Layers of generality and types of generalization in pattern activities

Pattern generalization is considered one of the prominent routes for in-troducing students to algebra. However, not all generalizations are al-gebraic. In the use of pattern generalization as a route to algebra, we —teachers and educators— thus have to remain vigilant in order not to confound algebraic generalizations with other forms of dealing with the general. But how to distinguish between algebraic and non-algebraic generalizations? On epistemological and semiotic grounds, in this arti-cle I suggest a characterization of algebraic generalizations. This char-acterization helps to bring about a typology of algebraic and arithmetic generalizations. The typology is illustrated with classroom examples

On the Development of Early Algebraic Thinking

This article deals with the question of the development of algebraic thinking in young students. In contrast to mental approaches to cognition, we argue that thinking is made up of material and ideational components such as (inner and outer) speech, forms of sensuous imagination, gestures, tactility, and actual actions with signs and cultural artifacts. Drawing on data from a longitudinal classroom-based research program where 8-year old students were followed as they moved from Grade 2 to Grade 3 to Grade 4, our developmental research question is investigated in terms of the manner in which new relationships between embodiment, perception, and symbol-use emerge and evolve as students engage in patterning activities

Sujeto, objeto, cultura y la formación del conocimiento

La relación sujeto-objeto ha sido reconocida tradicionalmente como un elemento clave en las diferentes teorías del conocimiento. Mientras que, a partir de Kant, la relación se plantea en términos de un sujeto que construye el objeto, con Hegel y luego el materialismo dialéctico, la relación mencionada es vista de tal forma que el objeto de conocimiento es inseparable de la actividad de los individuos Ambas aproximaciones sirvieron de punto de apoyo a elaboraciones teóricas posteriores en ramas como la sicología, la epistemología, la filosofía y la sociología, interesadas en la comprensión del desarrollo del conocimiento. La intención de este artículo es contribuir a la identificación de ciertas diferencias teóricas en corrientes contemporáneas en la Educación Matemática -diferencias que han conducido a lo que Sfard (1999) ha sugestivamente llamado 'la guerra de los paradigmas'. Para ello, en la primera parte, discutimos la forma en que la relación sujeto/objeto fue considerada en el seno de dos de las escuelas que han tenido una influencia mayor en el curso que ha tomado la reflexión en el campo de la Educación Matemática, a saber, la escuela piagetiana de epistemología genética y la escuela histórico-cultural vygotskiana. Luego, a la luz de dicha discusión y centrándonos en el campo propiamente dicho de la Educación Matemática, sugerimos que la conceptualización contemporánea del problema general epistemológico sujeto/objeto aparece como elemento constitutivo de diferencias irreducibles en aproximaciones particulares socio-constructivistas e interaccionistas, por un lado, y socio-culturales, por el otro . Al final se mencionan ciertos problemas con los que ambas aproximaciones se enfrentan en un futuro próximo

Algunos desafíos encontrados en la elaboración de la Teoría de la Objetivación

Este artículo presenta una reflexión alrededor de algunos desafíos encontrados en la elaboración de una teoría de inspiración vygotskiana sobre la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas: la teoría de la objetivación. Se discute el contexto histórico de donde emerge la teoría y las dificultades encontradas en concebir el aprendizaje no como un proceso subjetivo, como lo plantea el constructivismo, sino como un genuino proceso social-histórico-cultural. Se arguye que una de las dificultades más importantes de las aproximaciones socioculturales educativas contemporáneas reside en brindar una descripción teórica clara de la relación entre el individuo y su cultura. La respuesta de la teoría de la objetivación se encuentra en su concepto de labor conjunta

El aprendizaje del uso de signos en álgebra. Una perspectiva post-vigotskiana

Este artículo describe un programa de investigación en curso acerca del aprendizaje del álgebra escolar. En dicho programa, el aprendizaje del álgebra se concibe como la adquisición subjetiva de un sistema de signos socialmente objetivado e históricamente constituido cuyo sentidos y reglas de uso son ontogenéticamente elaborados como resultado de la participación diferenciada del alumno en actividades matemáticas específicas. Dentro de este contexto, los procesos de uso de signos y elaboración de significados son conceptualizados como procesos a la vez individuales y sociales que emergen en relación a otros sistemas de signos (por ejemplo, sistemas de gestos u otros más característicos tales como el lenguaje y los sistemas de representación gráfica) que ofrece la sala de clase vista ésta como espacio semiótico. En la primera parte del artículo se presenta un marco teórico en el que se sugiere una nueva conceptualización de la idea de signo diferente a la que ofrece el cognitivismo y la teoría de la información. La reconceptualización que se propone, que toma como punto de partida la semiótica Vygotskiana, incorpora ciertos elementos antropológicos que justifican, a nivel metodológico, el interés que toma el discurso y la acción mediada en el diseño, análisis e interpretación de actividades de sala de clase. En la segunda parte se presenta el análisis de un episodio en el que alumnos de 14 años de edad resuelven un problema de generalización algebraica de patrones numérico-geométricos. Se muestra que las acciones y verbalización de acciones emprendidas anteriormente a nivel numérico concreto ofrecen un soporte crucial al uso emergente de signos algebraicos y al sentido con que dichos signos son dotados. De forma más precisa, el análisis del episodio sugiere que la forma que toma la abstracción requerida en el acto de generalizar el patrón queda imbricada en la semiótica de las acciones concretas

Sumisión, alienación y (un poco de) esperanza: hacia una visión cultural, histórica, ética y política de la enseñanza de las matemáticas

En este artículo abordo el problema que plantea la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, cuando dicho problema es visto desde una perspectiva sociocultural. Para ello, trazo brevemente algunos elementos del recorrido que, me parece, movieron el discurso de la enseñanza de las matemáticas de un discurso que la justificaba como un esfuerzo educativo de difusión del saber a un discurso que emerge a fines del siglo pasado y principios de éste y que se caracteriza por la búsqueda de nuevos puntos de referencia para repensar la finalidad de la enseñanza de las matemáticas a la hora actual. Esta breve incursión en la historia de nuestra disciplina me da la pauta para sugerir una nueva posibilidad que conlleva a un replanteamiento y cuestionamiento de la disciplina, de su naturaleza y de los objetivos de su enseñanza dentro del ámbito de una economía global y de las tensiones que de ella emergen

La razón desnaturalizada

La epistemología tradicional, desde Kant, ha planteado la investigación del conocimiento en términos de los fundamentos y de las representaciones que la Razón se hace de las cosas fuera de la mente. Dicha agenda de investigación supone, empero, una concepción de la Razón y de sus razones. ¿Cuáles son las razones de la Razón? En este ensayo proponemos que la epistemología tradicional, en cuyo marco el pensamiento moderno encontró un sostén decisivo, elaboró un concepto de Razón cuya raíz ha de buscarse en el movimiento de la Ilustración, por un lado, y en lo que Max Weber llamó la “razón instrumental”, por el otro. Mientras que la Ilustración se erige como un movimiento anti-filosófico (esto es, “anti-especulativo”) que —con Condorcet, entre otros— encuentra en los métodos de las matemáticas un ideal de certeza de donde se evacua la subjetividad del individuo y se remplaza por la entidad abstracta que luego se dará en llamar el “sujeto epistémico” —un sujeto vaciado de voz y de sentimientos, al cual se le deja solamente el cerebro—, la razón instrumental, por su lado, se caracteriza por la sistematización del saber empírico en principios generales cuya finalidad es la facultad de predecir. Este ensayo retrasa dos de los momentos centrales que han conducido a un cuestionamiento profundo de las bases en que reposa la racionalidad moderna y a su ineludible consecuencia: la desnaturalización de la razón. Estos momentos son: los esfuerzos de los primeros antropólogos a principios de siglo por entender la mentalidad de otros pueblos (problema que se planteó a raíz de las campañas de colonización) y la crisis de la representación a la que condujo la crítica post-modernista. Se aboga, al final, por una concepción más amplia de racionalidad que, prestando más atención a las diferentes voces de los alumnos, nos permita proponer prácticas educativas más aptas para la enseñanza de las matemáticas

De la teoría de la objetivación

En este artículo se presentan los objetivos de la teoría de la objetivación, una teoría educativa que se ubica dentro de la gama de teorías socioculturales contemporáneas que intentan plantear la enseñanza y aprendizaje en términos diferentes de aquellos abogados por las teorías educativas individualistas modernas y sus pedagogías centradas sobre el alumno. La primera sección presenta una reseña retrospectiva que intenta situar el contexto histórico de emergencia de la teoría de la objetivación. Luego se presentan sus objetivos y se discute la categoría conceptual fundamental de la teoría de la objetivación: la categoría de labor o trabajo, en el sentido dialéctico-materialista, categoría que permite reconceptualizar la enseñanza y aprendizaje en términos de actividad o labor conjunta entre alumnos y profesores. Es dentro de este contexto que se discuten, al final del artículo, los constructos analíticos fundamentales de la teoría, a saber: objetivación y subjetivación

Three Key Concepts of the Theory of Objectification: Knowledge, Knowing, and Learning

In this article I sketch three key concepts of a cultural-historical theory of mathematics teaching and learning—the theory of objectification. The concepts are: knowledge, knowing and learning. The philosophical underpinning of the theory revolves around the work of Georg W. F. Hegel and its further development in the philosophical works of K. Marx and the dialectic tradition (including Vygotsky and Leont’ev). Knowledge, I argue, is movement. More specifically, knowledge is a historically and culturally codified fluid form of thinking and doing. Knowledge is pure possibility and can only acquire reality through activity—the activity that mediates knowledge and knowing. The inherent mediated nature of knowing requires learning, which I theorize as social, sensuous and material processes of objectification. The ideas are illustrated through a detailed classroom example with 9-10-year-old students

Diagrammatic thinking: Notes on Peirce’s semiotics and epistemology

In this paper, I discuss the role of diagrammatic thinking within the larger context of cognitive activity as framed by Peirce’s semiotic theory of and its underpinning realistic ontology. After a short overview of Kant’s scepticism in its historical context, I examine Peirce’s attempt to rescue perception as a way to reconceptualize the Kantian “manifold of senses”. I argue that Peirce’s redemption of perception led him to a series of problems that are as fundamental as those that Kant encountered. I contend that the understanding of the difficulties of Peirce’s epistemology allows us to better grasp the limits and possibilities of diagrammatic thinking. Pensamiento diagramático: notas sobre la semiótica y la epistemología de Peirce En este artículo se discute el papel que desempeña el concepto de pensamiento diagramático en el contexto de la actividad cognitiva, tal y como es concebida dentro del marco de la teoría semiótica de Peirce y su subyacente ontología realista. Luego de presentar una visión general del escepticismo kantiano en su contexto histórico, se examina el esfuerzo de Peirce por rescatar la percepción, esfuerzo que lo lleva a indagar de manera innovadora el “multiespacio de los sentidos” del que hablaba Kant. Se mantiene que este esfuerzo lleva a Peirce a una serie de problemas que son tan fundamentales como los que Kant encontró en su propio itinerario epistemológico. Se sostiene que la comprensión de las dificultades intrínsecas a la epistemología de Peirce nos permite cernir mejor los límites y posibilidades de su pensamiento diagramático.Handle: http://hdl.handle.net/10481/4217Nº de citas en WOS (2017): 4 (Citas de 2º orden, 10)Nº de citas en SCOPUS (2017): 2 (Citas de 2º orden, 10