Convergence of approximate solutions to an elliptic-parabolic equation without the structure condition

International audienceWe study the Cauchy-Dirichlet problem for the elliptic-parabolic equation $$b(u)_t +\div F(u) - \Delta u=f$$ in a bounded domain. We do not assume the structure condition ''$b(z)=b(\hat z) \Rightarrow F(z)=F(\hat z)$''. Our main goal is to investigate the problem of continuous dependence of the solutions on the data of the problem and the question of convergence of discretization methods. As in the work of Ammar and Wittbold \cite{AmmarWittbold} where existence was established, monotonicity and penalization are the main tools of our study. In the case of a Lipschitz continuous flux $F$, we justify the uniqueness of $u$ (the uniqueness of $b(u)$ is well-known) and prove the continuous dependence in $L^1$ for the case of strongly convergent finite energy data. We also prove convergence of the $\varepsilon$-discretized solutions used in the semigroup approach to the problem; and we prove convergence of a monotone time-implicit finite volume scheme. In the case of a merely continuous flux $F$, we show that the problem admits a maximal and a minimal solution

A degenerate parabolic-hyperbolic Cauchy problem with a stochastic force

International audienceIn this paper we are interested in the Cauchy problem for a nonlinear degenerate parabolic-hyperbolic problem with multiplicative stochastic forcing. Using an adapted entropy formulation a result of existence and uniqueness of a solution is proved

Nonlinear Stochastic Evolution Equations: Analysis and Numerics

This is the complete collection of all abstracts for the talks presented during the workshop on "Nonlinear Stochastic Evolution Equations: Analysis and Numerics", which took place on November 3 - 5, 2016 at TU Berlin

Solutions entropiques et renormalisées de quelques E.D.P. non linéaire dans L1

STRASBOURG-Sc. et Techniques (674822102) / SudocSudocFranceF

Etude de quelques E.D.P. non linéaires dans L1 avec des conditions générales sur le bord

L objectif de ce travail est l étude de divers problèmes d équations aux dérivées partielles non linéaires du type hyperbolique et d autres du type elliptique-parabolique faisant intervenir un opérateur en forme divergentielle du type Leray-Lions. Ces équations sont d une façon générale mal posées dans le cadre de solutions faibles (i.e. au sens des distributions), car en général on n a pas l unicité. Des formulations plus appropriées ont alors vu le jour : les solutions appelées SOLA, les solutions entropiques et les solutions renormalisées. Cette thèse composée de cinq chapitres, présente des résultats d existence et d unicité de solutions entropiques et renormalisées pour quatre problèmes non linéaires du type mentionnés ci-dessus. Après un bref exposé de définitions et résultats nécessaires à la suite du travail, nous prouvons au chapitre 2 l existence et l unicité de la solution entropique pour un problème elliptique du type diffusion-convection avec des conditions non linéaires sur le bord. Ces conditions englobent en particulier les conditions usuelles. Dans le même axe, au chapitre 3, l existence et l unicité de la solution entropique d un problème parabolique avec absorption dépendant de la variable d espace sont démontrés. Le chapitre 4 a pour but de présenter un résultat d existence de solutions renormalisées pour un problème de Stefan non linéaire. Le dernier résultat, présenté au chapitre 5, est l existenceSTRASBOURG-Sc. et Techniques (674822102) / SudocSudocFranceF

Sur un problème parabolique-elliptique

We prove existence (uniqueness is easy) of a weak solution to a boundary value problem for an equation like $(v-1)^+_t = v_{xx} + F(v)_x$ where the function $F: \Bbb R\rightarrow\Bbb R$ is only supposed to be locally lipschitz continuous. In order to replace the lack of compactness in t on v<1, we use nonlinear semigroup theory