A pseudoexponentiation-like structure on the algebraic numbers

Pseudoexponential fields are exponential fields similar to complex exponentiation satisfying the Schanuel Property, which is the abstract statement of Schanuel's Conjecture, and an adapted form of existential closure. Here we show that if we remove the Schanuel Property and just care about existential closure, it is possible to create several existentially closed exponential functions on the algebraic numbers that still have similarities with complex exponentiation. The main difficulties are related to the arithmetic of algebraic numbers, and they can be overcome with known results about specialisations of multiplicatively independent functions on algebraic varieties.Comment: 8 pages. Several stylistic edits and updated bibliograph

Factorisation of germ-like series

A classical tool in the study of real closed fields are the fields $K((G))$ of generalised power series (i.e., formal sums with well-ordered support) with coefficients in a field $K$ of characteristic 0 and exponents in an ordered abelian group $G$. A fundamental result of Berarducci ensures the existence of irreducible series in the subring $K((G^{\leq 0}))$ of $K((G))$ consisting of the generalised power series with non-positive exponents. It is an open question whether the factorisations of a series in such subring have common refinements, and whether the factorisation becomes unique after taking the quotient by the ideal generated by the non-constant monomials. In this paper, we provide a new class of irreducibles and prove some further cases of uniqueness of the factorisation.Comment: 11 pages; minor corrections and numbering changes; to appear in J. Log. Ana

Factorisation theorems for generalised power series

Fields of generalised power series (or Hahn fields), with coefficients in a field and exponents in a divisible ordered abelian group, are a fundamental tool in the study of valued and ordered fields and asymptotic expansions. The subring of the series with non-positive exponents appear naturally when discussing exponentiation, as done in transseries, or integer parts. A notable example is the ring of omnific integers inside the field of Conway's surreal numbers. In general, the elements of such subrings do not have factorisations into irreducibles. In the context of omnific integers, Conway conjectured in 1976 that certain series are irreducible (proved by Berarducci in 2000), and that any two factorisations of a given series share a common refinement. Here we prove a factorisation theorem for the ring of series with non-positive real exponents: every series is shown to be a product of irreducible series with infinite support and a factor with finite support which is unique up to constants. From this, we shall deduce a general factorisation theorem for series with exponents in an arbitrary divisible ordered abelian group, including omnific integers as a special case. We also obtain new irreducibility and primality criteria. To obtain the result, we prove that a new ordinal-valued function, which we call degree, is a valuation on the ring of generalised power series with real exponents, and we formulate some structure results on the associated RV monoid.Comment: 40 page

Polynomial-exponential equations -- some new cases of solvability

Recently Brownawell and the second author proved a "non-degenerate" case of the (unproved) "Zilber Nullstellensatz" in connexion with "Strong Exponential Closure". Here we treat some significant new cases. In particular these settle completely the problem of solving polynomial-exponential equations in two complex variables. The methods of proof are also new, as is the consequence, for example, that there are infinitely many complex $z$ with $e^z+e^{1/z}=1$.Comment: 26 page

Il problema inverso di Galois

Il problema inverso di Galois è, come dice il nome, la domanda opposta alla risposta classica data dalla teoria di Galois: invece di associare alle estensioni normali il gruppo di automorfismi, si cerca di costruire un'opportuna estensione di campo di modo che abbia gruppo di Galois assegnato. Mentre per alcuni casi semplici, quali i campi finiti, si conosce una risposta esaustiva, il caso in cui il campo base sia \Q è ancora lungi dall'essere risolto. L'approccio moderno che studieremo per \Q si avvale di tre strumenti principali: il teorema di irriducibilità di Hilbert, il teorema di esistenza di Riemann e i criteri di rigidità. Da questi discenderanno anche risultati in generale più forti per \Q^\ab. Il teorema di irriducibilità di Hilbert ci garantisce che dato un polinomio a coefficienti in \Q(x) irriducibile esistono infiniti valori v \in \Q per cui la specializzazione $x \mapsto v$ mantenga il polinomio irriducibile. Se il polinomio considerato è il polinomio minimo di un generatore di un'estensione normale, la specializzazione lascia intatto il gruppo di Galois associato. Otterremo quindi che la ricerca di gruppi di Galois tra le estensioni di \Q(x) fornisce automaticamente gli stessi gruppi anche su \Q. La proprietà di hilbertianità di \Q, ovvero di conservare l'irriducibilità dei polinomi per infinite specializzazioni, si estende facilmente alle estensioni finite; lo stesso risultato si può ottenere, sotto opportune condizioni, su estensioni algebriche infinite tramite il teorema di Weissauer (la cui dimostrazione originale, facente uso di modelli non standard, è trattata brevemente in appendice). Da quest'ultimo risultato dedurremo l'hilbertianità di \Q^\ab, come pure il fatto che la ricerca di gruppi di Galois su $k(x)$, con $k$ hilbertiano, è equivalente alla ricerca di gruppi di Galois su k(x_1,\hdots,x_m) per qualsiasi $m \geq 2$, qualora si imponga che l'estensione L/k(x_1,\hdots,x_m) soddisfi L \cap \ok = k. Grazie al teorema di esistenza di Riemann classificheremo invece tutte le estensioni di \C(t); per la precisione considereremo un luogo di ramificazione fissato S \subset \P^1(\C), di cardinalità $s < \infty$, e vedremo che il gruppo di Galois della massima estensione \C(t) ramificata solo in $S$ sarà il gruppo profinito: \begin{displaymath} \G_s := \langle \gamma_1,\hdots,\gamma_s \mid \gamma_1\cdots\gamma_s = e \rangle^{\text{\^{}}} \end{displaymath} Ricaveremo da questo la classificazione di Hurwitz: le estensioni di \C(t) con gruppo di Galois $G$ saranno in relazione biunivoca con le possibili scelte di $s$ generatori \sigma_1,\hdots,\sigma_s, con $\sigma_1 \cdots\sigma_s = e$, a meno di automorfismi di $G$. Tramite principio di Lefschetz, che verificheremo per questo caso specifico, otterremo una classificazione completa dei gruppi realizzabili su \ok(t) con \ok sottocampo algebricamente chiuso di \C. Il caso particolare che ci interesserà sarà ovviamente \ok = \oQ. Tramite i criteri di rigidità ci sarà infine concesso di ridurre il campo base per le estensioni di \oQ(t), ottenendo estensioni regolari con lo stesso gruppo di Galois su $L(t)$, con $L$ estensione finita su \Q contenuta in \Q^\ab. Si sfrutterano le sole proprietà algebriche del gruppo $G$ desiderato, in particolare la rigidità, che si ha quando esiste un unico insieme di $s$ generatori \sigma_1,\hdots,\sigma_s, a meno di automorfismi interni, per il quale vale $\sigma_1 \cdots \sigma_s = e$. Con le condizioni aggiuntive che $G$ abbia complementare per il suo centro e che le classi di coniugio dei generatori $\sigma_i$ siano razionali, ovvero $C^m = C$ per ogni $m \nmid |G|$, otterremo realizzazioni su \Q stesso. Vedremo come tale criterio si potrà migliorare scegliendo opportunamente il luogo di ramificazione $S$, mentre si potrà generalizzare per alcuni casi speciali studiando il gruppo degli automorfismi di \oQ(t)/\oQ. Analizzando i problemi più generali di immersione, ovvero dato un omomorfismo surgettivo H \rightarrow \Gal(L/K) trovare un'estensione $F/L$ di Galois su $K$ tale per cui H \cong \Gal(F/K) e la restrizione a $L$ coincida con l'omomorfismo, vedremo come sarà possibile realizzare gruppi complessi a partire dai loro fattori di composizione più semplici. In particolare studieremo le realizzazioni GAL dei gruppi, che permettono di risolvere i problemi di immersione che hanno come kernel dell'omomorfismo il gruppo studiato. Vedremo come le condizioni di rigidità stesse forniscono in alcuni casi delle realizzazioni GAL. Vedremo infine come tutte queste tecniche possono essere implementate in via algoritmica con opportuni accorgimenti che hanno di recente permesso la costruzione esplicita di estensioni di \Q per tutti i gruppi transitivi di ordine minore o uguale a $15$. Applicheremo anche i criteri visti ad alcune famiglie notevoli di gruppi per i quali si riescono a costruire terne di generatori che soddisfino la condizione di rigidità

The Role of Attitudes Toward Medication and Treatment Adherence in the Clinical Response to LAIs: Findings From the STAR Network Depot Study

Background: Long-acting injectable (LAI) antipsychotics are efficacious in managing psychotic symptoms in people affected by severe mental disorders, such as schizophrenia and bipolar disorder. The present study aimed to investigate whether attitude toward treatment and treatment adherence represent predictors of symptoms changes over time. Methods: The STAR Network \u201cDepot Study\u201d was a naturalistic, multicenter, observational, prospective study that enrolled people initiating a LAI without restrictions on diagnosis, clinical severity or setting. Participants from 32 Italian centers were assessed at three time points: baseline, 6-month, and 12-month follow-up. Psychopathological symptoms, attitude toward medication and treatment adherence were measured using the Brief Psychiatric Rating Scale (BPRS), the Drug Attitude Inventory (DAI-10) and the Kemp's 7-point scale, respectively. Linear mixed-effects models were used to evaluate whether attitude toward medication and treatment adherence independently predicted symptoms changes over time. Analyses were conducted on the overall sample and then stratified according to the baseline severity (BPRS &lt; 41 or BPRS 65 41). Results: We included 461 participants of which 276 were males. The majority of participants had received a primary diagnosis of a schizophrenia spectrum disorder (71.80%) and initiated a treatment with a second-generation LAI (69.63%). BPRS, DAI-10, and Kemp's scale scores improved over time. Six linear regressions\u2014conducted considering the outcome and predictors at baseline, 6-month, and 12-month follow-up independently\u2014showed that both DAI-10 and Kemp's scale negatively associated with BPRS scores at the three considered time points. Linear mixed-effects models conducted on the overall sample did not show any significant association between attitude toward medication or treatment adherence and changes in psychiatric symptoms over time. However, after stratification according to baseline severity, we found that both DAI-10 and Kemp's scale negatively predicted changes in BPRS scores at 12-month follow-up regardless of baseline severity. The association at 6-month follow-up was confirmed only in the group with moderate or severe symptoms at baseline. Conclusion: Our findings corroborate the importance of improving the quality of relationship between clinicians and patients. Shared decision making and thorough discussions about benefits and side effects may improve the outcome in patients with severe mental disorders

A geometric approach to some systems of exponential equations

Zilber’s Exponential Algebraic Closedness conjecture (also known as Zilber’s Nullstellensatz) gives conditions under which a complex algebraic variety should intersect the graph of the exponential map of a semiabelian variety. We prove the special case of the conjecture where the variety has dominant projection to the domain of the exponential map, for abelian varieties and for algebraic tori. Furthermore, in the situation where the intersection is 0-dimensional, we exhibit structure in the intersection by parametrizing the sufficiently large points as the images of the period lattice under a (multivalued) analytic map. Our approach is complex geometric, in contrast to a real analytic proof given by Brownawell and Masser just for the case of algebraic tori

Defining a surreal hyperexponential

Conway's class No of surreal numbers admits a rich structure: it forms a totally ordered real closed field with an exponential functions and a derivation. The aim of this note is to construct a surreal solution E to the functional equation E (a + 1) = exp E (a) with good properties