Appell sorozatokkal kapcsolatos diofantikus eredmények = Diophantine results connected with Appell sequences

Rakaczki számos, jelentős effektív eredményt ért el Appell sorozatokat tartalmazó hiperelliptikus, illetve szuperelliptikus F(A_n(x))=y^m típusú egyenletek x, y, m egész megoldásaira vonatkozóan, ahol F(x) egy tetszőleges racionális együtthatójú polinom, amelyik nem m-edik hatvány. Különböző számelméleti eszközök és elemi módszerek kombinálásával megmutatta, hogy a három legismertebb Appell sorozta (Hermite polinomok H_n(x), Euler polinomok E_n(x), Bernoulli polinomok B_n(x)) extrémumainak P-típusa mindíg tartalmaz legalább három 1-est, feltéve, hogy az adott polinom fokszáma legalább 7. Az s(1^k+2^k+…+x^k)+r=y^n diofantikus egyenlettel kapcsolatban lényegesen általánosítja, illetve kiterjeszti számos szerző, köztük Győry, Tijdeman, Voorhoeve, Kano, Brindza, Pintér, korábbi eredményeit. Teljesen jellemzi az összes olyan s, r, k egészeket, amelyek mellett az egyenletnek lehet végtelen sok x, y>=2, n>=2 egész megoldása. | Rakaczki has obtained several significant effective results for the number of integer solutions of the hiperelliptic and superelliptic equations of the form F(A_n(x))=y^m, where F(x) is a non m-th power polynomial with rational coefficients and A_n(x) is an Appell sequence. Combining different number theory tools and elementary methods he showed that the P-types of extrema of the three most famous Appell sequences (Hermite polynomials H_n(x), Euler polynomials E_n(x), Bernoulli polynomials B_n(x)) always contain at least three 1, provided that the degree of the given polynomial is at least 7. His results related to the diophantine equation s(1^k+2^k+…+x^k)+r=y^n are considerable generalizations and extensions of some earlier relevant works of Győry, Tijdeman, Voorhoeve, Kano, Brindza and Pintér. He characterized those integers s, r, k for which the the above equation may have infinitely many integer solutions x, y>=2, n>=2

On the Decomposability of the Linear Combinations of Euler Polynomials with Odd Degrees

L

On the decomposability of linear combinations of Euler polynomials

L

On equal values of products and power sums of consecutive elements in an arithmetic progression

In this paper we study the Diophantine equation \begin{align*} b^k + \left(a+b\right)^k + &\left(2a+b\right)^k + \ldots + \left(a\left(x-1\right) + b\right)^k = \\ &y\left(y+c\right) \left(y+2c\right) \ldots \left(y+ \left(\ell-1\right)c\right), \end{align*} where $a,b,c,k,\ell$ are given integers under natural conditions. We prove some effective results for special values for $c,k$ and $\ell$ and obtain a general ineffective result based on Bilu-Tichy method

Explicit módszerek a diofantikus számelméletben = Explicit methods in diophantine number theory

A kutatócsoport tagjai jelentős eredményeket értek el a számelmélet, és ezen belül a diofantikus egyenletek elméletében. Effektív és ineffektív végességi tételeket nyertek tóruszok bizonyos részvarietásainak pontjaival kapcsolatban, és függvénytestek illetve számtestek feletti rezultáns forma egyenletek megoldásaira. Teljesen megoldottak Thue- illetve szuperelliptikus egyenletcsaládokat és különböző exponenciális diofantikus egyenleteket. Új eredményeket nyertek véges alaptestű függvénytestek feletti diofantikus egyenletekről, folytatták kutatásaikat algebrai számtestek hatvány egész bázisaival kapcsolatban. Klasszikus tételeket általánosítva, vizsgálták a számtani sorozatokban előforduló teljes hatványokat. Új eredményeket nyertek az alkalmazások szempontjából fontos szomszédsági szekvenciák elméletében, valamint a diszkrét tomográfiában. Általánosították a balansz számok fogalmát, ineffektív végességi állításokat bizonyítottak különböző szeparábilis diofantikus egyenletek megoldásszámára. Vizsgálták index formák kriptográfiai felhasználhatóságát. Leírták különböző polinomcsaládok illetve eltoltjaik gyökszerkezetét. Részben a fenti eredményeket felhasználva, Rakaczki Csaba, Pink István és Nyul Gábor megszerezte a PhD fokozatot, Bérczes Attila és Pintér Ákos elkészítette habilitációs illetve MTA doktori értekezését. | The members of the research group have obtained significant results in number theory, in particular concerning Diophantine equations. Effective and ineffective theorems have been derived about points of certain subvarieties of tori, and also for the solutions of resultant form equations over number fields and function fields. Families of Thue- and superelliptic equations, as well as several exponential Diophantine equations have been resolved. New results for Diophantine equations over finite fields have been obtained, and the research about power integral bases of algebraic number fields has also been continued. Generalizing classical theorems, perfect powers in arithmetic progressions have been investigated. New results have been proved in the theory of neighborhood sequences and in discrete tomography, which may have significant applications later on. The notion of balancing numbers has been generalized, and ineffective finiteness results have been derived for the number of solutions of several separable Diophantine equations. The cryptographical applicability of index forms has been investigated. The root structures of several families of polynomials and their translations have been described. Partly based upon the above results, Csaba Rakaczki, István Pink and Gábor Nyul have received a PhD degree, and Attila Bérczes and Ákos Pintér has submitted a habilitation thesis and an Academical Doctoral dissertation, respectively

Effektív, kvantitatív és számítógépes vizsgálatok a diofantikus egyenletek elméletében = Effective, quantitative and computation investigations in the theory of Diophantine equations

Számos jelentős effektív, kvantitatív és numerikus eredmény született egy sor alapvető fontosságú diofantikus problémával kapcsolatban. Az eredmények elsősorban széteső forma egyenletekre, S-egységegyenletekre, szuperelliptikus és binom Thue egyenletekre, általánosított Fermat-típusú egyenletekre, valamint rekurzív sorozatokra, adott diszkriminánsú, illetve adott rezultánsú polinomokra és binér formákra, általánosított számrendszerekre és alkalmzásaikra vonatkoznak. A legkiemelkedőbb eredmények a következők. Teljesen explicit eredményt nyertek a híres ABC-sejtés számtestek feletti általánosított változatával kapcsolatban. 13-nál nagyobb kitevők esetén megoldották a Fermat-féle egyenlet bizonyos fontos általánosításait. Közös általánosítását adták az ismeretlen fokszámú binom Thue egyenletekre és az S-egységegyenletekre vonatkozó korábbi nevezetes (kvalitatív) effektív végességi tételeknek. Jelentős áttörést hajtottak végre egy több évszázados problémakörben, megmutatván, hogy legfeljebb 11 tagú számtani sorozat tagjainak a szorzata (bizonyos triviális kivételektől eletekintve) nem lehet teljes hatvány. Új módszereket, hatékony eljárásokat dolgozatk ki ismeretlen fokszámú binom Thue egyenletek, S-egységegyenletek, szuperelliptikus egyenletek, általánosított Fermat-féle egyenletek, valamint index forma egyenletek konkrét esetekben való megoldására. Mindezeknek számos fontos alkalmazását adták a diofantikus számelméletben és az algebari számelméletben. | Several effective, quantitative and numerical results have been established on various diophantine problems of fundamental importance. These results concern mostly decomposable form equations, S-unit equations, superelliptic equations, binomial Thue equations, generalized Fermat-type equations, linear recurrences, binary forms of given discriminant resp. of given resultant, generalized number systems and their applications. The most important scientific achievements of the project are as follows. A completely explicit result has been obtained in the direction of the famous ABC-conjecture for number fields. Certain important generalizations of the Fermat equation have been solved for exponents greater than 13. A common generalization has been given of the earlier (qualitative) effective finiteness theorems concerning S-unit equations resp. binomial Thue equations with unknown exponent. A considerable breakthrough has been made in connection with a problem going back to Fermat and Euler: it has been proved that (apart from some trivial exceptions) a product of at most 11 consecutive terms in an arithmetic progression can never be a perfect power. New methods and efficient algorithms have been elaborated for solving, in concrete cases, binomial Thue equations with unknown exponent, S-unit equations, superelliptic equations, generalized Fermat-type equations and index form equations. These led to many important applications in diophantine and algebraic number theory