Using Classroom Episodes to Foster Prospective Teachers’ Didactical Knowledge: Issues for Teacher Education

After briefly analysing a classroom episode, we discuss aspects of the teacher’s didactical knowledge, namely in its mathematical and instructional dimensions, as reflected in the answers of three prospective teachers to a written assignment based on the episode. We then raise some issues regarding initial teacher education, anchored in the notion of didactical knowledge.This work is supported by national funds through FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia, under the projects Professional Practices of Teachers of Mathematics (Grant PTDC/CPE-CED/098931/2008) and PEst-C/MAT/UI0144/2011, and by FEDER funds through COMPET

THE ROLE OF DIDACTICAL KNOWLEDGE IN SEIZING TEACHABLE MOMENTS

Drawing on a short analysis of a classroom episode, we reflect on the teacher’s actions and their relationship to his/her didactical knowledge, namely in its dimensions of knowledge of mathematics and knowledge of instructional processes. Focusing on these dimensions, we discuss the answers of some future and practicing teachers to a written assignment based on that episode. Anchored in the notion of didactical knowledge, we raise some issues regarding teacher education programs and their adequacy to comply with current demands of mathematics teaching.FC

O estudo acompanhado em articulação com a matemática : práticas de duas professoras

Com a implementação do Plano da Matemática (PM), a área curricular não disciplinar de Estudo Acompanhado (EA) passou a constituir um espaço significativo para trabalhar Matemática. Neste texto, pretendemos identificar e analisar a articulação entre a disciplina de Matemática e a área de EA quando nesta são desenvolvidas tarefas matemáticas e lecionadas pelo mesmo professor. Com este intuito, analisámos as práticas de duas professoras no que diz respeito aos tipos de tarefas selecionadas para as aulas de Matemática e de EA, às razões e fontes para essa seleção e às formas como são, em geral, exploradas as tarefas em cada um destes espaços de trabalho com os alunos. Os resultados evidenciam que ambas as professoras procuram articular o trabalho desenvolvido nas aulas de Matemática e nas de EA de forma complementar, aproveitando este espaço para reforçar conteúdos e preparar os alunos para as provas nacionais, embora de formas diferentes. Os resultados sugerem também que o Plano da Matemática tem uma maior influência nas práticas das professoras nas aulas de EA do que nas de Matemática.Programa Operacional Fatores de Competitividade – COMPETEFCT – Fundação para a Ciência e Tecnologi

The role of didactical knowledge in seizing teachable moments

Drawing on a short analysis of a classroom episode, we reflect om the teacher's actions and their relationship to his/her didactical knowledge, namely in its dimensions of knowledge of mathematics and knowledge of instructional processes. Focusing on these dimensions, we discuss the answers of some future and practicing teachers to a written assignment based on that episode. Anchored in the notion of didactical knowledge, we raise some issues regarding teacher education programs and their adequacy to comply with current demands of mathematics teaching

Resolução de problemas envolvendo arranjos com repetição: uma análise à luz do modelo do pensamento combinatório dos alunos

Recorrendo ao Modelo de Pensamento Combinatório dos Alunos desenvolvido por Lockwood (2013), procurámos analisar o modo como os alunos abordam problemas combinatórios cuja resolução envolve a utilização de arranjos com repetição. Para tal, a professora-investigadora propôs a uma turma do 12º ano (17-18 anos) duma escola do interior norte de Portugal, a resolução de dois problemas de seleção – retirar elementos de um conjunto de elementos – e um de distribuição – distribuir objetos por espaços vazios (usando a tipologia de Dubois, 1984). Os alunos trabalharam em pequenos grupos, num ambiente exploratório de ensino-aprendizagem. Os dados para esta comunicação foram recolhidos em duas aulas de 90 minutos através de observação participante, gravações em vídeo e recolha documental das resoluções dos alunos. O ambiente exploratório de ensino-aprendizagem potenciou a escolha, por parte dos alunos, de abordagens distintas (e.g., modelação matemática, princípio fundamental da contagem), assim como a descoberta de diferenças entre os dois tipos de problemas. Porém, tal como sugerem Batanero et al. (1997), demonstraram maiores dificuldades na resolução do problema de distribuição. A análise dos dados permitiu corroborar as relações entre os três componentes do modelo de Lockwood: fórmulas/expressões; processos de contagem; conjuntos de resultados

Diversificando recursos para a compreensão do principio fundamental da contagem

O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) está subjacente às fórmulas das operações combinatórias (arranjos e combinações) e o seu uso é central na resolução de problemas de contagem, mas os alunos têm dificuldades em reconhecer situações de natureza multiplicativa (e.g., Lockwood & Caughman, 2016; Tillema, 2013). Para compreender como a diversificação de recursos pode apoiar a compreensão do PFC e a resolução de problemas de contagem, a professora-investigadora propôs a uma turma do 12º ano (17-18 anos), duma escola no interior norte de Portugal, a resolução, em pequenos grupos, duma tarefa de contagem com algum grau de abertura. Foi sugerido o recurso ao smartphone na pesquisa necessária à resolução da tarefa. Os dados foram recolhidos em duas aulas de 90 minutos através de observação participante, gravações em vídeo e recolha documental das produções dos alunos na tarefa proposta. Ao longo da pesquisa efetuada, os alunos sentiram necessidade de elaborar listagens e, posteriormente, diagramas que conduziram à utilização adequada do PFC. Os resultados sugerem que os diagramas facilitam a distinção das situações de natureza multiplicativa das de natureza aditiva. A diversificação de recursos contribuiu para a compreensão do PFC

Essay on the role of teachers’ questioning in inquiry-based mathematics teaching

This paper is an essay on the role of the mathematics teacher’s questioning in inquiry- based teaching. Questions are important communication tools that are used by the teacher for various purposes and underpin different visions of what it means to teach mathematics. Inquiry-based mathematics teaching has achieved relevance as a powerful alternative to direct teaching, which is inefficient in complying with current demands of mathematics learning. The paper constitutes a reflection on teachers´ questioning within an inquiry-based approach to teaching mathematics, based on available research and illustrated by classroom episodes of three basic education teachers. Our reflection has led us to advocate the central role of the teacher’s questions in inquiry-based mathematics teaching, having two main goals: (i) verification of knowledge, a questioning goal that is common to the direct teaching approach; and (ii) development of knowledge, a questioning goal that is specific to inquiry-based teaching. These two goals are attained using three types of questions which may be present in all phases of an inquiry-based lesson, albeit with different weights according to the lesson phases and the teacher’s own goals.Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT)Grant PTDC/CPE-CED/098931/200

Atas do XXV Seminário de Investigação em Educação Matemáticas.

Este livro contém os textos das conferências plenárias e das comunicações orais, após revisão por pares.AP

Classroom communication: the perspective of inquiry-based mathematics teaching

Este artigo procura responder ao desafio de pensar a comunicação que tem lugar na aula de Matemática. Contrariamos a visão simplista da comunicação como instrumento de transferência de conhecimento (do professor para os alunos) para assumirmos a comunicação como processo de interação, no qual o conhecimento matemático é socialmente construído. Esta visão da comunicação na aula de Matemática representa uma aproximação aos processos de produção e comunicação de conhecimento matemático que têm lugar no campo científico e no agir diário das comunidades humanas (quando lidam com ideias matemáticas). Para que isso ocorra, são exigidas mudanças no ensino, particularmente no papel do professor e no dos alunos. O ensino exploratório da Matemática é apresentado como um meio privilegiado do professor, apoiado num conjunto de ações comunicativas fundamentais, criar ambientes de aprendizagem produtivos, que, envolvendo o trabalho com tarefas matemáticas desafiantes, a sua resolução e discussão, culminam na institucionalização de conhecimento matemático.This paper aims at answering to the challenge of thinking about the communication that occurs in the mathematics classroom. We disagree with the simplistic view of communication as a tool for knowledge transfer (from teacher to students); instead, we assume communication as a process of interaction, in which mathematical knowledge is socially constructed. Such a vision of communication in the mathematics classroom resonates with the processes of production and communication of mathematical knowledge that take place in the scientific field and the human community’s daily acting (when using mathematical ideas). Thus, changes are needed in mathematics teaching, particularly regarding the teacher’s and the students’ roles. Inquiry-based mathematics teaching is appointed as a privileged way to, supported by a set of fundamental communicative actions, create productive learning environments, which involve students’ work in challenging mathematical tasks, solving them and discussing the approaches taken, and culminate in the institutionalization of mathematical knowledge.info:eu-repo/semantics/publishedVersio

Comunicação nas práticas letivas dos professores de Matemática

Este capítulo tem como objetivo discutir o papel da comunicação nas práticas letivas dos professores, no contexto do ensino exploratório de Matemática. Começando por situar as principais perspetivas sobre o papel da comunicação na aprendizagem da Matemática, caraterizamos, de um ponto de vista micro, as principais ações comunicativas do professor e, de um ponto de vista macro, as dinâmicas comunicativas da sala de aula. Neste enquadramento, defendemos que a atividade do professor de Matemática tem uma forte natureza discursiva e comunicacional. Numa aula de ensino exploratório de Matemática, o discurso do professor tem uma função de suporte e regulação do discurso dos alunos, promovendo o diálogo e a valorização do pensamento dos alunos. A comunicação surge, assim, como elemento estruturante do ensino e, portanto, das práticas letivas do professor, deixando de ser vista como um mero instrumento ou técnica do professor para ensinar Matemática, mas como algo inerente ao ensino e aos processos de construção e partilha do conhecimento matemático.Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT