P-compatible Abelian groups

Let τ : F → N be a type of a variety V . Every partition P of the set F determines a so-called P-compatible variety. We consider the varieties GnP defined by so-called P-compatible identities of Abelian groups with exponent n. Besides, we study a connection between the lattice of all partitions of the set F and the lattice of all subvarieties of the variety defined by some kind of P-compatible identities — externally compatible identities satisfied in the class of all Abelian groups with exponent n

Externally compatible Abelian groups of the type (2,1,0)

In [4] the lattice of all subvarieties of the variety GnEx defined by so called externally compatible identities of Abelian groups together with the identity xn ≈ yn , for any n ∈ N and n ≥ 1 was described. In that paper classes of models of the type (2,1) where considered. It appears that diagrams of lattices of subvariaties defined by externally compatible identities satisfied in a given equational theory depend on the language of the considered class of algebras.A question was asked to what extent the diagram of the lattice of subvarieties of the variety defined by externally compatible identities of a given variety will depend on changing the type of algebras. In general case, the answer to this question seems to be very complicated. In this paper we describe the variety of Abelian groups of exponent p·q, where p,q are different primes of type (2,1,0)

On some extensions of the class of MV-algebras

In the present paper we will ask for the lattice L(MV Ex ) of subvarieties of the variety defined by the set Ex(MV) of all externally compatible identities valid in the variety MV of all MV-algebras. In particular, we will find all subdirectly irreducible algebras from the classes in the lattice L(MV Ex ) and give syntactical and semantical characterization of the class of algebras defined by P-compatible identities of MV-algebras

Logics with Impossibility as the Negation and Regular Extensions of the Deontic Logic D2

In [1] J.-Y. Bèziau formulated a logic called Z. Bèziau’s idea was generalized independently in [6] and [7]. A family of logics to which Z belongs is denoted in [7] by K. In particular; it has been shown in [6] and [7] that there is a correspondence between normal modal logics and logics from the class K. Similar; but only partial results has been obtained also for regular logics (see [8] and [9]). In (Došen; [2]) a logic N has been investigated in the language with negation; implication; conjunction and disjunction by axioms of positive intuitionistic logic; the right-to-left part of the second de Morgan law; and the rules of modus ponens and contraposition. From the semantical point of view the negation used by Došen is the modal operator of impossibility. It is known this operator is a characteristic of the modal interpretation of intuitionistic negation (see [3; p. 300]). In the present paper we consider an extension of N denoted by N+. We will prove that every extension of N+ that is closed under the same rules as N+; corresponds to a regular logic being an extension of the regular deontic logic D21 (see [4] and [13]). The proved correspondence allows to obtain from soundnesscompleteness result for any given regular logic containing D2, similar adequacy theorem for the respective extension of the logic N+

Równościowe i zdaniowe logiki P-zgodne, 139 s.

Analizując wyrażenia języka naturalnego lub formuły języka sztucznego zwykle posługujemy się stricte wypowiedzianymi regułami syntaktycznymi budowy wyrażeń tego języka bądź pewnymi quasi-regułami dotyczącymi pewnych umów. Najczęściej analizujemy najbardziej zewnętrzne funktory występujące w analizowanych wyrażeniach. Postępując analogicznie rozpatrujemy coraz bardziej wewnętrzne operatory. W szczególności czynności te przeprowadzamy, gdy analizujemy formuły równoważnościowe, które wyrażają związki między funktorami. Celem pracy jest omówienie pewnych klas logik równościowych wyrażonych zarówno w języku teorii modeli jak i ujętych aksjomatycznie. W niniejszej pracy wskażemy pewne ogólne związki zachodzące między wybranym klasami logik a odpowiadającymi im podlogikami generowanymi przez tzw. równości, czy szerzej formuły P-zgodne. Wybierając ze zbioru formuł tylko te formuły, które mają pewną określoną strukturę (i domykając ten zbiór ze względu na określony operator konsekwencji) otrzymujemy podsystem logiki wyjściowej. Klasa modeli otrzymanej logiki jest większa w sensie inkluzji od klasy modeli odpowiadającej wyjściowej logice. Takie podejście daje pewien szerszy wgląd w istotę logik. Prowadząc takie badania możemy ‘patrzeć’ na dany system z pewnej ‘odległości’. Mając taką perspektywę możemy rozważać istotne aspekty każdego systemu i pytać o skończoną bazowalność, algebry wolno-generowane, modele podprosto-nierozkładalne (i inne) oraz badać, na ile są one powiązane (odpowiednio) z bazą rówościową, algebrami wolno-generowanymi, modelami podprosto-nierozkładalnymi wyjściowego systemu. W niniejszej pracy będziemy ‘patrzeć’ z szerszej perspektywy na klasę modeli związaną z logiką klasyczną, logiką wielkowartościową i kwantową. Przypadek logik równościowo definiowalnych jest w literaturze szeroko znany. Omówimy wyniki dotyczące tego przypadku by nie uchybić kompletności rozważań. Natomiast przypadek logik zdaniowych w kontekście procedury P-zgodności jest—jak mniemamy—zagadnieniem nowym