On the Kirchhoff-Love hypothesis (revised and vindicated)

The Kirchhoff-Love hypothesis expresses a kinematic constraint that is assumed to be valid for the deformations of a three-dimensional body when one of its dimensions is much smaller than the other two, as is the case for plates. This hypothesis has a long history checkered with the vicissitudes of life: even its attribution has been questioned, and recent rigorous dimension-reduction tools (based on $\Gamma$-convergence) have proven to be incompatible with it. We find that an appropriately revised version of the Kirchhoff-Love hypothesis is a valuable means to derive a two-dimensional variational model for elastic plates from a three-dimensional nonlinear free-energy functional. The bending energies thus obtained for a number of materials also show to contain measures of stretching of the plate's mid surface (alongside the expected measures of bending). The incompatibility with $\Gamma$-convergence also appears to be removed in the cases where contact with that method and ours can be made

Tensorial rheological model for concentrated non-colloidal suspensions: normal-stress differences

Most existing rheological models for non-colloidal suspensions fail to simultaneously capture the two main non-Newtonian trends of these systems, namely finite normal stress differences and transient effects. We address this issue by extending a previously-proposed minimal model accounting for microstructure anisotropy through a conformation tensor, and which was shown to correctly predict transient effects (Ozenda et al. 2018). The new model is compared to a large experimental dataset involving varying volume fractions, from dilute to concentrated cases. Both transient evolution of apparent viscosity during shear reversal, and normal stress differences in steady state, are quantitatively reproduced in the whole range of volume fraction. Furthermore, the model is validated against particle pressure measurements that were not used for parameter identification. Even if the proposed constitutive equation for the Cauchy stress tensor is more difficult to interpret than in the minimal model, this study opens way for the use of conformation tensor rheological models in applications where the effect of the second normal stress difference is prominent, like elongational flows or migration phenomenon

Data assimilation in glaciology

International audienceIn this short paper, we will give one example of an inverse problem in glaciology. This problem is fairly simple to state: how to infer a climatic scenario (i.e. how to reconstruct past polar temperature) from ice volume records? The idea of this work is to explore the ability of the adjoint method to solve the inverse problem of reconstructing past temperature given all available observations. We start here with a simplified ice-sheet model and perform twin experiments

A blend of stretching and bending in nematic polymer networks

Nematic polymer networks are (heat and light) activable materials, which combine the features of rubber and nematic liquid crystals. When only the stretching energy of a thin sheet of nematic polymer network is minimized, the intrinsic (Gaussian) curvature of the shape it takes upon (thermal or optical) actuation is determined. This, unfortunately, produces a multitude of possible shapes, for which we need a selection criterion, which may only be provided by a correcting bending energy depending on the extrinsic curvatures of the deformed shape. The literature has so far offered approximate corrections depending on the mean curvature. In this paper, we derive the appropriate bending energy for a sheet of nematic polymer network from the celebrated neo-classical energy of nematic elastomers in three space dimensions. This task is performedviaa dimension reduction based on a modified Kirchhoff-Love hypothesis, which withstands the criticism of more sophisticated analytical tools. The result is a surface elastic free-energy density where stretching and bending are blended together; they may or may not be length-separated, and should be minimized together. The extrinsic curvatures of the deformed shape not only feature in the bending energy through the mean curvature, but also through the relative orientation of the nematic director in the frame of the directions of principal curvatures

Continuous modelisation of suspensionrheology and migration processes

Les suspensions qui sont des milieux continus hétérogènes composés d'une phasesolide granulaire et d'une phase liquide, présentent de nombreuses applicationsaux sciences naturelles ou industrielles. La modélisation des phénomènes mis enjeu dans ces applications suggère d'étudier des cas très complexesalors que les cas les plus simples présentent des comportements non-triviauxqui ne sont pas parfaitement compris. C'est pourquoi nous proposons ici des avancées surla modélisation de matériaux modèles, les suspensions de sphères dures mono-disperses.Nous revisitons d'abord la formalisation mathématique du lien entre les modèlescontinus diphasiques et les lois de conservation à l'échelle d'un grain enmoyennant celles-ci sur des volumes élémentaires de référence. Ainsi, nousconstruisons un système de lois de conservation continues. Cependant, ce systèmene peut être résolu numériquement sans l'adjonction de plusieurs hypothèses,nous choisissons alors de nous restreindre aux suspensions non-colloïdalesdans un fluide newtonien. Ainsi, nous proposons un nouveau modèle rhéologiqueintégrant un tenseur de texture, une variable auxiliaire permettant de représenterla déformation du réseau de voisins de chaque particule. Cela nous permetde reproduire quantitativement deux effets mis en évidence par des expériencesde laboratoire. Le premier concerne l'anisotropie que présente la micro-structured'une suspension cisaillée, mesurée par une fonction de distribution de pairesmoyenne. Le second est observé lors d'une inversion brutale de cisaillement,la viscosité apparente de la suspension baisse très rapidement avant de relaxervers un état stationnaire. Ce premier modèle donne un lien au niveau continu entrel'évolution du profil de la fonction de distribution de paires moyenne et l'évolutiond'une quantité macroscopique, la viscosité apparente. Cependant, il ne reproduitpas correctement l'évolution d'autres quantités macroscopiques comme les différencesde contraintes normales. Afin de corriger cela, nous en proposons une extension.Ce nouveau modèle permet d'envisager la modélisation de phénomènes mettant enjeu les différences de contraintes normales et se déroulant sur des échellesde temps plus longues. Ainsi, nous ouvrons la perspective d'améliorer la prédictiondes phénomènes de migration qui se traduisent par le fait que les particules nesuivent pas exactement les lignes de courant, par exemple celles-ci fuientles zones les plus cisaillées. En effet, les différences de contraintes normalesjouent un rôle important dans la dynamique de la phase granulaire. Cela suggèred'intégrer notre nouvelle rhéologie dans le système de lois de conservation quenous avions proposé. Nous transformons ensuite ce système en un problème intégrant deux vitesses,celle du mélange et celle de la phase granulaire. L'originalité de notre contributionréside dans l'introduction d'une contrainte unilatérale dans un modèle de suspension.Cela permet de modéliser au niveau continu le contact entre deux sphèresdures qui ne peuvent pas s'inter-pénétrer. Nous obtenons un problème pouvant s'interprétercomme un couplage entre deux sous-systèmes. Le premier sous-système ressemble à un modèle defluide visco-élastique, le second est un système compressible visqueux congestionné,comme ceux utilisés pour modéliser des mouvements de foule.Suspensions which are heterogeneous continuous media composed by a solid granular phaseand a liquid phase present many applications from natural and industrial sciences.Modelling the phenomenon involved in those applications suggests studyingvery complex cases whereas the simplest one present non trivial behaviour that are notperfectly understood. This is why we put forward some progresses in the understanding ofa reference material, mono-disperse suspension of hard spheres. Firstly we compute averagedversions of conservation laws at the scale of the grain. Hence we get continuous quantities atthe scale of an elementary reference volume and it allows us to revisit mathematical buildingof continuous biphasic models. Hence, we provide a system of continuous conservation laws.Nevertheless, we have to add several hypothesis to get a well posedmathematical problem from our system. With that mind, we choose to focus on non-colloidalsuspensions with a Newtonian suspending fluid. Thus, we propose a new rheological modelincluding a texture tensor which is an ancillary variable modelling the average deformationof the local cages formed by neighbouring particles. Hence, we can quantitatively reproducetwo effects that have been experimentally measured. The first one is about the anisotropy ofthe microstructure in a sheared suspension, measured by the averaged pair distribution function.The second one is the evolution of apparent viscosity that drops brutally before relaxing to asteady state during a shear-reversal experiment. This first model provides a link between twocontinuous quantities, the averaged pair distribution function and the apparent viscosity.However, it reproduces badly the evolution of some macroscopic quantities, the normal stressdifferences. This is why we extend our first model, improving those bad predictions. On largertime scales, it has been observed that the particles do not follow strictly the flow lines,for instance, they leave sheared zones. This phenomenon is called migration. Our extendedrheological model allows to enhance migration phenomenon predictions because normal stressdifferences play a crucial role in granular phase motion. In that mind, we integrate ournew rheology in the system of conservation laws that we stated in the beginning, then, weprocess it into a new mathematical problem.We put forward a system including both a bulk velocity and a granular phase one.We introduce an unilateral constraint in order to model the inelastic contact interactionbetween two rigid spheres at the macroscopic level. It constitutes the originality of ourproposal. Finally, we get a problem that interprets as two coupled sub-problems.The first one is like a visco-elastic fluid model and the second one is a compressiblecongested viscous system, like those used to modelcrowd motions

Modélisation continue de la rhéologie des suspensions et de la migration

Suspensions which are heterogeneous continuous media composed by a solid granular phaseand a liquid phase present many applications from natural and industrial sciences.Modelling the phenomenon involved in those applications suggests studyingvery complex cases whereas the simplest one present non trivial behaviour that are notperfectly understood. This is why we put forward some progresses in the understanding ofa reference material, mono-disperse suspension of hard spheres. Firstly we compute averagedversions of conservation laws at the scale of the grain. Hence we get continuous quantities atthe scale of an elementary reference volume and it allows us to revisit mathematical buildingof continuous biphasic models. Hence, we provide a system of continuous conservation laws.Nevertheless, we have to add several hypothesis to get a well posedmathematical problem from our system. With that mind, we choose to focus on non-colloidalsuspensions with a Newtonian suspending fluid. Thus, we propose a new rheological modelincluding a texture tensor which is an ancillary variable modelling the average deformationof the local cages formed by neighbouring particles. Hence, we can quantitatively reproducetwo effects that have been experimentally measured. The first one is about the anisotropy ofthe microstructure in a sheared suspension, measured by the averaged pair distribution function.The second one is the evolution of apparent viscosity that drops brutally before relaxing to asteady state during a shear-reversal experiment. This first model provides a link between twocontinuous quantities, the averaged pair distribution function and the apparent viscosity.However, it reproduces badly the evolution of some macroscopic quantities, the normal stressdifferences. This is why we extend our first model, improving those bad predictions. On largertime scales, it has been observed that the particles do not follow strictly the flow lines,for instance, they leave sheared zones. This phenomenon is called migration. Our extendedrheological model allows to enhance migration phenomenon predictions because normal stressdifferences play a crucial role in granular phase motion. In that mind, we integrate ournew rheology in the system of conservation laws that we stated in the beginning, then, weprocess it into a new mathematical problem.We put forward a system including both a bulk velocity and a granular phase one.We introduce an unilateral constraint in order to model the inelastic contact interactionbetween two rigid spheres at the macroscopic level. It constitutes the originality of ourproposal. Finally, we get a problem that interprets as two coupled sub-problems.The first one is like a visco-elastic fluid model and the second one is a compressiblecongested viscous system, like those used to modelcrowd motions.Les suspensions qui sont des milieux continus hétérogènes composés d'une phasesolide granulaire et d'une phase liquide, présentent de nombreuses applicationsaux sciences naturelles ou industrielles. La modélisation des phénomènes mis enjeu dans ces applications suggère d'étudier des cas très complexesalors que les cas les plus simples présentent des comportements non-triviauxqui ne sont pas parfaitement compris. C'est pourquoi nous proposons ici des avancées surla modélisation de matériaux modèles, les suspensions de sphères dures mono-disperses.Nous revisitons d'abord la formalisation mathématique du lien entre les modèlescontinus diphasiques et les lois de conservation à l'échelle d'un grain enmoyennant celles-ci sur des volumes élémentaires de référence. Ainsi, nousconstruisons un système de lois de conservation continues. Cependant, ce systèmene peut être résolu numériquement sans l'adjonction de plusieurs hypothèses,nous choisissons alors de nous restreindre aux suspensions non-colloïdalesdans un fluide newtonien. Ainsi, nous proposons un nouveau modèle rhéologiqueintégrant un tenseur de texture, une variable auxiliaire permettant de représenterla déformation du réseau de voisins de chaque particule. Cela nous permetde reproduire quantitativement deux effets mis en évidence par des expériencesde laboratoire. Le premier concerne l'anisotropie que présente la micro-structured'une suspension cisaillée, mesurée par une fonction de distribution de pairesmoyenne. Le second est observé lors d'une inversion brutale de cisaillement,la viscosité apparente de la suspension baisse très rapidement avant de relaxervers un état stationnaire. Ce premier modèle donne un lien au niveau continu entrel'évolution du profil de la fonction de distribution de paires moyenne et l'évolutiond'une quantité macroscopique, la viscosité apparente. Cependant, il ne reproduitpas correctement l'évolution d'autres quantités macroscopiques comme les différencesde contraintes normales. Afin de corriger cela, nous en proposons une extension.Ce nouveau modèle permet d'envisager la modélisation de phénomènes mettant enjeu les différences de contraintes normales et se déroulant sur des échellesde temps plus longues. Ainsi, nous ouvrons la perspective d'améliorer la prédictiondes phénomènes de migration qui se traduisent par le fait que les particules nesuivent pas exactement les lignes de courant, par exemple celles-ci fuientles zones les plus cisaillées. En effet, les différences de contraintes normalesjouent un rôle important dans la dynamique de la phase granulaire. Cela suggèred'intégrer notre nouvelle rhéologie dans le système de lois de conservation quenous avions proposé. Nous transformons ensuite ce système en un problème intégrant deux vitesses,celle du mélange et celle de la phase granulaire. L'originalité de notre contributionréside dans l'introduction d'une contrainte unilatérale dans un modèle de suspension.Cela permet de modéliser au niveau continu le contact entre deux sphèresdures qui ne peuvent pas s'inter-pénétrer. Nous obtenons un problème pouvant s'interprétercomme un couplage entre deux sous-systèmes. Le premier sous-système ressemble à un modèle defluide visco-élastique, le second est un système compressible visqueux congestionné,comme ceux utilisés pour modéliser des mouvements de foule

Modélisation continue de la rhéologie des suspensions et de la migration

Suspensions which are heterogeneous continuous media composed by a solid granular phaseand a liquid phase present many applications from natural and industrial sciences.Modelling the phenomenon involved in those applications suggests studyingvery complex cases whereas the simplest one present non trivial behaviour that are notperfectly understood. This is why we put forward some progresses in the understanding ofa reference material, mono-disperse suspension of hard spheres. Firstly we compute averagedversions of conservation laws at the scale of the grain. Hence we get continuous quantities atthe scale of an elementary reference volume and it allows us to revisit mathematical buildingof continuous biphasic models. Hence, we provide a system of continuous conservation laws.Nevertheless, we have to add several hypothesis to get a well posedmathematical problem from our system. With that mind, we choose to focus on non-colloidalsuspensions with a Newtonian suspending fluid. Thus, we propose a new rheological modelincluding a texture tensor which is an ancillary variable modelling the average deformationof the local cages formed by neighbouring particles. Hence, we can quantitatively reproducetwo effects that have been experimentally measured. The first one is about the anisotropy ofthe microstructure in a sheared suspension, measured by the averaged pair distribution function.The second one is the evolution of apparent viscosity that drops brutally before relaxing to asteady state during a shear-reversal experiment. This first model provides a link between twocontinuous quantities, the averaged pair distribution function and the apparent viscosity.However, it reproduces badly the evolution of some macroscopic quantities, the normal stressdifferences. This is why we extend our first model, improving those bad predictions. On largertime scales, it has been observed that the particles do not follow strictly the flow lines,for instance, they leave sheared zones. This phenomenon is called migration. Our extendedrheological model allows to enhance migration phenomenon predictions because normal stressdifferences play a crucial role in granular phase motion. In that mind, we integrate ournew rheology in the system of conservation laws that we stated in the beginning, then, weprocess it into a new mathematical problem.We put forward a system including both a bulk velocity and a granular phase one.We introduce an unilateral constraint in order to model the inelastic contact interactionbetween two rigid spheres at the macroscopic level. It constitutes the originality of ourproposal. Finally, we get a problem that interprets as two coupled sub-problems.The first one is like a visco-elastic fluid model and the second one is a compressiblecongested viscous system, like those used to modelcrowd motions.Les suspensions qui sont des milieux continus hétérogènes composés d'une phasesolide granulaire et d'une phase liquide, présentent de nombreuses applicationsaux sciences naturelles ou industrielles. La modélisation des phénomènes mis enjeu dans ces applications suggère d'étudier des cas très complexesalors que les cas les plus simples présentent des comportements non-triviauxqui ne sont pas parfaitement compris. C'est pourquoi nous proposons ici des avancées surla modélisation de matériaux modèles, les suspensions de sphères dures mono-disperses.Nous revisitons d'abord la formalisation mathématique du lien entre les modèlescontinus diphasiques et les lois de conservation à l'échelle d'un grain enmoyennant celles-ci sur des volumes élémentaires de référence. Ainsi, nousconstruisons un système de lois de conservation continues. Cependant, ce systèmene peut être résolu numériquement sans l'adjonction de plusieurs hypothèses,nous choisissons alors de nous restreindre aux suspensions non-colloïdalesdans un fluide newtonien. Ainsi, nous proposons un nouveau modèle rhéologiqueintégrant un tenseur de texture, une variable auxiliaire permettant de représenterla déformation du réseau de voisins de chaque particule. Cela nous permetde reproduire quantitativement deux effets mis en évidence par des expériencesde laboratoire. Le premier concerne l'anisotropie que présente la micro-structured'une suspension cisaillée, mesurée par une fonction de distribution de pairesmoyenne. Le second est observé lors d'une inversion brutale de cisaillement,la viscosité apparente de la suspension baisse très rapidement avant de relaxervers un état stationnaire. Ce premier modèle donne un lien au niveau continu entrel'évolution du profil de la fonction de distribution de paires moyenne et l'évolutiond'une quantité macroscopique, la viscosité apparente. Cependant, il ne reproduitpas correctement l'évolution d'autres quantités macroscopiques comme les différencesde contraintes normales. Afin de corriger cela, nous en proposons une extension.Ce nouveau modèle permet d'envisager la modélisation de phénomènes mettant enjeu les différences de contraintes normales et se déroulant sur des échellesde temps plus longues. Ainsi, nous ouvrons la perspective d'améliorer la prédictiondes phénomènes de migration qui se traduisent par le fait que les particules nesuivent pas exactement les lignes de courant, par exemple celles-ci fuientles zones les plus cisaillées. En effet, les différences de contraintes normalesjouent un rôle important dans la dynamique de la phase granulaire. Cela suggèred'intégrer notre nouvelle rhéologie dans le système de lois de conservation quenous avions proposé. Nous transformons ensuite ce système en un problème intégrant deux vitesses,celle du mélange et celle de la phase granulaire. L'originalité de notre contributionréside dans l'introduction d'une contrainte unilatérale dans un modèle de suspension.Cela permet de modéliser au niveau continu le contact entre deux sphèresdures qui ne peuvent pas s'inter-pénétrer. Nous obtenons un problème pouvant s'interprétercomme un couplage entre deux sous-systèmes. Le premier sous-système ressemble à un modèle defluide visco-élastique, le second est un système compressible visqueux congestionné,comme ceux utilisés pour modéliser des mouvements de foule

Modélisation continue de la rhéologie des suspensions et de la migration

Suspensions which are heterogeneous continuous media composed by a solid granular phaseand a liquid phase present many applications from natural and industrial sciences.Modelling the phenomenon involved in those applications suggests studyingvery complex cases whereas the simplest one present non trivial behaviour that are notperfectly understood. This is why we put forward some progresses in the understanding ofa reference material, mono-disperse suspension of hard spheres. Firstly we compute averagedversions of conservation laws at the scale of the grain. Hence we get continuous quantities atthe scale of an elementary reference volume and it allows us to revisit mathematical buildingof continuous biphasic models. Hence, we provide a system of continuous conservation laws.Nevertheless, we have to add several hypothesis to get a well posedmathematical problem from our system. With that mind, we choose to focus on non-colloidalsuspensions with a Newtonian suspending fluid. Thus, we propose a new rheological modelincluding a texture tensor which is an ancillary variable modelling the average deformationof the local cages formed by neighbouring particles. Hence, we can quantitatively reproducetwo effects that have been experimentally measured. The first one is about the anisotropy ofthe microstructure in a sheared suspension, measured by the averaged pair distribution function.The second one is the evolution of apparent viscosity that drops brutally before relaxing to asteady state during a shear-reversal experiment. This first model provides a link between twocontinuous quantities, the averaged pair distribution function and the apparent viscosity.However, it reproduces badly the evolution of some macroscopic quantities, the normal stressdifferences. This is why we extend our first model, improving those bad predictions. On largertime scales, it has been observed that the particles do not follow strictly the flow lines,for instance, they leave sheared zones. This phenomenon is called migration. Our extendedrheological model allows to enhance migration phenomenon predictions because normal stressdifferences play a crucial role in granular phase motion. In that mind, we integrate ournew rheology in the system of conservation laws that we stated in the beginning, then, weprocess it into a new mathematical problem.We put forward a system including both a bulk velocity and a granular phase one.We introduce an unilateral constraint in order to model the inelastic contact interactionbetween two rigid spheres at the macroscopic level. It constitutes the originality of ourproposal. Finally, we get a problem that interprets as two coupled sub-problems.The first one is like a visco-elastic fluid model and the second one is a compressiblecongested viscous system, like those used to modelcrowd motions.Les suspensions qui sont des milieux continus hétérogènes composés d'une phasesolide granulaire et d'une phase liquide, présentent de nombreuses applicationsaux sciences naturelles ou industrielles. La modélisation des phénomènes mis enjeu dans ces applications suggère d'étudier des cas très complexesalors que les cas les plus simples présentent des comportements non-triviauxqui ne sont pas parfaitement compris. C'est pourquoi nous proposons ici des avancées surla modélisation de matériaux modèles, les suspensions de sphères dures mono-disperses.Nous revisitons d'abord la formalisation mathématique du lien entre les modèlescontinus diphasiques et les lois de conservation à l'échelle d'un grain enmoyennant celles-ci sur des volumes élémentaires de référence. Ainsi, nousconstruisons un système de lois de conservation continues. Cependant, ce systèmene peut être résolu numériquement sans l'adjonction de plusieurs hypothèses,nous choisissons alors de nous restreindre aux suspensions non-colloïdalesdans un fluide newtonien. Ainsi, nous proposons un nouveau modèle rhéologiqueintégrant un tenseur de texture, une variable auxiliaire permettant de représenterla déformation du réseau de voisins de chaque particule. Cela nous permetde reproduire quantitativement deux effets mis en évidence par des expériencesde laboratoire. Le premier concerne l'anisotropie que présente la micro-structured'une suspension cisaillée, mesurée par une fonction de distribution de pairesmoyenne. Le second est observé lors d'une inversion brutale de cisaillement,la viscosité apparente de la suspension baisse très rapidement avant de relaxervers un état stationnaire. Ce premier modèle donne un lien au niveau continu entrel'évolution du profil de la fonction de distribution de paires moyenne et l'évolutiond'une quantité macroscopique, la viscosité apparente. Cependant, il ne reproduitpas correctement l'évolution d'autres quantités macroscopiques comme les différencesde contraintes normales. Afin de corriger cela, nous en proposons une extension.Ce nouveau modèle permet d'envisager la modélisation de phénomènes mettant enjeu les différences de contraintes normales et se déroulant sur des échellesde temps plus longues. Ainsi, nous ouvrons la perspective d'améliorer la prédictiondes phénomènes de migration qui se traduisent par le fait que les particules nesuivent pas exactement les lignes de courant, par exemple celles-ci fuientles zones les plus cisaillées. En effet, les différences de contraintes normalesjouent un rôle important dans la dynamique de la phase granulaire. Cela suggèred'intégrer notre nouvelle rhéologie dans le système de lois de conservation quenous avions proposé. Nous transformons ensuite ce système en un problème intégrant deux vitesses,celle du mélange et celle de la phase granulaire. L'originalité de notre contributionréside dans l'introduction d'une contrainte unilatérale dans un modèle de suspension.Cela permet de modéliser au niveau continu le contact entre deux sphèresdures qui ne peuvent pas s'inter-pénétrer. Nous obtenons un problème pouvant s'interprétercomme un couplage entre deux sous-systèmes. Le premier sous-système ressemble à un modèle defluide visco-élastique, le second est un système compressible visqueux congestionné,comme ceux utilisés pour modéliser des mouvements de foule

On the Kirchhoff-Love Hypothesis (Revised and Vindicated)

The Kirchhoff-Love hypothesis expresses a kinematic constraint that is assumed to be valid for the deformations of a three-dimensional body when one of its dimensions is much smaller than the other two, as is the case for plates. This hypothesis has a long history checkered with the vicissitudes of life: even its paternity has been questioned, and recent rigorous dimension-reduction tools (based on standard Γ -convergence) have proven to be incompatible with it. We find that an appropriately revised version of the Kirchhoff-Love hy- pothesis is a valuable means to derive a two-dimensional variational model for elastic plates from a three-dimensional nonlinear free-energy functional. The bending energies thus ob- tained for a number of materials also show to contain measures of stretching of the plate’s mid surface (alongside the expected measures of bending). The incompatibility with stan- dard Γ -convergence also appears to be removed in the cases where contact with that method and ours can be made