Рівномірний атрактор хвильового рівняння з нелінійним демпфуванням, що явно залежить від часу

The paper deals with long-time behavior of the solutions to the initial-boundary value problem for a non-autonomous non-linear wave equation. The peculiarity of the equation is the non-linear damping term depending explicitly on time. The problem is studied in the framework of the theory of processes and their attractors. The family of processes generated by the initial-boundary value problem is introduced. It is proved that this family is uniformly (with respect to the time-dependent damping coefficient) dissipative and asymptotically compact, thus possesses a uniqueuniform attractor. The attractor is a compact set in the common phase space of the processes.Вивчається асимптотична поведінка розв’язків початково-крайової задачі для неавтономного нелінійного хвильового рівняння. Особливістю рівняння є те, що доданок рівняння, який відповідає за демпфування, є нелінійним і залежить явно від часу. Дослідження проведено у рамках теорії процесів та їх атракторів. Побудовано сім’юпроцесів, що відповідає початково-крайовій задачі. Доведено, що ця сім’яє рівномірно (відносно коефіцієнта демпфування, який залежить від часу) дисипативною та асимптотично компактною, отже має єдиний рівномірний атрактор. Атрактор є компактною множиною у спільному фазовому просторі процесів

Чисельне розв’язання методом дискретних особливостей одного сінгулярного інтегрального рівняння з ядром Гільберта

In the paper the method of discrete singularities is used for constructing a discrete mathematical model of a first kind singular integral equation with the Hilbert kernel in the case when the auxiliary conditions introduced to ensure the uniqueness of solution to the equation are given by functionals. The existence of the unique solution to the discrete model is proved and the rate of convergence of the solution of the discrete problem to the exact solution of the initial singular integral equation is estimated under some smoothness assumptions.На основі методу дискретних особливостей побудовано дискретну математичну модель сингулярного інтегрального рівняння першого роду з ядром Гілберта у випадку, коли додаткова умова, що дозволяє отримати єдиний розв’язок цього рівняння, є функціонал. Доведена однозначна розв’язність дискретної моделі і дана оцінка швидкості збіжності розв’язку дискретної задачі до точного розв’язку сингулярного інтегрального рівняння при деяких припущеннях гладкості

Дискретна математична модель гіперсінгулярного інтегрального рівняння на системі інтервалів

We consider a hypersingular integral equation on a system of intervals, which is reduced to a system of hypersingular integral equations on the standard interval (−1,1). The discretization of this system is carried out on the basis of the method of discrete singularities. The unique solvability of the discrete problem is proved and an estimate of the rate of convergence of the solution of this problem to the exact solution of the system of hypersingular integral equations is given.Розглянуто гіперсингулярне інтегральне рівняння на системі інтервалів, яке наведене до системи гіперсингулярних інтегральних рівнянь на стандартному інтервалі (−1,1). Проведена дискретизація цієї системи на основі методу дискретних особливостей. Доведено однозначна розв'язність дискретної задачі і дана оцінка швидкості збіжності рішення дискретної задачі до точного рішення системи гіперсингулярних інтегральних рівнянь

Чисельне розв'язання сингулярного інтегрального рівняння першого роду з кратним інтегралом типу Гільберта

In the paper a first kind singular integral equation containing a Hilbert-type double integral over the domain [0,2 π]×[0,2 π] is studied. The necessary conditions providing solvability of this equation are given. The equation studied is discretized under additional assumptions by the method of discrete singularities. The unique solvability of the discrete problem obtained is proved. The speed of convergence of the solution of the discrete problem to the exact solution of the initial singular integral equation is estimated.Досліджено сингулярне інтегральне рівняння першого роду з подвійним інтегралом типу Гільберта, у випадку, коли областю інтегрування є добуток [0,2 π]×[0,2 π]. Наведено необхідні умови, за яких це рівняння має розв'язок. Проведено дискретизацію рівняння, що вивчається, за додаткових умов на основі метода дискретних особливостей. Доведена однозначна розв'язність дискретної задачі і дана оцінка скорості збіжності розв'язку цієї задачі до точного розв'язку заданого сингулярного інтегрального рівняння

Чисельне розв’язання системи сингулярних інтегральних рівнянь з ядрами Коші і Гілберта

In the paper a specific system of first kind singular integral equations with the Hilbert and Cauchy kernels arising when solving some problems of electrostatics and electrodynamics is studied. The method of discrete singularities is applied for constructing its discrete mathematical model, which is a system of n linear algebraic equations. Under the additional smoothness assumptions on the right-hand parts of the equations of the initial system and regularity assumptions on the kernels of the integrals in them the obtained system of linear algebraic equations is proved to admit a unique solution for n sufficiently large. The rate of convergence of the solution of the discrete problem to the exact solution of the system of singular integral equations is estimated.В роботі вивчається система сингулярних інтегральних рівнянь першого роду з ядрами Коші і Гілберта спеціального виду, що виникає, зокрема, при розв’язанні задач електростатики та електродинаміки. На основі методу дискретних особливостей побудовано дискретну математичну модель цієї системи, що має вигляд системи n лінійних алгебраїчних рівнянь. Доведено, що за додаткових умов гладкості на праві частини та регулярні ядра вихідних рівнянь отримана система лінійних алгебраїчних рівнянь має при достатньо великих n єдиний розв’язок. Дана оцінка швидкості збіжності розв’язку дискретної задачі до точного розв’язку системи сингулярних інтегральних рівнянь