Впровадження методу образних перетворень для мінімізації функцій Шеффера

The studies have established the possibility of reducing computational complexity, higher productivity of minimization of the Boolean functions in the class of expanded normal forms of the Sheffer algebra functions by the method of image transformations.Expansion of the method of image transformations to the minimization of functions of the Sheffer algebra makes it possible to identify new algebraic rules of logical transformations. Simplification of the Sheffer functions on binary structures of the 2-(n, b)-designs) features exceptional situations. They are used both when deriving the result of simplification of functions from a binary matrix and introducing the Sheffer function to the matrix.It was shown that the expanded normal form of the n-digit Sheffer function can be represented by binary sets or a matrix. Logical operations with the matrix structure provide the result of simplification of the Sheffer functions. This makes it possible to concentrate the principle of minimization within the truth table of a given function and do without auxiliary objects, such as Karnaugh map, Weich diagrams, coverage tables, etc.Compared with the analogs of minimizing the Sheffer algebra functions, the method under the study makes the following to be possible:‒ reduce algorithmic complexity of minimizing expanded normal forms of the Sheffer functions (ENSF-1 and ENSF-2);‒ increase the productivity of minimizing the Sheffer algebra functions by 100‒150 %;‒ demonstrate clarity of the process of minimizing the ENSF-1 or ENSF-2;‒ ensure self-sufficiency of the method of image transformations to minimize the Sheffer algebra functions by introducing the tag of minimum function and minimization in the complete truth table of the ENSF-1 and ENSF-2.There are reasons to assert that application of the method of image transformations to the minimization of the Sheffer algebra functions brings the problem of minimization of the ENSF-1 and ENSF-2 to the level of a well-studied problem in the class of disjunctive-conjunctive normal forms (DCNF) of Boolean functionsПроведенными исследованиями установлена возможность уменьшения вычислительной сложности, увеличение производительности минимизации булевых функций в классе совершенных нормальных форм функций алгебры Шеффера методом образных преобразований.Распространение метода образных преобразований на минимизацию функций алгебры Шеффера позволяет выявлять новые алгебраические правила логических преобразований. Особенностью упрощения функций Шеффера на бинарных структурах 2-(n, b)-блок-схем (англ. 2-(n, b)-designs) является исключительные ситуации. Они имеют применение как при выводе результата упрощения функций из бинарной матрицы, так и при введении функции Шеффера в матрицу.Показано, что совершенную нормальную форму n-местной функции Шеффера можно подать бинарными наборами или матрицей. Логические операции над структурой матрицы обеспечивают результат упрощения функций Шеффера. Это позволяет сосредоточить принцип минимизации в пределах таблицы истинности заданной функции и обойтись без вспомогательных объектов, таких как карта Карно, диаграммы Вейча, таблицы покрытия и др.По сравнению с аналогами минимизации функций алгебры Шеффера рассмотренный метод позволяет:– уменьшить алгоритмическую сложность минимизации совершенных нормальных форм функций Шеффера (СНФШ-1 и СНФШ-2);– увеличить производительность минимизации функций алгебры Шеффера на 100–150 %;– демонстрировать наглядность процесса минимизации СНФШ-1 или СНФШ-2;– обеспечить самодостаточность метода образных преобразований для минимизации функций алгебры Шеффера за счет внедрения признака минимальной функции и минимизации на полной таблице истинности ДНФШ-1 и ДНФШ-2.Есть основания утверждать, что применение метода образных преобразований для минимизации функций алгебры Шеффера выводит проблему минимизации СНФШ-1 и СНФШ-2 на уровень хорошо исследованной задачи в классе дизъюнктивно-конъюнктивные нормальных форм (ДКНФ) булевых функцийПроведеними дослідженнями встановлена можливість зменшення обчислювальної складності, збільшення продуктивності мінімізації булевих функцій у класі досконалих нормальних форм функцій алгебри Шеффера методом образних перетворень.Поширення методу образних перетворень на мінімізацію функцій алгебри Шеффера дає змогу виявляти нові алгебричні правила логічних перетворень. Особливістю спрощення функцій Шеффера на бінарних структурах 2-(n, b)-блок-схем (англ. 2-(n, b)-designs) є виняткові ситуації. Вони мають застосування як при виведенні результату спрощення функцій з бінарної матриці, так і при введенні функції Шеффера до матриці.Показано, що досконалу нормальну форму n-містної функції Шеффера можна подати бінарними наборами або матрицею. Логічні операції над структурою матриці забезпечують результат спрощення функцій Шеффера. Це дозволяє зосередити принцип мінімізації у межах таблиці істинності заданої функції та обійтись без допоміжних об’єктів, як то карта Карно, діаграми Вейча, таблиці покриття та ін.Порівняно з аналогами мінімізації функцій алгебри Шеффера розглянутий метод дозволяє:– зменшити алгоритмічну складність мінімізації досконалих нормальних форм функцій Шеффера (ДНФШ-1 та ДНФШ-2);– збільшити продуктивність мінімізації функцій алгебри Шеффера на 100–150 %;– демонструвати наочність процесу мінімізації ДНФШ-1 або ДНФШ-2;– забезпечити самодостатність методу образних перетворень для мінімізації функцій алгебри Шеффера за рахунок впровадження ознаки мінімальної функції та мінімізації на повній таблиці істинності ДНФШ-1 і ДНФШ-2.Є підстави стверджувати, що застосування методу образних перетворень для мінімізації функцій алгебри Шеффера виводить проблему мінімізації ДНФШ-1 та ДНФШ-2 на рівень добре дослідженої задачі у класі диз’юнктивно-кон’юнктивних нормальних форм (ДКНФ) булевих функці

Додавання бінарних кодів без перенесення

The paper considers the operation of summation of binary codes in the scheme of a multi digit parallel adder without carry. The process of the operation of summation uses a pairing algorithm that provides for a logarithmic complexity to the algorithm of the calculation in the adder’s scheme. Since the codes for the operation of summation, known in the literature, such as Galois field codes, the XAND codes, are defined by the systems of recurrent codes that contain one of the initial codes of complete combinatorial system with repetition, then the given codes are a particular case of the class of combinatorial systems of binary codes with a ring structure and initial code of complete combinatorial system with repetition. Therefore, the only basis of the mentioned systems of binary codes indicates the usefulness of their classification generalization, within the framework of the operation of summation, on the basis of a single criterion – an object of binary codes. Thus, the generalization of the classification of binary codes simplifies the structure of the subject area, increases the variety of systems of binary codes, in particular, for their application in arithmetic operations with binary numbers. It was established that the properties of the recurrent method of the synthesis of binary codes allow focusing the principle of building codes in the range of complete combinatorial system with repetition, which ensures reduction of the thesaurus of the parallel adder of binary codes without carry.The results of this study may be a component of the technology of designing electronic computing systems because:– they expand the apparatus of obtaining recurrent binary codes for their application in the information technology;– they provide a possibility to control the selection of the code at the stage of designing a computing device;– they help predict the impact of the implementation of the selected code for the solution of problems of the information systems..– they minimize hardware costs associated with the selection of the system of binary code for the calculation.Рассмотрена операция суммирования бинарных кодов без переноса. Выявлено, что метод рекурсии обеспечивает синтез системы бинарных кодов с кольцевой структурой при любом начальном коде полной комбинаторной системы с повторением, что и позволяет использовать выбранную систему бинарных кодов для операции суммирования без переноса. Установлена оценка общей сложности вычислительного алгоритма сумматора бинарных кодовРозглянуто операцію додавання бінарних кодів без перенесення. Виявлено, що метод рекурсії забезпечує синтез системи бінарних кодів з кільцевою структурою при будь-якому початковому коді повної комбінаторної системи з повторенням, що й дозволяє використовувати обрану систему бінарних кодів для операції додавання без перенесення. Встановлена оцінка загальної складності обчислювального алгоритму суматора бінарних коді

Optimal Performance of 16-bit Acyclic Adders of Binary Codes

The conducted studies established the prospect for enhancing the performance of computing components, specifically, combinational 16-bit adders, based on the use of the principles of computation of digital signals of an acyclic model.The application of an acyclic model for the synthesis of 16-bit parallel adders is designed for:– the process of sequential (for lower bits) and parallel (for all other bits) computation of the sum and carry signals. Thanks to this approach, it becomes possible to reduce eventually the complexity of the hardware part without increasing the circuit depth;– fixation (planning) of the adder circuit depth before its synthesis. This makes it possible to use the logical structure of transitive carry, which ensures the optimal adder circuit depth and does not increase its complexity.Utilizing an acyclic model for the construction of 16-bit parallel adders is more beneficial in comparison with the analogs by the following factors:– the lower cost development, since an acyclic model determines a simplerstructure of a 16-bit adder;– application of the latest developed logical structures of transitive carry,which makes it possible to decrease the delay of sum and carry signals, area, power consumption and to increase overall efficiency of 16-bit adders of binary codes.Due to this, the possibility of obtaining optimal values of structure complexity and the depth of the adder circuit is ensured. In comparison with the analogs, it provides an increase in quality of indicator of 16-bit acyclic adders, such as power consumption, chip area by 15–27 %, depending on the chosen structure, and performance by 10–60 %.There are some grounds to argue about the possibility of enhancing the performance of computing components, specifically, 16-bit adders of binary codes by using the principles of computation of digital signals of an acyclic model

Алгоритм мінімізації булевих функцій методом оптимального комбінування послідовності образних перетворень

The reported study has established the possibility of improving the productivity of an algorithm for the minimization of Boolean functions using a method of the optimal combination of the sequence of logical operations applying different techniques for gluing the variables ‒ simple gluing and super-gluing.The correspondence of intervals I(α, β) in the Boolean space ẞnhas been established, given by a pair of Boolean vectors α and β, such that α≼β, with a complete combinatorial system with the repeated 2-(n, b)-designs. The internal components of the interval I(α, β) correspond to the complete 2-(n, b)-design system while external ones are determined by calculating the number of zeros or unities in the columns of the truth table of the assigned logical function. This makes it possible to use the theory of I(α, β) intervals in the mathematical apparatus of 2-(n, b)-design combinatorial systems to minimize Boolean functions by the method of equivalent figurative transformations, in particular, to perform automated search for the 2-(n, b)-design systems in the structure of a truth table.Experimental study has confirmed that the combinatorial 2-(n, b)-design system and the consistent alternation of logical operations of super-gluing the variables (if such an operation is possible) and the simple gluing of variables in the first truth table improves the efficiency of the process and the reliability of results from minimizing the Boolean functions. This simplifies algorithmizing the search for the 2-(n, b)-design system in the structure of a truth table of the assigned logical function, which would provide for the tool to further automate the search for the 2-(n, b)-design system. In comparison with analogs, it enables increasing the productivity of the Boolean function minimization process by 100–200 % by using an optimum alternation of operations of super gluing and simple gluing of variables by the method of equivalent figurative transformations.There are reasons to argue about the possibility to improve the productivity of the Boolean function minimization process by the optimal combination of the sequences of the logical operations of super-gluing the variables and the simple gluing of variables by the method of equivalent figurative transformationsПроведенными исследованиями установлена возможность увеличения производительности минимизации булевых функций методом оптимального чередования образных преобразований логических операций супер-склеивания и простого склеивания переменных.Установлено соответствие интервалов  в булевом пространстве ẞn, которые задаются парой булевых векторов  и , таких, что ≼ с полной комбинаторной системой с повторением 2-(n, b)-блок-схем (англ. 2-(n, b)-designs). Внутренние компоненты интервала  соответствуют полной системе 2-(n, b)-design, а внешние определяются расчетом количества нулей или единиц в столбцах таблицы истинности заданной логической функции. Это позволяет использовать теорию интервалов  в математическом аппарате комбинаторных систем 2-(n, b)-design для проведения минимизации булевых функций методом равносильных образных преобразований, в том числе осуществлять автоматизированный поиск систем 2-(n, b)-design в структуре таблицы истинности.Экспериментальными исследованиями подтверждено, что комбинаторная система 2-(n,b)-design и последовательное чередование логических операций супер-склеивания переменных (если такая операция возможна) и простого склеивания переменных в первой таблице истинности повышает эффективность процесса и достоверность результата минимизации булевых функций. При этом упрощается алгоритмизация поиска системы 2-(n, b)-design в структуре таблицы истинности заданной логической функции, что является инструментарием для дальнейшей автоматизации поиска системы 2-(n, b)-design. По сравнению с аналогами это обеспечивает увеличение производительности процесса минимизации булевых функций путем использования оптимального чередования логических операций супер-склеивания и простого склеивания переменных методом равносильных образных преобразований.Есть основания утверждать о возможности увеличения производительности процесса минимизации булевых функций, путем оптимального комбинирования последовательности логических операций супер-склеивания переменных и простого склеивания переменных, методом равносильных образных преобразованийПроведеними дослідженнями встановлена можливість збільшення продуктивності алгоритму мінімізації булевих функцій методом оптимального комбінування послідовності логічних операцій з використанням різних способів склеювання змінних - простого та супер-склеювання.Встановлена відповідність інтервалів I(α, β) у булевому просторі ẞn, які задаються парою булевих векторів α і β, таких, що α≼β з повною комбінаторною системою з повторенням 2-(n, b)-блок-схем (англ. 2-(n, b)-designs). Внутрішні компоненти інтервалу I(α, β) відповідають повній системі 2-(n, b)-design, а зовнішні – визначаються розрахунком кількості нулів або одиниць у стовпчиках таблиці істинності заданої логічної функції. Це дозволяє використовувати теорію інтервалів I(α, β) у математичному апараті комбінаторних систем 2-(n, b)-design для проведення мінімізації булевих функцій методом рівносильних образних перетворень, зокрема здійснювати автоматизований пошук систем 2-(n, b)-design у структурі таблиці істинності.Експериментальними дослідженнями підтверджено, що комбінаторна система 2-(n, b)-design і послідовне чергування логічних операцій супер-склеювання змінних (якщо така операція можлива) та простого склеювання змінних у першій таблиці істинності підвищує ефективність процесу та достовірність результату мінімізації булевих функцій. При цьому спрощується алгоритмізація пошуку системи 2-(n, b)-design у структурі таблиці істинності заданої логічної функції, що правитиме інструментарієм для подальшої автоматизації пошуку системи 2-(n, b -design. У порівнянні з аналогами це дає змогу підвищити продуктивність процесу мінімізації булевих функцій на 100–200 % шляхом використання оптимального чергування операцій супер-склеювання та простого склеювання змінних методом рівносильних образних перетворень.Є підстави стверджувати про можливість збільшення продуктивності процесу мінімізації булевих функцій, шляхом оптимального комбінування послідовності логічних операцій супер-склеювання змінних та простого склеювання змінних, методом рівносильних образних перетворен

Summation of Binary Codes Without Carry

The paper considers the operation of summation of binary codes in the scheme of a multi digit parallel adder without carry. The process of the operation of summation uses a pairing algorithm that provides for a logarithmic complexity to the algorithm of the calculation in the adder's scheme. Since the codes for the operation of summation, known in the literature, such as Galois field codes, the XAND codes, are defined by the systems of recurrent codes that contain one of the initial codes of complete combinatorial system with repetition, then the given codes are a particular case of the class of combinatorial systems of binary codes with a ring structure and initial code of complete combinatorial system with repetition. Therefore, the only basis of the mentioned systems of binary codes indicates the usefulness of their classification generalization, within the framework of the operation of summation, on the basis of a single criterion – an object of binary codes. Thus, the generalization of the classification of binary codes simplifies the structure of the subject area, increases the variety of systems of binary codes, in particular, for their application in arithmetic operations with binary numbers. It was established that the properties of the recurrent method of the synthesis of binary codes allow focusing the principle of building codes in the range of complete combinatorial system with repetition, which ensures reduction of the thesaurus of the parallel adder of binary codes without carry.The results of this study may be a component of the technology of designing electronic computing systems because:– they expand the apparatus of obtaining recurrent binary codes for their application in the information technology;– they provide a possibility to control the selection of the code at the stage of designing a computing device;– they help predict the impact of the implementation of the selected code for the solution of problems of the information systems..– they minimize hardware costs associated with the selection of the system of binary code for the calculation