SISTEM PERSAMAAN LINEAR MIN-PLUS DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH LINTASAN TERPENDEK

Artikel ini membahas tentang sistem persamaan linear min-plus dan penerapannya pada masalah lintasan terpendek. Pembahasan merupakan hasil kajian teoritis yang didasarkan literatur dan suatu perhitungan menggunakan program MATLAB. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa jaringan dengan bobot waktu tempuh dapat dimodelkan sebagai graf berarah terbobot yang dapat dinyatakan dengan matriks atas aljabar min-plus. Penentuan waktu tempuh minimal dapat dilakukan melaui operasi star pada matriks bobot jaringannya. Lintasan terpendek dapat ditentukan dengan memodifikasi metode PERT-CPM pada analisis lintasan kritis pada jaringan proyek. Dengan memodelkan waktu tempuh perjalanan pada jaringan ke dalam suatu sistem persamaan (SPL) linear iteratif min-plus. Dari penyelesaian SPL min-plus ini, dapat ditentukan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir, untuk masing-masing titik. Titik-titik dengan waktu awal paling cepat dan waktu paling akhir yang sama akan membentuk lintasan terpendek pada jaringan. Kata kunci: Aljabar Min-Plus, Sistem Persamaan Linear, Lintasan Terpendek

Sistem Linear Max-Plus Interval Waktu Invariant

Telah dibahas sistem linear max-plus waktu invariant (SLMI), di mana waktu aktifitasnya berupa bilan- gan real. Dalam sistem linear max-plus interval waktu invariant (SLMII), ada ketidakpastian dalam waktu aktifitasnya, sehingga waktu aktifitas ini dimodelkan sebagai interval bilangan real. Artikel ini membahas tentang generalisasi SLMI menjadi SLMII dan analisis input-output SLMII. Dapat ditunjukkan bahwa SLMII berupa suatu sistem persamaan linear max-plus interval dan analisa input-output SLMII terkait masalah input paling lambat dapat dibahas melalui penyelesaian suatu sistem persamaan linear max-plus interval. Diberikan juga ilustrasi penerapannya dalam sistem produksi sederhana. Kata-kata kunci: Sistem Linear, Max-Plus, Interval, Waktu Invariant, Input-Output

SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS

Telah dibahas sistem linear max-plus waktu invariant autonomous (SLMIA), di mana waktu aktifitasnya berupa bilangan real dan interval. Dalam sistem linear max-plus kabur waktu invariant autonomous (SLMKIA), ketidakpastian dalam waktu aktifitasnya dimodelkan sebagai bilangan kabur (fuzzy number), yang dapat dipandang sebagai keluarga interval tersarang. Artikel ini membahas tentang generalisasi SLMIIA menjadi SLMKIA dan analisis input-output SLMKIA, serta sifat periodiknya. Dapat ditunjukkan bahwa SLMKIA berupa suatu sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur. Analisa input-output SLMKIA dapat dibahas melalui proses rekursif pada sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur. Sifat periodik SLMKIA dapat diperoleh dari nilai nilai eigen dan vektor eigen bilangan kabur matriks keadaan dalam sistemnya. Kata kunci: Sistem Linear, Max-Plus, Bilangan Kabur, Waktu Invariant, Input-Output, Autonomou

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

Misalkan ℜ himpunan bilangan real. Aljabar Max-Plus adalah himpunan ℜmax = ℜ∪{—∞} dilengkapi dengan operasi maximum "⨁" dan plus "⨂". Dibentuk himpuna

EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM GEOGEBRA DIBANDING PEMBELAJARAN KONVENSIONAL PADA TOPIK GRAFIK FUNGSI KUADRAT KELAS X SMA PANGUDI LUHUR YOGYAKARTA

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui efektivitas pembelajaran dengan program GeoGebra dibanding pembelajaran konvensional pada topik grafik fungsi kuadrat kelas X SMA Pangudi Luhur Yogyakarta. Subjek penelitian adalah siswa kelas X1 dan siswa kelas X2. Peneliti memilih kedua kelas tersebut karena kedua kelas mempunyai rata – rata nilai yang hampir sama berdasarkan data yang diperoleh dari hasil ulangan sebelumnya. Metode penelitian yang digunakan adalah deskriptif-kualitatif. Data penelitian dikumpulkan dengan cara observasi langsung, kuesioner, dan wawancara. Penelitian ini dilaksanakan di dua kelas yang berbeda dengan masing – masing kelas 3 kali pertemuan. Hasil penelitian menunjukkan bahwa pembelajaran dengan program GeoGebra dalam topik grafik fungsi kuadrat lebih efektif dibanding pembelajaran konvensional. Hal ini dapat diamati dengan membandingkan nilai evaluasi hasil belajar dari kelas X1 dan X2. Selain itu, keefektifan dapat dilihat dari hasil pengamatan pada saat proses belajar mengajar, hasil kuesioner, dan hasil wawancara. Kata kunci: efektivitas, program GeoGebra, fungsi, grafik fungsi kuadrat

EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM CABRI 3D UNTUK MENINGKATKAN PEMAHAMAN SISWA TENTANG KONSEP SIKU-SIKU DALAM SUB-POKOK BAHASAN PENERAPAN TEOREMA PHYTAGORAS PADA BANGUN RUANG DI KELAS VIII SMP PANGUDI LUHUR GANTIWARNO

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui efektivitas pembelajaran dengan Program Cabri 3D dibanding dengan pembelajaran konvensional kaitannya untuk meningkatkan pemahaman siswa tentang konsep siku-siku pada bangun ruang. Penelitian ini dilakukan di SMP Pangudi Luhur Gantiwarno tahun ajaran 2012/2013. Subyek penelitian adalah siswa kelas VIIIA dan VIIIB yang memiliki kemampuan akademis hampir sama. Pembelajaran di kelas VIIIA menggunakan metode konvensional dan pembelajaran di kelas VIIB menggunakan program Cabri 3D. Metode penelitian yang digunakan adalah penelitian kualitatif-deskriptif dan kuantitatif. Data penelitian dikumpulkan dengan cara observasi langsung dikelas, wawancara dengan guru matematika, hasil pekerjaan, wawancara dan kuisioner. Peneliti melakukan tes awal, pemberian materi / penanaman konsep siku-siku dan tes evaluasi. Hasil penelitian berupa deskripsi proses dan membandingkan hasil belajar dari kedua kelas dalam pembelajaran sub-pokok bahasan penerapan Teorema Phytagoras pada Bangun Ruang. Dari hasil penelitian menunjukan bahwa kelas VIIIB yang menggunakan program Cabri 3D dalam pembelajaran matematika lebih tinggi dibandingkan dengan kelas VIIIA. Berdasarkan hasil kedua pembelajaran tersebut, dapat disimpulkan bahwa pembelajaran menggunakan Cabri 3D lebih efektif dalam membantu mengatasi kekurang pemahaman siswa tentang konsep siku-siku dibandingkan dengan pembelajaran konvensional dalam sub-pokok bahasan penerapan Teorema Phytagoras pada Bangun Ruang. Selain itu dapat dilihat keefektifan dari proses belajar mengajar, hasil pembelajaran, kuisioner / kuisioner, dan wawancara. Kata-kata kunci: Efektivitas, Teorema Phytagoras, Konsep Siku-siku, Program Cabri 3

DESAIN LEMBAR KERJA SISWA DENGAN PEMANFAATAN PROGRAM GEOGEBRA MELALUI DEMONSTRASI PADA MATERI KESEBANGUNAN DI KELAS IX SMP NEGERI 2 JETIS BANTUL

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui seberapa jauh penggunaan lembar kerja siswa (LKS) yang dilengkapi dengan pemanfaatan program GeoGebra melalui demonstrasi dapat mendukung pemahaman materi kesebangunan kepada siswa kelas IX. Penelitian ini dilakukan di SMP Negeri 2 Jetis Bantul dengan subjek penelitian adalah siswa kelas IX B dan siswa kelas IX D. Metode penelitian ini adalah rancangan dan pengembangan. Peneliti merancang sebuah produk media pembelajaran dengan mendesain lembar kerja siswa (LKS) yang dilengkapi dengan pemanfaatan GeoGebra melalui demonstrasi untuk menjelaskan materi kesebangunan di kelas IX. Peneliti melakukan uji coba produk melalui kegiatan belajar mengajar di kelas. Data penelitian diperoleh melalui hasil analisis lembar kerja siswa yang dibagikan kepada setiap siswa pada setiap pertemuan dan melalui pembagian kuesioner di akhir pembelajaran. Dari hasil uji coba tersebut diperoleh informasi bahwa 70% siswa kelas IX B dan 71% siswa kelas IX D berhasil mengerjakan lembar kerja siswa dengan skor (nilai) minimum 75. Kata kunci: lembar kerja siswa, demonstrasi, GeoGebra, kesebanguna

EFEKTIFITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM GEOGEBRA DIBANDING PEMBELAJARAN KONVENSIONAL PADA MATERI TEOREMA PYTHAGORAS KELAS VIII SMP PANGUDI LUHUR GANTIWARNO KLATEN

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui Efektifitas Pembelajaran dengan Program GeoGebra Dibanding Pembelajaran Konvensional pada materi Teorema Pythagoras Kelas VIII SMP Pangudi Luhur Gantiwarno Klaten tahun ajaran 2012/2013, metode penelitian yang digunakan adalah metode diskriptif-kualitatif dan kuantitatif. Data dikumpulkan dengan cara observasi langsung melalui pengamatan dikelas dan wawancara dengan guru matematika. Penelitian ini dilakukan pada dua kelas yang memiliki kemampuan akademis hampir sama, yaitu kelas VIIIA dan VIIIB. Pada kelas VIIIA pembelajaran dilaksanakan dengan menggunakan program GeoGebra, sedangkan kelas VIIIB pembelajaran dengan menggunakan pembelajaran konvensional, data penelitian diperoleh dari pemberian tes kemampuan awal, pemberian materi, tes evaluasi, angket dan wawancara. Hasil penelitian menunjukan bahwa ada peningkatan hasil belajar dari nilai-nilai ulangan harian dan tes kemampuan awal ke tes evaluasi pada masing-masing kelas. Dari data yang diperoleh, kemudian peneliti membandingkan antara 2 kelas tersebut, hasil belajar siswa menunjukan bahwa siswa kelas VIIIA dengan pembelajaran menggunakan program GeoGebra lebih tinggi dari pada kelas VIIIB yang menggunakan pembelajaran konvensional dan siswa yang mencapai nilai KKM lebih besar atau sama dengan 73 pada siswa kelas VIIIA sebanyak 13 siswa sedangkan siswa kelas VIIIB hanya 7 siswa. Berdasarkan hasil dari kedua pembelajaran tersebut, dapat disimpulkan bahwa pembelajaran dengan program GeoGebra lebih efektif dibanding dengan pembelajaran konvensional. Selain itu keefektifan dapat dilihat dari proses belajar mengajar, hasil kuesioner dan hasil wawancara. Kata-kata kunci: Efektifitas, Teorema Pythagoras, GeoGebra

SYSTEMS OF INTERVAL MIN-PLUS LINEAR EQUATIONS AND ITS APPLICATION ON SHORTEST PATH PROBLEM WITH INTERVAL TRAVEL TIMES

The travel times in a network are seldom precisely known, and then could be represented into the interval of real number, that is called interval travel times. This paper discusses the solution of the iterative systems of interval min-plus linear equations its application on shortest path problem with interval travel times. The finding shows that the iterative systems of interval min-plus linear equations, with coefficient matrix is semi-definite, has a maximum interval solution. Moreover, if coefficient matrix is definite, then the interval solution is unique. The networks with interval travel time can be represented as a matrix over interval min-plus algebra. The networks dynamics can be represented as an iterative system of interval min- plus linear equations. From the solution of the system, can be deter-mined interval earliest starting times for each point can be traversed. Furthermore, we can determine the interval fastest time to traverse the network. Finally, we can determine the shortest path interval with interval travel times by determining the shortest path with crisp travel times