Karima Sbihi

Petra Wittbold

Comptes Rendus Mathématique

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 629–632http://france.elsevier.com/direct/CRASS1/Équations aux dérivées partiellesExistence de solutions renormalisées pour un problèmede Stefan non linéaireKarima Sbihi a, Petra Wittbold ba Université de Franche-Comté, Laboratoire de mathématiques, 16, route de Gray, 25030 Besançon cedex, Franceb Technische Universität Berlin, Institut für Mathematik, Straβe des 17. Juni 136, 10623 Berlin, AllemagneReçu le 20 février 2007 ; accepté après révision le 22 octobre 2007Présenté par Haïm BrezisRésuméOn étudie le problème de Stefan β(u)t − diva(u,Du)  f , où β est un graphe maximal monotone quelconque dans R2. L’exis-tence des solutions renormalisées est établie pour des données intégrables sans aucune hypothèse supplémentaire sur le graphe β.Pour citer cet article : K. Sbihi, P. Wittbold, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).© 2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.AbstractExistence of renormalized solutions for a nonlinear Stefan problem. We consider the Stefan problem β(u)t −div a(u,Du) f on a bounded domain, where β is an arbitrary maximal monotone graph in R2. Existence of renormalized solutions is establishedfor general L1-data without any additional condition on the graph β. To cite this article: K. Sbihi, P. Wittbold, C. R. Acad. Sci.Paris, Ser. I 345 (2007).© 2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.1. IntroductionDans cette Note, on se propose de donner un résultat d’existence de solutions renormalisées du problème de Stefansuivant :(S)(b0, f ){β(u)t − diva(u,Du)  f sur Q := Ω × (0, T ),β(u)(t = 0)  b0 sur Ω,u = 0 sur Σ := ∂Ω × (0, T )où Ω est un domaine borné de RN(N  1), T > 0, β est un graphe maximal monotone quelconque dans R2 contenant(0,0), f ∈ L1(Q), b0 ∈ L1(Ω) tel que b0 ∈ R(β) p.p. sur Ω et a : R×RN → RN est un champ vérifiant les hypothèsessuivantes du type Leray–Lions :Adresses e-mail : karima.sbihi@univ-fcomte.fr (K. Sbihi), wittbold@math.tu-berlin.de (P. Wittbold).1631-073X/$ – see front matter © 2007 Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2007.10.042630 K. Sbihi, P. Wittbold / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 629–632(H1) – monotonie en ξ ∈ RN :(a(r, ξ) − a(r, η)) · (ξ − η)  0 ∀r ∈ R, ∀ξ, η ∈ RN ;(H2) – coercivité : ∃λ > 0, p > 1 tels que(a(r, ξ) − a(r,0)) · ξ  λ|ξ |p ∀r ∈ R, ∀ξ ∈ RN ;(H3) – condition de croissance : ∃Λ : R+ → R continue, croissante telle que∣∣a(r, ξ)∣∣  Λ(|r|)(1 + |ξ |p−1) ∀r ∈ R, ∀ξ ∈ RN ;(H4) – ∃C : R × R → R continue telle que∣∣a(r, ξ) − a(s, ξ)∣∣  C(r, s)|r − s|(1 + |ξ |p−1) ∀r, s ∈ R, ξ ∈ RN.Les problèmes dégénérés du type (S) interviennent notamment dans la modélisation des écoulements de fluides àtravers un milieu poreux. Nombreux travaux ont été dédiés aux questions d’existence et d’unicité des solutions faiblesou renormalisées pour ce type de problème. L’existence de solutions faibles est établie sous certaines conditions surl’opérateur a ou sur le graphe β dans [1,5,12]. Pour des données intégrables, la notion de solution renormaliséeou entropique a été introduite par plusieurs auteurs, citons en particulier les travaux de [2–4,6–8,11]. L’existencede solutions dans L1 pour le problème (S)(b0, f ), dans le cas où β est une fonction continue et croissante, a étéétablie dans [2]. Lorsque a(u,Du) est remplacé par a(x,Du) − φ(u), avec φ Lipschitz, ce problème a été étudié parBlanchard et Porretta [6]. Ils montrent l’unicité de la solution renormalisée pour un graphe monotone quelconque etl’existence pour un graphe dont le graphe réciproque est une fonction continue. La principale nouveauté du travailque nous présentons ici vient du fait que, contrairement à [6], nous n’imposons aucune condition sur le graphe βpour montrer l’existence de solutions renormalisées. Nous combinerons pour cela les techniques de [6] et l’approchedéveloppée dans [2].2. Définition et résultatsOn désigne par β0 la section minimale du graphe β. Pour l > 0, on note Tl la troncature au niveau l : Tl(r) =min(l,max(r,−l)).Définition 2.1. Une fonction mesurable u :Q → R est dite solution renormalisée du problème (S)(b0, f ) si Tl(u) ∈Lp(0, T ;W 1,p0 (Ω)) pour tout l > 0 et s’il existe b ∈ L1(Q) telle que b ∈ β(u) p.p. dans Q, vérifiant−∫Qϕtb∫0(S′ ◦ β−1)0(r) dr dx dt −∫Ωϕ(0)b0∫0(S′ ◦ β−1)0(r) dr dx+∫Qa(u,Du) · DϕS′(u) dx dt +∫Qa(u,Du) · DuS′′(u)ϕ dx dt =∫Qf S′(u)ϕ dx dtpour tout S ∈ W 2,∞(R) avec S′ à support compact, et tout ϕ ∈ C∞c ([0, T )×Ω) telle que S′(u)ϕ ∈ Lp(0, T ;W 1,p0 (Ω)),et, si de plus,liml→∞∫{l|u|2l}(a(u,Du) − a(u,0)) · Du = 0. (1)Théorème 2.2. Soient f ∈ L1(Q) et b0 ∈ L1(Ω). Alors le problème (S)(b0, f ) admet une solution renormalisée.Notons que l’unicité de b ∈ β(u), où u est une solution renormalisée de (S)(b0, f ), peut être prouvée de la mêmemanière que [6, Theorem 4.1] sans aucune hypothèse supplémentaire sur le graphe β.K. Sbihi, P. Wittbold / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 629–632 631Théorème 2.3. Pour i = 1,2 soient fi ∈ L1(Q), b0i ∈ L1(Ω). Soit ui une solution renormalisée du problème(S)(b0i , fi). Alors∫Ω(b1(t) − b2(t))+  ∫Q(f1 − f2)+ +∫Ω(b01 − b02)+ pour presque tout t.3. Preuve du résultat d’existenceL’approche adoptée pour la preuve d’existence de solutions renormalisées s’appuie sur une méthode d’approxima-tion en deux étapes. Pour une présentation plus complète se reporter à [11].Étape 1 : On commence d’abord par approcher et perturber le problème (S)(b0, f ) par le problème(Sk)(bk0, f,ψ){βk(u)t − diva(u,Du) + ψ(u) = f sur Q,βk(u)(t = 0)  bk0 sur Ω,u = 0 sur Σ,où ψ(r) = ψm,n(r) = 1mr+ + 1n r−,m,n ∈ N∗, r ∈ R, βk(r) = β(r) + 1k r, k ∈ N∗, f ∈ L∞(Q) et bk0 = b0 + 1k u0 avecb0, u0 ∈ L∞(Ω) et tel que b0 ∈ β(u0) p.p. sur Ω .La perturbation ψ nous permettera de récupérer la convergence de la suite de solutions sans imposer aucunecondition supplémentaire sur le graphe β, contrairement à [6] où l’on impose la continuité de β−1. En s’appuyantsur la théorie générale des semigroupes non linéaires, on montre l’existence d’une solution faible uk (i.e. au sensdes distributions) du problème (Sk)(bk0, f,ψ). La première partie de la preuve consiste donc à passer à la limite aveck → ∞ et à montrer que ces solutions faibles uk convergent lorsque k → ∞ vers les solutions faibles du problème(S)(b0, f,ψ){β(u)t − diva(u,Du) + ψ(u)  f sur Q,β(u)(t = 0)  b0 sur Ω, u = 0 sur Σ.Ce passage à la limite est en partie assuré par la perturbation ψ , qui nous permet de récupérer la convergence presquepartout de la suite de solutions (uk)k. En effet, par un choix de fonctions test convenable on établit dans un pre-mier temps que la suite (uk)k est uniformément bornée dans Lp(0, T ;W 1,p0 (Ω)), et grâce à la fonction ψ , ellel’est aussi dans L∞(Q). Quant à la convergence presque partout de la suite de solutions (uk)k, elle est prouvéeen se basant sur la méthode de dédoublement de variables de Kruzhkov [9]. En effet, considérons uk(t, x), ul(s, x),t, s ∈ [0, T ], k, l ∈ N∗, les solutions de (Sk)(bk0, f,ψ), (Sl)(bl0, f,ψ) resp., et appliquons les techniques de [6, Theo-rem 4.1]. Soit la fonction test ϕ = 1h∫ t+htηδ(uk −ul + δζ )ξ, où ξ ∈ C∞c ([0, T )2 ×Ω), ξ  0, ζ ∈ C∞c (Ω),0  ζ  1et ηδ(r) = Tδ(r)δ . On décompose bk = bk,1 + 1k uk, bk,1 ∈ β(uk). On fait une décomposition analogue pour ul . Enadditionnant les deux inégalités résultantes et en passant à la limite avec h, δ → 0 en suivant les étapes de [11, Propo-sition 4.2.2] on déduit−T∫0∫Qξt(|bk,1 − bl,1| − |b0k,1 − bl,1|) −T∫0∫Qξs(|bl,1 − bk,1| − |b0l,1 − bk,1|)−T∫0∫Q1lξt(|uk − ul | − |uk0 − ul |) −T∫0∫Q1kξs(|uk − ul | − |ul0 − uk|)+T∫0∫Q(χ{uk>ul} − χ{uk<ul})(a(uk,Duk) − a(ul,Dul)) · Dξ+T∫0∫Q(χ{uk>ul} − χ{uk<ul})(ψ(uk) − ψ(ul))ξT∫ ∫(χ{uk>ul} − χ{uk<ul} + χ{uk=ul})(f (t, x) − f (s, x))ξ.0 Q632 K. Sbihi, P. Wittbold / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007) 629–632Considérons ξ = ϕ(t)ρp(t − s) avec ϕ ∈ C∞c ([0, T [), ϕ  0 et (ρp)p une suite régularisante. Comme bk,1, bl,1 → bdans C([0, T ];L1(Ω)) par la théorie des semigroupes non linéaires, et (uk)k est bornée dans L∞(Q),limp→∞ limk,l→∞∫Q×[0,T ]ϕρp(∣∣ψ(uk(t, x)) − ψ(ul(s, x))∣∣)  0.Comme ψ est fortement monotone on déduit que uk → u dans L1loc(Q) lorsque k → ∞. D’autre part, grâceà l’hypothèse (H3), (a(uk,Duk))k est borné dans (Lp′(Q))N , donc quitte à extraire une sous-suite si nécessaire,converge lorsque k → ∞ faiblement vers χ et par l’argument de pseudo-monotonie, on montre que diva(u,Du) =divχ . Au final, on peut passer à la limite dans le problème (Sk)(bk0, f,ψ) et par suite on a existence d’une solutionfaible u du problème (S)(b0, f,ψ) pour toutes b0 et f bornées.Étape 2 : La méthode employée pour montrer l’existence de solutions renormalisées pour des données intégrablesconsiste à approcher les fonctions f et b0 par les suites fm,n = (f ∧m)∨ (−n) et b0m,n = (b0 ∧m)∧β0(m)∨ (−n)∨β0(−n), d’où résulte une solution um,n du problème (S)(b0m,n, fm,n,ψm,n), puis à passer à la limite avec m,n → ∞.Par des choix de fonctions test on montre que Tl(um,n) ∈ Lp(0, T ;W 1,p0 (Ω)) pour tout l > 0 et que (1) est vérifiée.On montre ensuite (cf. [11, Lemme 4.3.1]) le résultat de comparaison suivant : ∀m,n ∈ N∗ um,n  um+1,n et um,n+1 um,n p.p. sur Q, qui assure que um,n ↑m un ↓n u p.p. sur Q, où un,u :Q → R sont des fonctions mesurables, et commedans [2] on montre que un,u sont finies p.p. sur Q.Reste à établir que diva(Tl(u), DTl(u)) = divχl, où χl est la limite faible, lorsque m,n → ∞, de a(Tl(um,n),DTl(um,n)) dans (Lp′(Q))N. Pour ce faire, soit la fonction test σh(um,n)(Tl(um,n) − (Tl(u))λ), où (Tl(u))λ est larégularisée de Landes (cf. [10]), σ ∈D+(0, T ), h ∈ W 1,∞(R) positive et à support compact. On montre quelim supλ→∞lim supm,n→∞∫Qσa(um,n,Dum,n) · D(Tl(um,n) −(Tl(u))λ) 0,et par l’argument de pseudo-monotonie on déduit que diva(Tl(u),DTl(u)) = divχl.En choisissant la fonction test S′(um,n)ϕ et à l’aide des estimations établies, pour une certaine sous-suite bienchoisie, on peut passer à la limite dans (S)(b0m,n, fm,n,ψm,n) lorsque m,n → ∞, et on obtient ainsi la formulationrenormalisée désirée.Références[1] H.W. Alt, S. Luckhaus, Quasilinear elliptic-parabolic differential equations, Math. Z. 183 (1983) 311–341.[2] K. Ammar, P. Wittbold, Existence of renormalized solutions of degenerate elliptic-parabolic problems, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 133(2003) 477–496.[3] F. Andreu, N. Igbida, J.M. Mazon, J. Toledo, A degenerate elliptic-parabolic problem with nonlinear dynamical boundary conditions, Ann.Inst. H. Poincaré Analyse Non Linéaire 24 (2007) 61–89.[4] F. Andreu, N. Igbida, J.M. Mazon, J. Toledo, Renormalized solutions for degenerate elliptic-parabolic problems with nonlinear dynamicalboundary conditions and L1-data, preprint.[5] D. Blanchard, G. Francfort, A few results on a class of degenerate parabolic equations, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 18 (1991)213–249.[6] D. Blanchard, A. Porretta, Stefan problems with nonlinear diffusion and convection, J. Differential Equations 210 (2005) 383–428.[7] N. Igbida, J.M. Urbano, Uniqueness for nonlinear degenerate problems, NoDEA 10 (2003) 287–307.[8] N. Igbida, P. Wittbold, Renormalized solution for Stefan type problems: Existence and uniqueness, preprint.[9] S.N. Kruzhkov, First order quasilinear equations with several independent variables, Mat. Sb. 81 (123) (1970) 228–255.[10] R. Landes, On the existence of weak solutions for quasi-linear parabolic initial boundary-value problems, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 89 (1981)217–237.[11] K. Sbihi, Etude de quelques E.D.P. non linéaires dans L1 avec des conditions générales sur le bord, Thèse de doctorat, Strasbourg, 2006.[12] X. Xu, Existence and convergence theorems for doubly nonlinear partial differential equations of elliptic-parabolic type, J. Math. Anal.Appl. 150 (1990) 205–223.

Existence de solutions renormalisées pour un problème de Stefan non linéaire

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