Inductive and Functional Types in Ludics

Ludics is a logical framework in which types/formulas are modelled by sets of terms with the same computational behaviour. This paper investigates the representation of inductive data types and functional types in ludics. We study their structure following a game semantics approach. Inductive types are interpreted as least fixed points, and we prove an internal completeness result giving an explicit construction for such fixed points. The interactive properties of the ludics interpretation of inductive and functional types are then studied. In particular, we identify which higher-order functions types fail to satisfy type safety, and we give a computational explanation

Types inductifs, fonctionnels et non-linéaires en ludique

This thesis investigates the types of ludics. Within the context of the Curry–Howard correspondence,l udics is a framework in which the dynamic aspects of both logic and programming can be studied. The basic objects, called designs, are untyped infinitary proofs that can also beseen as strategies from the perspective of game semantics, and a type or behaviour is a set of designs well-behaved with respect to interaction. We are interested in observing the interactive properties of behaviours. Our attention is particularly focused on behaviours representing the types of data and functions, and on non-linear behaviours which allow the duplication of objects. A new internal completeness result for infinite unions unveils the structure of inductive data types. Thanks to an analysis of the visitable paths, i.e., the possible execution traces, we prove that inductive and functional behaviours are regular, paving the way for a characterisation of MALL in ludics. We also show that a functional behaviour is pure, a property ensuring the safety of typing, if and only if it is not a type of functions taking functions as argument. Finally,we set the bases for a precise study of non-linearity in ludics by recovering a form of internal completeness and discussing the visitable paths.Cette thèse est consacrée à une exploration des types de la ludique. S’inscrivant dans un contexte marqué par la correspondance de Curry–Howard, la ludique est un cadre permettant d’étudier l’aspect dynamique de la logique et de la programmation. Les objets de base, appelés desseins, sont des preuves infinitaires non-typées qui peuvent également être vues comme des stratégies sous l’angle de la sémantique des jeux, et un type ou comportement est un ensemble de desseins se conduisant de la même manière du point de vue de l’interaction. On s’intéresse aux propriétés interactives des comportements. Notre attention se porte en particulier sur les comportements représentant les types de données et de fonctions, et sur les comportements non-linéaires qui permettent la duplication d’objets. Un nouveau résultat de complétude interne pour les unions infinies dévoile la structure des types de données inductifs. Grâce à une analyse des chemins visitables,c’est-à-dire des possibles traces d’exécution, on prouve que les comportements inductifs et fonctionnels sont réguliers, ouvrant la voie pour une caractérisation de MALL en ludique. On montre également qu’un comportement fonctionnel est pur, une propriété garantissant la sûreté du typage, si et seulement si ce n’est pas un type de fonctions prenant des fonctions en argument. Enfin, on pose les bases d’une étude précise de la non-linéarité en ludique en retrouvant une forme de complétude interne et en discutant des chemins visitables