Monte-Carlo methods for backward stochastic differential equations : segment-wise dynamic programming and fast rates for lower bounds

In this thesis, we study two different algorithms using Monte-Carlo methods for solving backward stochastic differential equations. In the first chapter, we present a new algorithm where the backward stochastic differential equation is discretized to a dynamic programming equation alternating between a multi-step forward approach on segments of the time grid and a one-step scheme between segments. Conditional expectations are computed via least squares regression on function spaces. We optimize the length of the segments in dependence on the dimension and smoothness of the backward stochastic differential equation and compute the complexity needed to achieve a desired accuracy in the limit as the number of time points in the discretization goes to infinity. In the second chapter, we consider a discretized backward stochastic differential equation in form of a dynamic programming equation and study an algorithm for constructing lower bounds for its value at time zero. The algorithm uses a pre-computed approximate solution of this equation to sample a control process which is used to derive the lower bound for the solution. We derive asymptotic error bounds and compute the complexity required to achieve a desired accuracy in dependence on the input approximation. The results of both algorithms are illustrated by numerical examples.Diese Arbeit beschäftigt sich mit zwei Algorithmen zur Lösung von rückwärtsstochastischen Differentialgleichungen mit Hilfe von Monte-Carlo Methoden. Im ersten Kapitel wird ein neuer Algorithmus vorgestellt, der auf einem Diskretisierungsverfahren beruht, welches zwischen einer Mehr-Schritt Darstellung auf Zeitsegmenten und einem Ein-Schritt Verfahren zwischen den Segmenten alterniert. Auftretende bedingte Erwartungswerte werden dabei als Projektionen auf endlich dimensionale Funktionenräume berechnet. Die Wahl der Segmentlänge wird in Abhängigkeit der Glattheit und der Dimension der Differentialgleichung optimiert und es wird der asymptotische Rechenaufwand ermittelt, welcher notwendig ist um eine vorgegebene Genauigkeit zu erzielen. Im zweiten Kapitel wird ein Algorithmus zur Konstruktion von unteren Schranken der Lösung rückwärtsstochastischer Differentialgleichungen zum Startzeitpunkt untersucht. Hierfür wird mit Hilfe einer vorab berechneten Approximation der Lösung ein Kontrollprozess simuliert mit dessen Hilfe schließlich die Schranke berechnet wird. Es werden asymptotische Fehlerschranken sowie der erforderliche Rechenaufwand zur Erzielung einer vorgegebenen Genauigkeit hergeleitet. Die theoretischen Ergebnisse bezüglich der beiden Algorithmen werden mit numerischen Beispielen illustriert

S-Wave Superconductivity in Anisotropic Holographic Insulators

Within gauge/gravity duality, we consider finite density systems in a helical lattice dual to asymptotically anti-de Sitter space-times with Bianchi VII symmetry. These systems can become an anisotropic insulator in one direction while retaining metallic behavior in others. To this model, we add a $U(1)$ charged scalar and show that below a critical temperature, it forms a spatially homogeneous condensate that restores isotropy in a new superconducting ground state. We determine the phase diagram in terms of the helix parameters and perform a stability analysis on its IR fixed point corresponding to a finite density condensed phase at zero temperature. Moreover, by analyzing fluctuations about the gravity background, we study the optical conductivity. Due to the lattice, this model provides an example for a holographic insulator-superfluid transition in which there is no unrealistic delta-function peak in the normal phase DC conductivity. Our results suggest that in the zero temperature limit, all degrees of freedom present in the normal phase condense. This, together with the breaking of translation invariance, has implications for Homes' and Uemuras's relations. This is of relevance for applications to real world condensed matter systems. We find a range of parameters in this system where Homes' relation holds.Comment: 59 pages, 17 figures and 1 tabl

Direct frequency-comb-driven Raman transitions in the terahertz range

We demonstrate the use of a femtosecond frequency comb to coherently drive stimulated Raman transitions between terahertz-spaced atomic energy levels. More specifically, we address the $3d~^2D_{3/2}$ and $3d~^2D_{5/2}$ fine structure levels of a single trapped $^{40}$Ca$^+$ ion and spectroscopically resolve the transition frequency to be $\nu_D = 1{,}819{,}599{,}021{,}534 \pm 8$ Hz. The achieved accuracy is nearly a factor of five better than the previous best Raman spectroscopy, and is currently limited by the stability of our atomic clock reference. Furthermore, the population dynamics of frequency-comb-driven Raman transitions can be fully predicted from the spectral properties of the frequency comb, and Rabi oscillations with a contrast of 99.3(6)\% and millisecond coherence time has been achieved. Importantly, the technique can be easily generalized to transitions in the sub-kHz to tens of THz range and should be applicable for driving, e.g., spin-resolved rovibrational transitions in molecules and hyperfine transitions in highly charged ions.Comment: 9 pages, 8 figure

A segment-wise dynamic programming algorithm for BSDEs

We introduce and analyze a family of linear least-squares Monte Carlo schemes for backward SDEs, which interpolate between the one-step dynamic programming scheme of Lemor, Warin, and Gobet (Bernoulli, 2006) and the multi-step dynamic programming scheme of Gobet and Turkedjiev (Mathematics of Computation, 2016). Our algorithm approximates conditional expectations over segments of the time grid. We discuss the optimal choice of the segment length depending on the `smoothness' of the problem and show that, in typical situations, the complexity can be reduced compared to the state-of-the-art multi-step dynamic programming scheme.Comment: 35 page

Die Berücksichtigung der Gemeindefinanzen im Länderfinanzausgleich: Zwischen Verfassungsrecht und Ökonomie

Das Verfassungsrecht räumt dem Gesetzgeber für die einzelgesetzliche Umsetzung der Regelungen des Art. 107 Abs. 1 S. 4 GG und Art. 107 Abs. 2 S. 1 GG weite Definitions- und Gestaltungsspielräume ein, die erheblich weiter sind, als dies in der rechts- und finanzwissenschaftlichen Literatur häufig angenommen wird. Die Klagen von Bayern, Baden-Württemberg und Hessen geben keinen Anlaß, warum das Bundesverfassungsgericht bei dem jetzt anstehenden Urteil von dieser Rechtsprechung, die es zuletzt im Urteil des Jahres 1992 bestätigt hat, abweichen sollte. Die ökonomische Theorie will zu einer Objektivierung des politischen Handelns beitragen, indem sie sich für wissenschaftlich tragfähige Vorgaben für die Gewichtung der kommunalen Einwohnerzahl und die Einbeziehung der kommunalen Finanzkraft im LFA ausgesprochen hat. Damit soll präjudiziert werden, wie die politischen Entscheidungsträger die Handlungsspielräume auszufüllen haben, die ihnen das Grundgesetz und die Rechtsprechung des BVerfG einräumt. Einen so formulierten Anspruch auf wissenschaftliche Politikberatung kann die ökonomische Theorie jedoch nicht einlösen. Sowohl bzgl. der Einwohnerzahlwertung als auch bzgl. der Einbeziehung der kommunalen Finanzkraft lassen sich aus den verschiedenen Theorieansätzen keine eindeutigen, vom Gesetzgeber bedenkenlos verwertbaren Aussagen ableiten. --

Die Anreizwirkungen des Finanzausgleichs

Der durch die Solidarpaktgesetzgebung des Jahres 1993 neugeordnete Länderfinanzausgleich ist seit den Verfassungsklagen von Bayern und Baden- Württemberg Gegenstand öffentlicher Auseinandersetzungen geworden. Dabei stehen mögliche negative Anreizwirkungen des Finanzausgleichs im Mittelpunkt. Kann es einen anreizkompatiblen solidarischen Finanzausgleich geben? --

Der Homo Oeconomicus : wie rational gehen Menschen mit Geld um? ; viele Anleger machen systematische Fehler bei ihren Investments

Vielfältige Einschnitte im Rentensystem haben die Bedeutung der privaten Altersvorsorge in den vergangenen Jahren massiv erhöht. Neben Immobilienbesitz, Lebensversicherungen und staatlich geförderten Programmen zur privaten Vorsorge hat sich inzwischen auch die eigenverantwortliche Altersvorsorge mit Wertpapierdepots etabliert, so dass die Anzahl privater Depots in den letzten 25 Jahren von 8,0 auf 27,9 Millionen gestiegen ist. Vor diesem Hintergrund ist die Frage von zentraler Bedeutung, wie gut Anleger ihr Geld investieren

Einfluss dreidimensional inhomogener Bewölkung auf die reflektierte solare Strahldichte

In dieser Arbeit wird der Einfluss unterschiedlicher Wolkendarstellung im Strahlungstransport auf die an Wolken reflektierte Strahldichte untersucht. Hierzu wurde ein neues 3D Strahlungstransportmodell (SHDOM) am Institut für Meereskunde implementiert. Um den dreidimensionalen (3D) Effekt von Wolken auf das Strahlungsfeld darzustellen, wird der Zusammenhang zwischen reflektierter Strahldichte und Wolkeneigenschaften (z.B. LWP und effektiver Radius) für 3D und horizontal homogenen (IPA) Strahlungstransfer verglichen. Die 3D Felder des Wolkenflüssigwassergehalts und der effektiven Tröpfchenradien entstammen dem dreidimensional nicht-hydrostatischen Atmosphäremodell GESIMA (Geesthachter Simulationsmodell der Atmosphäre) (Eppel et al., 1995). Zur Berechnung der Strahlungsfelder wird das 3D Strahlungstransportmodell SHDOM ('Spherical Harmonic Discrete Ordinate Method', (Evans, 1998)) verwendet. Der Vergleich wird für eine und 12 verschiedene Wasserwolken mit ungefährer mittlerer optischen Dicke durchgeführt. Betrachtet werden Strahldichten bei einer sichtbaren und einer nah-infrarot Wellenlängen und dem Nadir Beobachtungswinkel. Die Untersuchung einer konkreten Wolke zeigt bei festem LWP bei 3D Betrachtung, verglichen mit IPA, eine erhöhte Variabilität der reflektierten Strahldichte. Die Differenz zwischen 3D und IPA reflektierter Strahldichte ist für eine konkrete Wolke stark von dem Wolkentyp abhängig. Bei der Gesamtbetrachtung aller Wolken schwankt der Fehler einer homogenen Betrachtung (IPA) im sichtbaren zwischen -5% - -25% und im nah-infraroten Spektralbereich zwischen -15% - -60%. Der Zusammenhang zwischen reflektierter Strahldichte und LWP bei inhomogener Bewölkung ist nur bis 50g/m2 eindeutig gegeben. Bei größerem LWP ist kein Unterschied in der reflektierten Strahldichte sichtbar, wodurch für diese Werte keine Fernerkundung des LWP mehr möglich ist. Die Untersuchung des Zusammenhanges zwischen Strahldichte im nah-infraroten Spektralbereich und effektivem Radius der obersten bewölkten Gitterzelle zeigt, dass keine Rekonstruktion der mikrophysikalischen Eigenschaften der obersten Wolkenschicht möglich ist. Verändert man die Auflösung des Wolkenfeldes, so hat dies im Mittel keinen großen Einfluss auf die Differenz aus 3D und IPA. Aufgrund möglicher erheblicher Fehler bei lokalen Messungen (bis zu -80%) ist eine hochauflösende Wolkenfernerkundung jedoch nicht möglich. Die Ableitung eines 'lookup table' aus den Ergebnissen der hier verwendeten Wolken ist derzeit weder für den IPA- noch für den 3D-Fall möglich. Es konnte kein eindeutiger Zusammenhang zwischen Strahldichten zweier Wellenlängen und optischer Dicke und effektivem Radius gefunden werden. Die typischerweise benutzte bispektrale Wolkenfernerkundung funktioniert also nur bei planparallelen Wolken. Treten zusätzlich vertikal und/oder horizontal unterschiedliche Verteilung des Wolkenflüssigwassergehaltes auf, so liefert diese Methode keine zuverlässigen Ergebnisse