusion-convection avec des conditions non linéaires sur le bord. Ces conditions englobent en particulier les conditions usuelles. Dans le même axe, au chapitre 3, l'existence et l'unicité de la solution entropique d'un problème parabolique avec absorption dépendant de la variable d'espace sont démontrés. Le chapitre 4 a pour but de présenter un résultat d'existence de solutions renormalisées pour un problème de Stefan non linéaire. Le dernier résultat, présenté au chapitre 5, est l'existence et l'unicité de la solution entropique d'un problème de lois de conservation scalaires avec des conditions non linéaires sur le bord.Pas de résum

L1-theory of nonlinear P.D.E. with general boundary conditions

L'objectif de ce travail est l'étude de divers problèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires du type hyperbolique et d'autres du type elliptique-parabolique faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type Leray-Lions. Ces équPas de résum

Etude de quelques E.D.P. non linéaires dans L^1 avec des conditions générales sur le bord

This thesis is devoted to the study of various problems of nonlinear partial differential equations of elliptic-parabolic type and of hyperbolic type. These equations are not generally well-posed within the framework of weak solutions (i.e. in distributionssense), because in general there is no uniqueness. Formulations more suitable were introduced: solutions called SOLA, entropy solutions and renormalized solutions. This thesis, made up of fivechapters, gives results of existence and uniqueness of entropy and renormalized solutions for four nonlinear problems. After recalling some definitions and results necessary for our work, we prove in chapter 2 the existence and the uniqueness of an entropy solution to an elliptic problem of diffusion-convection type with nonlinear boundary conditions including the usual boundary conditions. Inchapter 3, existence and uniqueness of an entropy solution of a parabolic problem with absorption depending on space variable are shown. Chapter 4 deals with the existence of renormalized solutionsfor a nonlinear Stefan problem. The last result, presented in chapter 5, concerns the existence and the uniqueness of an entropy solution for a conservation laws problem with nonlinear boundaryconditions.L'objectif de ce travail est l'étude de divers roblèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires du type hyperbolique et d'autres du type elliptique-parabolique faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type Leray-Lions. Ces équations sont d'une façon générale mal posées dans le cadre de solutions faibles (i.e. au sens des distributions), car en général on n'a pas l'unicité. Des formulations plus appropriées ont alors vu le jour : les solutions appelées SOLA, les solutions entropiques et les solutions renormalisées. Cette thèse composée de cinq chapitres, présente des résultats d'existence et d'unicité de solutions entropiques et renormalisées pour quatre problèmes non linéaires du type mentionnés ci-dessus. Après un bref exposé de définitions et résultats nécessaires à la suite du travail, nous prouvons au chapitre 2 l'existence et l'unicité de la solution entropique pour un problème elliptique du type diffusion-convection avec des conditions non linéaires sur le bord. Ces conditions englobent en particulier les conditions usuelles. Dans le même axe, au chapitre 3, l'existence et l'unicité de la solution entropique d'un problème parabolique avec absorption dépendant de la variable d'espace sont démontrés. Le chapitre 4 a pour but de présenter un résultat d'existence de solutions renormalisées pour un problème de Stefan non linéaire. Le dernier résultat, présenté au chapitre 5, est l'existence et l'unicité de la solution entropique d'un problème de lois de conservation scalaires avec des conditions non linéaires sur le bord

Strong boundary traces and well-posedness for scalar conservation laws with dissipative boundary conditions

International audienceThe aim of this paper is to give sense to the following formal problem for a scalar conservation law with boundary condition (BC, in the sequel) : u_t + div \phi(u) = f in Q := (0, T) ×\Omega u(0, ·) = u_0 on \Omega \phi_v(u) := \phi(u) ·v ∈ \beta(u) on \Sigma := (0, T) × \partial\Omega. Here v is the unit outward normal vector on \partial\Omega, the function\phi : R → R^N is continuous, and \beta is a maximal monotone graph on R

Etude de quelques E.D.P. non linéaires dans L1 avec des conditions générales sur le bord

L objectif de ce travail est l étude de divers problèmes d équations aux dérivées partielles non linéaires du type hyperbolique et d autres du type elliptique-parabolique faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type Leray-Lions. Ces équations sont d une façon générale mal posées dans le cadre de solutions faibles (i.e. au sens des distributions), car en général on n a pas l unicité. Des formulations plus appropriées ont alors vu le jour : les solutions appelées SOLA, les solutions entropiques et les solutions renormalisées. Cette thèse composée de cinq chapitres, présente des résultats d existence et d unicité de solutions entropiques et renormalisées pour quatre problèmes non linéaires du type mentionnés ci-dessus. Après un bref exposé de définitions et résultats nécessaires à la suite du travail, nous prouvons au chapitre 2 l existence et l unicité de la solution entropique pour un problème elliptique du type diffusion-convection avec des conditions non linéaires sur le bord. Ces conditions englobent en particulier les conditions usuelles. Dans le même axe, au chapitre 3, l existence et l unicité de la solution entropique d un problème parabolique avec absorption dépendant de la variable d espace sont démontrés. Le chapitre 4 a pour but de présenter un résultat d existence de solutions renormalisées pour un problème de Stefan non linéaire. Le dernier résultat, présenté au chapitre 5, est l existenceSTRASBOURG-Sc. et Techniques (674822102) / SudocSudocFranceF

Existence de solutions renormalisées pour un problème de Stefan non linéaire.

International audienceWe consider the Stefan problem (u)t − div a(u,Du) *ni f on a bounded domain, where is an arbitrary maximal monotone graph in R62. Existence of renormalized solutions is established for general L61-data without any additional condition on the graph

Scalar conservation laws with nonlinear boundary conditions

International audienceThis Note deals with uniqueness and continuous dependence of solutions to the problem u_t + div ϕ(u) = f on (0,T ) ×Ω with initial condition u(0, ·) = u_0 on Ω and with (formal) nonlinear boundary conditions ϕ(u) · ν ∈ β(t,x,u) on (0,T ) × ∂Ω, where β(t,x, ·) stands for a maximal monotone graph on R. We suggest an interpretation of the formal boundary condition which generalizes the Bardos–LeRoux–Nédélec condition, and introduce the corresponding notions of entropy and entropy process solutions using the strong trace framework of E.Yu. Panov. We prove uniqueness and provide some support for our interpretation of the boundary condition